期末試験問題及び解答

材料力学 II 定期試験
2016.8.1
実施
〔１〕物体の全補ひずみエネルギーを U * とし，コンプリメンタリー外力ポテンシャル関数を
VE* = ! " Ti ui dS と表すものとする．ここに， Ti は単位面積当たりの表面力（外力）
， ui は変位， S は
S
物体表面である．以下の問いに答えよ．
（１）補ひずみエネルギーとは何か．説明せよ．【5 点】
（２）構造物が集中荷重 QI ( I = 1, 2, …, n )（n は集中荷重の個数）を受けるとする．ここで，qI を，
QI の作用点における QI の作用方向の変位とするとき， VE* を QI と qI を用いて表せ．
【5 点】
（３）最小コンプリメンタリーエネルギーの原理を出発点として，カスティリアノの第２定理を誘
導する過程を示せ．ただし，線形弾性体を対象とし，補ひずみエネルギー U * とひずみエネ
ルギー U は値が等しく，これらは集中荷重 QI の関数として表現できているものとする．
【10
点】
〔２〕右の図に示すように，長さが等しく，共にヤング
率 E ，断面積 A の棒をピンで結合して，距離が l の剛体
壁間に左右対称な構造を造ったところ，壁面の法線と棒
のなす角は ! となった．今，この構造の頂点（節点 C）
に鉛直下向き荷重 P を加える．以下の問いに答えよ．
（１）棒に作用する内力（軸力）を求めよ．【10 点】
（２）頂点（節点 C）の垂直変位を求めよ．【10 点】
P
C
!
!
A
l
B
〔３〕下の図に示すような不静定はり（支間長 L；曲げ剛性 EI ［一定］）が，支点 A の位置におい
てモーメント荷重 M 0 を受けている．
（１）はりが支点から受ける反力を図示し，エネルギー法を利用してそれらの値を求めよ．
【15 点】
（２）支点 A 上のはりたわみ角をエネルギー法を利用して求めよ．【15 点】
（３）曲げモーメント図（BMD）とせん断力図（SFD）を描け．【10 点】
L
M0
A
x
B
y
〔４〕平面応力状態の微小要素の下記のような２つの応力状態(A)と(B)を考える．
(A) σ11 = 10 MPa，
σ22 = –30 MPa， σ12 = 20 3 MPa，
(B) σ11 = 160 MPa，
σ22 = –50 MPa， σ12 = 100 MPa，
以下の問いに答えよ．
（１）応力状態(A)(B)それぞれに対して，最大主応力σ1 と最小主応力σ2 ならびにそれらが発生す
る方向（x 軸からの角度θ1, θ2）を求めよ．ただし，x 軸から角度θをなす面における垂直応力σ
は以下の式で求められる．【15 点】
1
1
! = (! 11 +! 22 ) + (! 11 !! 22 )cos2" + ! 12 sin 2"
2
2
（２）材料の内部損傷がより進行しやすいのは応力状態(A)(B)のうちどちらか．また，その理由を
述べよ．【5 点】
材料力学 II 定期試験
〔１〕（１）補ひずみエネルギー U とは，応力テンソル ! ij ，ひずみテ
2016.8.1
実施の解答例
!
ンソル ! ij ，物体の体積 V により， U ! =
" ("
V
" ij
0
)
! ij d" ij dV で定義される
量，あるいはその応力に関する変分が， ! U ! =
" !"
V
σ11
# dV で与えられ
ij ij
る量と解釈される．１次元問題における単位体積当たりの補ひずみエネ
ルギーは下図の応力̶ひずみ線図における斜線部の面積に相当する（本
試験に対する解答としては，この最後の図解が示せれば十分である）．
O
ε11
n
（２）
VE = ! " Ti ui dS = ! # QI qI
S
I =1
（３）
n
#
&
0 = ! (U * + VE ) = ! (U + VE ) = ! % U(QI ) ! " QI qI (
$
'
I =1
n
# )U
& n # )U
&
= "%
! QI ! qI ! QI ( = " %
! qI (! QI
' I =1 $ )QI
'
I =1 $ )QI
*
)U
= qI
)QI
〔２〕
（１）節点 C における力の釣り合いを考える．棒の内力（軸力）Q（対称なので左右で等しい）は
引張りを正とする．
! V = 2Qsin ! + P = 0
"Q = #
P
2sin !
（２）ひずみエネルギーは，
2
+$
QI2 LI
P ' 1
l .
P 2l
U =!
= 2 " -& #
*
=
0
2
)
I =1 2AI E I
-,% 2sin ! ( 2AE 2 cos ! 0/ 8EAsin ! cos !
N
! " CV =
#U
Pl
=
#P 4EAsin 2 ! cos !
〔３〕
（１）支点 A には上向きの矢印を，支点 B には上向きの矢印と時計回りの矢印を描く（逆向きで
も良いが，その場合は値の符号が反転することに注意）．
支点 A の上向き反力を RA とすると，曲げモーメントは， M = RA x + M 0 .
L (R x + M )
M2
A
0
dx = !
dx ．
ひずみエネルギーは， U = !
! 2EI
0
2EI
L (R x + M ) x
!U
M !M
A
0
0=
="
dx = "
dx
!
0
!RA
EI !RA
EI
3M 0
M
力の釣り合い条件より， RB = +
, MA = 0
2L
2
2
# RA = $
3M 0
2L
$ 3M 0
'$ 3
'
#
x + M0 ) & #
x +1)
&
L%
( % 2L
(
!U
M !M
M L
2L
（２） ! A =
="
dx = "
dx = "" = 0
! EI !M
0
!M 0
EI
4EI
0
3M 0
dM
3M 0
（３） M (x) = !
.
x + M 0 , F(x) =
=!
2L
dx
2L
2lL
3
0
L
x
F 0
(!)
0
! 3M
2lL
SFD
M0
M 0
BMD
x
(+)
(!)
!
M0
2
〔４〕
(A) σ11 = 10 MPa，
σ22 = –30 MPa， σ12 = 20 3 MPa，
(B) σ11 = 160 MPa，
σ22 = –50 MPa， σ12 = 100 MPa，
1
1
! = (! 11 +! 22 ) + (! 11 !! 22 )cos2" + ! 12 sin 2"
2
2
d!
d 2!
= !(! 11 !! 22 )sin 2" + 2! 12 cos2" ;
= ! {2(! 11 !! 22 )cos2" + 4! 12 sin 2" }
d"
d" 2
（１）(A)
! 1 !# 1
& 30
1
1
1
(! 11 %! 22 )2 + 4! 122 = (10 % 30) ±
(10 + 30)2 + 4(20 3)2 = '
[MPa]
" = (! 11 +! 22 ) ±
!1 # 2
2
2
2
%50
(
$
tan 2" =
2! 12
2 ) 20 3
=
= 3
! 11 %! 22 10 + 30
* " = 30˚, %60˚
d 2!
= % {2(! 11 %! 22 )cos2" + 4! 12 sin 2" } = %{2(10 + 30)cos(2 + 30˚) + 4 ) 20 3 sin(2 + 30˚)} < 0
d" 2
"$ ! 1 = 30MPa, !1 = 30˚
よって， #
! = !50MPa, ! 2 = !60˚
%$ 2
(B)
! 1 !# 1
& 200
1
1
1
(! 11 %! 22 )2 + 4! 122 = (160 % 50) ±
(160 + 50)2 + 4(100)2 = '
[MPa]
" = (! 11 +! 22 ) ±
!1 # 2
2
2
2
%90
(
$
2! 12
2 )100
tan 2" =
=
= 0.95238 * " = 21.801˚, %68.199˚
! 11 %! 22 160 + 50
d 2!
= % {2(! 11 %! 22 )cos2" + 4! 12 sin 2" } = %{2(160 + 50)cos(2 + 21.801˚) + 4 )100 3 sin(2 + 21.801˚)} < 0
d" 2
"$ ! 1 = 200MPa, "1 = 21.8˚
よって， #
$% ! 2 = !90MPa, " 2 = !68.2˚
（２）(B)の方が損傷の進行が速いと考えられる．理由： (B)の σ 1(=200 MPa)の方が(A)の σ 1(=30
MPa) よりも大きい．また， (B) の ! 1 + ! 2 = ! 11 + ! 22 (= 110 MPa) の方が (A) の ! 1 + ! 2 =
! 11 + ! 22 (= !20 MPa) よりも大きい．最大主応力説と最大平均応力説の何れを採用するにしても(B)
のほうが損傷の進展が促進されると判断できる．

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