材料力学 II 定期試験 2016.8.1 実施 〔1〕物体の全補ひずみエネルギーを U * とし,コンプリメンタリー外力ポテンシャル関数を VE* = ! " Ti ui dS と表すものとする.ここに, Ti は単位面積当たりの表面力(外力) , ui は変位, S は S 物体表面である.以下の問いに答えよ. (1)補ひずみエネルギーとは何か.説明せよ.【5 点】 (2)構造物が集中荷重 QI ( I = 1, 2, …, n )(n は集中荷重の個数)を受けるとする.ここで,qI を, QI の作用点における QI の作用方向の変位とするとき, VE* を QI と qI を用いて表せ. 【5 点】 (3)最小コンプリメンタリーエネルギーの原理を出発点として,カスティリアノの第2定理を誘 導する過程を示せ.ただし,線形弾性体を対象とし,補ひずみエネルギー U * とひずみエネ ルギー U は値が等しく,これらは集中荷重 QI の関数として表現できているものとする. 【10 点】 〔2〕右の図に示すように,長さが等しく,共にヤング 率 E ,断面積 A の棒をピンで結合して,距離が l の剛体 壁間に左右対称な構造を造ったところ,壁面の法線と棒 のなす角は ! となった.今,この構造の頂点(節点 C) に鉛直下向き荷重 P を加える.以下の問いに答えよ. (1)棒に作用する内力(軸力)を求めよ.【10 点】 (2)頂点(節点 C)の垂直変位を求めよ.【10 点】 P C ! ! A l B 〔3〕下の図に示すような不静定はり(支間長 L;曲げ剛性 EI [一定])が,支点 A の位置におい てモーメント荷重 M 0 を受けている. (1)はりが支点から受ける反力を図示し,エネルギー法を利用してそれらの値を求めよ. 【15 点】 (2)支点 A 上のはりたわみ角をエネルギー法を利用して求めよ.【15 点】 (3)曲げモーメント図(BMD)とせん断力図(SFD)を描け.【10 点】 L M0 A x B y 〔4〕平面応力状態の微小要素の下記のような2つの応力状態(A)と(B)を考える. (A) σ11 = 10 MPa, σ22 = –30 MPa, σ12 = 20 3 MPa, (B) σ11 = 160 MPa, σ22 = –50 MPa, σ12 = 100 MPa, 以下の問いに答えよ. (1)応力状態(A)(B)それぞれに対して,最大主応力σ1 と最小主応力σ2 ならびにそれらが発生す る方向(x 軸からの角度θ1, θ2)を求めよ.ただし,x 軸から角度θをなす面における垂直応力σ は以下の式で求められる.【15 点】 1 1 ! = (! 11 +! 22 ) + (! 11 !! 22 )cos2" + ! 12 sin 2" 2 2 (2)材料の内部損傷がより進行しやすいのは応力状態(A)(B)のうちどちらか.また,その理由を 述べよ.【5 点】 材料力学 II 定期試験 〔1〕(1)補ひずみエネルギー U とは,応力テンソル ! ij ,ひずみテ 2016.8.1 実施の解答例 ! ンソル ! ij ,物体の体積 V により, U ! = " (" V " ij 0 ) ! ij d" ij dV で定義される 量,あるいはその応力に関する変分が, ! U ! = " !" V σ11 # dV で与えられ ij ij る量と解釈される.1次元問題における単位体積当たりの補ひずみエネ ルギーは下図の応力̶ひずみ線図における斜線部の面積に相当する(本 試験に対する解答としては,この最後の図解が示せれば十分である). O ε11 n (2) VE = ! " Ti ui dS = ! # QI qI S I =1 (3) n # & 0 = ! (U * + VE ) = ! (U + VE ) = ! % U(QI ) ! " QI qI ( $ ' I =1 n # )U & n # )U & = "% ! QI ! qI ! QI ( = " % ! qI (! QI ' I =1 $ )QI ' I =1 $ )QI * )U = qI )QI 〔2〕 (1)節点 C における力の釣り合いを考える.棒の内力(軸力)Q(対称なので左右で等しい)は 引張りを正とする. ! V = 2Qsin ! + P = 0 "Q = # P 2sin ! (2)ひずみエネルギーは, 2 +$ QI2 LI P ' 1 l . P 2l U =! = 2 " -& # * = 0 2 ) I =1 2AI E I -,% 2sin ! ( 2AE 2 cos ! 0/ 8EAsin ! cos ! N ! " CV = #U Pl = #P 4EAsin 2 ! cos ! 〔3〕 (1)支点 A には上向きの矢印を,支点 B には上向きの矢印と時計回りの矢印を描く(逆向きで も良いが,その場合は値の符号が反転することに注意). 支点 A の上向き反力を RA とすると,曲げモーメントは, M = RA x + M 0 . L (R x + M ) M2 A 0 dx = ! dx . ひずみエネルギーは, U = ! ! 2EI 0 2EI L (R x + M ) x !U M !M A 0 0= =" dx = " dx ! 0 !RA EI !RA EI 3M 0 M 力の釣り合い条件より, RB = + , MA = 0 2L 2 2 # RA = $ 3M 0 2L $ 3M 0 '$ 3 ' # x + M0 ) & # x +1) & L% ( % 2L ( !U M !M M L 2L (2) ! A = =" dx = " dx = "" = 0 ! EI !M 0 !M 0 EI 4EI 0 3M 0 dM 3M 0 (3) M (x) = ! . x + M 0 , F(x) = =! 2L dx 2L 2lL 3 0 L x F 0 (!) 0 ! 3M 2lL SFD M0 M 0 BMD x (+) (!) ! M0 2 〔4〕 (A) σ11 = 10 MPa, σ22 = –30 MPa, σ12 = 20 3 MPa, (B) σ11 = 160 MPa, σ22 = –50 MPa, σ12 = 100 MPa, 1 1 ! = (! 11 +! 22 ) + (! 11 !! 22 )cos2" + ! 12 sin 2" 2 2 d! d 2! = !(! 11 !! 22 )sin 2" + 2! 12 cos2" ; = ! {2(! 11 !! 22 )cos2" + 4! 12 sin 2" } d" d" 2 (1)(A) ! 1 !# 1 & 30 1 1 1 (! 11 %! 22 )2 + 4! 122 = (10 % 30) ± (10 + 30)2 + 4(20 3)2 = ' [MPa] " = (! 11 +! 22 ) ± !1 # 2 2 2 2 %50 ( $ tan 2" = 2! 12 2 ) 20 3 = = 3 ! 11 %! 22 10 + 30 * " = 30˚, %60˚ d 2! = % {2(! 11 %! 22 )cos2" + 4! 12 sin 2" } = %{2(10 + 30)cos(2 + 30˚) + 4 ) 20 3 sin(2 + 30˚)} < 0 d" 2 "$ ! 1 = 30MPa, !1 = 30˚ よって, # ! = !50MPa, ! 2 = !60˚ %$ 2 (B) ! 1 !# 1 & 200 1 1 1 (! 11 %! 22 )2 + 4! 122 = (160 % 50) ± (160 + 50)2 + 4(100)2 = ' [MPa] " = (! 11 +! 22 ) ± !1 # 2 2 2 2 %90 ( $ 2! 12 2 )100 tan 2" = = = 0.95238 * " = 21.801˚, %68.199˚ ! 11 %! 22 160 + 50 d 2! = % {2(! 11 %! 22 )cos2" + 4! 12 sin 2" } = %{2(160 + 50)cos(2 + 21.801˚) + 4 )100 3 sin(2 + 21.801˚)} < 0 d" 2 "$ ! 1 = 200MPa, "1 = 21.8˚ よって, # $% ! 2 = !90MPa, " 2 = !68.2˚ (2)(B)の方が損傷の進行が速いと考えられる.理由: (B)の σ 1(=200 MPa)の方が(A)の σ 1(=30 MPa) よ り も 大 き い . ま た , (B) の ! 1 + ! 2 = ! 11 + ! 22 (= 110 MPa) の 方 が (A) の ! 1 + ! 2 = ! 11 + ! 22 (= !20 MPa) よりも大きい.最大主応力説と最大平均応力説の何れを採用するにしても(B) のほうが損傷の進展が促進されると判断できる.
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