1 カルタン第 1 構造方程式 2 曲率 1 形式の対称性 3 カルタン第 2 構造

1 カルタン第 1 構造方程式
dω â “ ´Γâ b̂ ^ ω b̂
(1)
Γâb̂ “ ´Γb̂â
(2)
2 曲率 1 形式の対称性
これにより，Γââ “ ´Γââ だから，Γââ “ 0 なので，例えば，Γ0̂ 0̂ “ η 0̂0̂ Γ0̂0̂ “ 0，Γ1̂ 1̂ “ η 1̂1̂ Γ1̂1̂ “ 0 が成り
立つ．
3 カルタン第 2 構造方程式
Ωâ b̂ “ dΓâ b̂ ` Γâ ĉ ^ Γĉ b̂ “
1 â
ˆ
R ˆω ĉ ^ ω d
2 b̂ĉd
(3)
4 曲率 1 形式とリッチ回転係数との関係式
Γâ b̂ “ Γâ b̂ĉ ω ĉ
(4)
5 座標規定から局所座標への変換
`
˘
V µ̂ “ Λµ̂ ν “ V ν ñ xˆ “ Λµ̂ ν x
(5)
`
˘a
ˆ
Ra bcd “ Λ´1 ê Rê fˆĝĥ Λf b Λĝ c Λĥ d
`
˘a ˆ
ˆ
Γa bc “ Λ´1 dˆΓd êfˆΛê b Λf c
6 リーマンテンソルの対称性
Rabcd “ Rcdab
(6)
Rabcd “ ´Rbacd
(7)
1

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