Eine Lösung für das 3x+1 Problem

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Eine Lösung für das 3x+1 Problem
Klaus Behmler, Chemnitz
Abstract
In dieser Schrift wird eine Lösung des 3x+1 Problems, auch Collatz Problems, vorgestellt. Sie
verwendet Äquivalenz Beziehungen [2].
1. Einleitung
Die verwendete Literatur ist in [1,2,3] enthalten.
Collatz Vermutung
Sei T : Z→Z definiert durch
T(x) =
T(x) =
𝐱
𝟐𝐤
falls 𝑴𝒐𝒅[𝒙, 𝟐] == 𝟎 und k ist die größte Potenz von 2 , die ein Faktor von x ist.
(𝟑𝐱 + 𝟏)
𝟐𝐤
falls 𝑴𝒐𝒅[𝒙, 𝟐] == 𝟏 und k ist die größte Potenz von 2 , die ein Faktor von (3x+1)
ist.
Es wird angenommen, falls x € N , dann erreicht die Trajektorie T(X)= x, 𝑇 1 (𝑥), 𝑇 2 (𝑥),.......... eventuell
den Wert 1.
Als Fluss Bild dargestellt:
While (x > 1)
Begin
if (x is Odd) Then
x=3*x + 1;
Else
x = x /2;
End
Die Collatz Folge von x=5 ist:
Collatz[5]= {5,16,8,4,2,1}. Man kann die vielen geraden Elemente weglassen [1]. Die Funktion Fu1
leistet das. So ist Fu1[5]= {5,1}
2
Beweis der Collatz Vermutung
Falls zwei Collatz Folgen mindestens in einem Element übereinstimmen, sind sie äquivalent[1]. Es
genügt, die Vermutung für alle ungeraden natürlichen Zahlen, zu beweisen.
Wir beweisen, wenn in der Prozedur 1 fende→∞ , dann wächst ff3[[-1]] gegen →∞ .
Prozedur 1
fstart = 400 + 1000 + 100; fende = fstart + 100; ffmax = ff3; ffmaxmax
= Max[ffmax]; hgf02 = 3077; ff3 = {}; Do[hgf
= Table[Fu1[2𝑘 + 1], {𝑘, fstart, fende}]; hgf01
= Flatten[hgf]; hgf02 = Max[hgf01]; If[hgf02 > 3077, ff3
= Append[ff3, hgf02]], {fende, 1, fende}]; ffmax
= ff3; ffmax; ffmax01 = ffmax[[1]]; ff1 = Length[ffmax]; ff2
= 1; ff3 = {ffmax01}; While[ff1 > ff2 + 1, ff4
= ffmax[[ff2]]; If[ffmax01 < ff4, ffmax01 = ff4; ff3
= Append[ff3, ffmax01]]; ff2 = ff2 + 1]; ff3; ListLinePlot[ff3]
400 000
300 000
200 000
100 000
2
3
4
ff3[[−1]]
425645
5
3
fstart = 400 + 1000 + 100; fende = fstart + 100; ffmax = ff3; ffmaxmax = Max[ffmax]; hgf02
= 425645; ff3 = {}; Do[hgf = Table[Fu1[2𝑘 + 1], {𝑘, fstart, fende}]; hgf01
= Flatten[hgf]; hgf02 = Max[hgf01]; If[hgf02 > 3077, ff3
= Append[ff3, hgf02]], {fende, 1, fende}]; ffmax = ff3; ffmax; ffmax01
= ffmax[[1]]; ff1 = Length[ffmax]; ff2 = 1; ff3 = {ffmax01}; While[ff1
> ff2 + 1, ff4 = ffmax[[ff2]]; If[ffmax01 < ff4, ffmax01 = ff4; ff3
= Append[ff3, ffmax01]]; ff2 = ff2 + 1]; ff3; ListLinePlot[ff3]
400 000
300 000
200 000
100 000
2
3
4
5
ff3[[−1]]
315675953
fstart = 400 + 1000 + 100 + 425645; fende = fstart + 100; ffmax = ff3; ffmaxmax
= Max[ffmax]; hgf02 = 425645; ff3 = {}; Do[hgf
= Table[Fu1[2𝑘 + 1], {𝑘, fstart, fende}]; hgf01 = Flatten[hgf]; hgf02
= Max[hgf01]; If[hgf02 > 3077, ff3
= Append[ff3, hgf02]], {fende, 1, fende}]; ffmax = ff3; ffmax; ffmax01
= ffmax[[1]]; ff1 = Length[ffmax]; ff2 = 1; ff3 = {ffmax01}; While[ff1
> ff2 + 1, ff4 = ffmax[[ff2]]; If[ffmax01 < ff4, ffmax01 = ff4; ff3
= Append[ff3, ffmax01]]; ff2 = ff2 + 1]; ff3; ListLinePlot[ff3]
3.0 108
2.5 108
2.0 108
1.5 108
1.0 108
5.0 107
2
3
4
5
4
ff3[[−1]]
315675953
Und so weiter und sofort.
Wir wollen die Prozedur 1 etwas deuten.
Ffende legt den Endwert fest.
Ff3 stellt die einzelnen Endpunkte dar.
Diese sind in der letzten Abbildung :
{4618397,11096837,11691701,126412973,315675953}.
Literatur
1.Some Observations on the 3x+1 Problem
Dhananjay P. Mehendale
Sir Parashurambhau College, Tilak Road, Pune-411030,
India
2. Solution to the 3x+1 Problem
Charles Cadogan
3.Mathematica von Wolfram Research

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