Compléments 2015–2016 Examensfragen 1. Beschreiben Sie das

Compléments 2015–2016
Examensfragen
1. Beschreiben Sie das Russellsche Paradoxon.
2. Wieviele Elemente enthält die Menge P(P(∅)) ? Welche?
3. Gibt es eine bijektive Abbildung (0; 1) → [0; 1] ?
4. Sei f : X → Y eine Abbildung, A, B ⊆ X und A0 , B 0 ⊆ Y . Folgt dann f (A ∩ B) =
f (A) ∩ f (B) ? Folgt f −1 (A0 ∩ B 0 ) = f −1 (A0 ) ∩ f −1 (B 0 ) ?
5. Was ist ein Äquivalenzrelation? Geben Sie 3 Beispiele.
6. Fundamentalsatz der Algebra, Beweisidee
7. Was besagt das Auswahlaxion? Was besagt das Lemma von Zorn?
8. Beweisen Sie mit Hilfe des Lemmas von Zorn, dass jeder Vektorraum eine Basis hat.
9. Was besagt die Kontinuumshypothese?
10. Beweisen Sie, dass für jede Menge X gilt: card(X) < card(P(X)).
11. Was besagt der Satz von Cantor–Bernstein?
12. Begründen Sie: card(R2 ) = card(R).
1. Décrire le paradoxe de Russell.
2. Combien d’éléments contient l’ensemble P(P(∅)) ? Quels sont les éléments?
3. Y at-il une bijection (0; 1) → [0; 1] ?
4. Soit f : X → Y une application, A, B ⊆ X et A0 , B 0 ⊆ Y . Peut-on conclure que
f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B) ? Et f −1 (A0 ∩ B 0 ) = f −1 (A0 ) ∩ f −1 (B 0 ) ?
5. Qu’est-ce qu’une relation d’équivalence? Donnez trois exemples.
6. Théorème fondamental de l’algèbre, idée de la preuve
7. Qu’est-ce que l’axiom du choix ? Le lemme de Zorn ?
8. Prouvez à l’aide du lemme de Zorn que tout espace vectoriel possède une base.
9. Qu’est-ce que l’hypothèse du continu ?
10. Montrer que pour tout ensemble X on a card(X) < card(P(X)).
11. Qu’est-ce que le théorème de Cantor–Bernstein ?
12. Montrer que card(R2 ) = card(R).

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