m - 東海大学理学部物理学科

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力学Ⅱレポート解答（担当：安江正樹＠東海大学理学部物理学科）
力学２レポート課題
第５章図５･６において、自由落下するお猿さんの空気抵抗が速度に比例して
大きくなる場合に t 秒後の地面からの高さを求めよ。お猿さんは最初１０ｍの
高さにいるとする。但し、空気抵抗力は比例係数 k を用いて表され、お猿さん
に働く力は、 F  mg  kv になる。答えは、 m, g, k で表すこと。
正確には、ベクトル表記すると、
F  mg  kv
である。  kv の記号により進行方向と逆に空気抵抗力が働くことを示している。従って、
降下するお猿さんの速度は負
で表されることに注意する。ニュートンによると、
力は質量×加速度で置き換える
ことになるので、
m
dv
  mg  kv
dt
これは、
m
dv
dv
k
dv
dv
 mg  kv 
 g  v 
 dt  
   dt
k
k
m
dt
dt
g v
g v
m
m
積分は、公式

dx
 ln x  C
x
で実行できるので、この公式が使えるようにする。置換積分を実行すれば、
  dt  
dv
1
dv
1


k
k m
k

g v
g  v

m
mk
m

dv
m 

v  g 
k 

m
V v  g
k
dV
1 d v  dV
dv

m dV
k  V
定数を適当にアレンジ
して改めてと置くと･･･
m
m 
m 
m 
m 
  ln V  C    ln  v  g   C 

 t  C   ln  v  g  
k
k 
k 
k 
k 

のように積分できる。そこで、
k
t  C 
m 
m 
kt k
m 
m

ln  v  g      C  ln  v  g   v  g  e

k 
k 
m m
k 
k

C
A e m
kt k
  C も定数
m m
 Ae

kt
m
より、
v  Ae

kt
m

m
g
k
0 秒目にお猿さんは止まっているので、
v t 0  0  Ae

kt
m
kt

m
m
m
m
m  ktm m
m   ktm 
m
 g  A  g  A  g  v  Ae  g  ge  g  g  e  1
k t 0
k
k
k
k
k
k 

力学Ⅱレポート解答（担当：安江正樹＠東海大学理学部物理学科）
になる。従って、
v
m   ktm 
g  e  1
k 

空気抵抗が小さいときは、ex のテーラー展開

e x  
n 0
xn
1
 1  x  x2  
n!
2
の最初の 2 項をとると、
v
m   ktm  m  kt
m kt

g  e  1  g 1     1   g  gt
k 
k
m
k m



になり、空気抵抗の無いときの正しい結果を与える。k=0 が空気抵抗の無いときであるが、
k=0 にすると正しい結果にはならないので注意する。
次に、
v
dx
dt
を用いて
dx m   ktm 
v
 g  e  1
dt k 

になる。ここで、公式の
dx
1
 e at  dx  e at dt   dx   e at dt  x   e  at  C
dt
a
を用いて
x
m  m  ktm 
g e tC
k  k

がわかる。0 秒目にお猿さんは高さ h[m]にいるので、
h  x t 0 
m  m  ktm 
m  m
m  m
g e tC  g C  C  h g 
k  k
k  k
k  k

t 0
になる。従って
x
m  m  ktm 
m  m  kt 
m  m  m  m  kt m 
g e tC  g e m t h g   g e m  t h
k  k
k  k
k  k k  k
k



即ち、
x
m  m  ktm m 
g e  t h
k  k
k

空気抵抗が小さいときは、ex のテーラー展開
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力学Ⅱレポート解答（担当：安江正樹＠東海大学理学部物理学科）

e x  
n 0
xn
1
 1  x  x2  
n!
2
の最初の 3 項をとると、
2
 m 
m  m  ktm m 
m  m  kt 1  kt 
g   e   t   h  g   1          t   h
 k

k  k
k
k  k  m 2  m 



2
2

kt 1  kt   m
m  m 1  kt  
m  m
 g  1 
   
 t  h  g
  h



m 2 m  k
k  k 
k  k 2  m  

2
1 m  m  kt  
1 2


g  
   h   gt  h


2
2 k
k  m


x
になり、空気抵抗の無いときの正しい結果を与える。ここでも、k=0 が空気抵抗の無いとき
であるが、直接 k=0 にすると正しい結果にはならないので注意する。
【別解】少し工夫を必要とする方法では、
v
dx
dt
dv
d dx
dx
d 2 x k dx
m
 mg  kv  m
 mg  k
 2 
g 0
dt
dt dt
dt
dt
m dt
のように変形すれば、
になる。1
d 2 x k dx

g 0
dt 2 m dt
そこで、次のことに気がつく必要がある。一番簡単な解は、
x  at  b  a, bは定数 
の形をしている。なぜなら、
x  at  b 
dx
d 2x
d 2 x k dx
k
m
 a,

0


g  0 ag  0 a   g
2
2
dt
dt
dt
m dt
m
k
そこで、
x  f t  
m
gt  b
k
置くと
m
dx
m
d 2x
d 2 f k  df m 
d 2 f k df

gt  b 
g
g
 f   g,







0
f


k
dt
k
dt 2
dt 2 m  dt k 
dt 2 m dt
になるので、
x  f t  
d 2 f k df

0
dt 2 m dt
の微分方程式を解くことになる。微分方程式の解法でよくある形なので、
f  Aet
として、
1微分方程式の解法でよくある形の
d 2 x k dx

 gx  0 とは違うので注意する。
dt 2 m dt
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力学Ⅱレポート解答（担当：安江正樹＠東海大学理学部物理学科）
f  Aet 
4/4
df
d
d2 f
d
d 2 f k df
k
2 t
t
A
e
A
e
 Aet  A et ,






 A 2 et  A et  0
2
2
dt dt
dt
dt
dt
m dt
m
になるので、特性方程式から
2 
k
k
k

  0        0    0 or   
m
m
m

を得る。つまり、
f  Ae
k
 t
m
 Be0t  Ae
k
 t
m
B
なので、
k
k
C  B  bは定数
 t
 t
m
m
m
gt  b  Ae m  B  gt  b

Ae m  gt  C
k
k
k
とわかる。ここで 0 秒目のお猿さんが高さ h[m] （x =h）に止まっている（従って、v=dx/dt=0）
ことを用いるので
x  f t  
x  Ae
k
 t
m

m
dx d   mk t m
k  mk t m
 gt  C  v 
  Ae  gt  C    A e  g
k
dt dt 
k
m
k

より
x t 0  Ae
k
 t
m
v t 0   A

m
gt  C  A  C  h  C  h  A
k
t 0
k  mk t m
k m
m2
m2
e  g  A  g  0  A   2 g  C  h  A  h  2 g
m
k t 0
m k
k
k
のように
A
m2
m2
g
,
C

h

g
k2
k2
を得るので、
m
m 2  mk t m
m2
m  m  mk t
m 
x  Ae  gt  C   2 ge  gt  h  2 g    ge  gt  g   h
k
k
k
k
k k
k 

m  m  mk t m
m  m  mk t m 
   ge  g  gt   h  g   e   t   h
k k
k
k  k
k


k
 t
m
になり、前の位置に一致する。

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