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材料力学演習 2016 課題⑨解答例：熱応力の不静定問題
でも一定で同じである。
１．《解答》
(1) フリーボディダイアグラムは解図 1.1 となる。
RA
Qx  RA  RB
(1.7)
したがって， x の位置の応力  x は，内力 Qx を断面積
RB
Ax で割って，
x 
解図 1.1 フリーボディダイアグラム
RA RA

Ax bhx
(1.8)
(3)と同様に， x の位置の微小幅 dx の力 P による伸び
力のつり合い式は，右方向を正の向きとして，
を d P とすると，
 RA  RB  0
d P   P dx 
したがって，
RA  RB
(1.1)
E
dx 
RA
dx
bhx E
(1.9)
全体の伸び P は式(1.9)を積分して，
(2) 熱膨張によるひずみ  T は，
l
 T  T
x
P   d P 
0
(1.2)
となり，どの位置でも一定である。 x の位置の微小幅
RA l dx
bE 0 hx
ここで，置換積分を用いる。式(1.5)から，
dx の伸びを d T とすると，
d T   T dx  Tdx
dhx
h
 0
dx
l
(1.3)
全体の伸び T は式(1.3)を積分して，
T   d T  T  dx  Tl
l
l
0
0
したがって，
(1.4)
P  

つまり，熱による伸びには，断面積の変化は関係しな
いことになる。

(3) 長方形の面積は縦×横。横に当たる幅が b で一
RA l
bE h0
dhx
2 h0 h
x

h0
RA l
[ln hx ]h20h0
bE h0
(1.10)
RA l ln 2
bh0 E
定である。縦に当たる高さが変化する。 x の位置の高
さを hx とすると，
h  2h0
x
hx  2h0  0
x  h0 (2  )
l
l
(5) 両側が剛体壁に挟まれているので，熱による伸び
と壁からの仮想反力による伸びの和はゼロとなる。した
(1.5)
がって，
T  P  0
したがって， x の位置の断面積 Ax は，
x
Ax  bhx  bh0 (2  )
l
(4)
(6) 式(1.11)に，式(1.4)，(1.10)を代入して，
(1.6)
Tl 
x の位置の内力 Qx を仮想断面に対して引張と仮
定すると，式(1.1)より，次式で示すようにどの仮想断面
1
RA l ln 2
0
bh0 E
(1.11)
のみで良い。また，円筒の P1 は片側だけでも良い。
したがって，
RA   ET
bh0
 RB
ln 2
(1.12)
T がプラスのとき圧縮である。
P2
P1
P2
P1
(7) 応力は内力を断面積で割って，
x 
Qx
RA

Ax bh0 (2  x / l )

(1.13)
ET
ln 2(2  x / l )
式(1.13)より，絶対値の最大値は x  l で生じ，その値
は，
 max   x (l )  
ET
ln 2
(1.14)
解図 2.1 フリーボディダイアグラム
剛体板に関して，力のつり合いを考えると，
(8) 最大応力が，引張強さ以下であれば良いから，
 max   B
P1  P2  0
(1.15)
(2) 円筒と円柱は剛体の板を通じてつながっているの
式(1.14)を代入し， T について解くと，
ET
B
ln 2
 T 
 B ln 2
E
で，自由に膨張できず変形量は同じとなる。
1  2
(1.16)
により
張強さは幅があるが安全側で最小値の  B  330 MPa
とし，
330  106  ln 2
206  109  11.2  106
 99.14 K
(1.17)
  23.6  10 6 ，引張強さは  B  167 MPa であるから，
167  106  ln 2
67  109  23.6  106
 73.20 K
1 
Pl
1
 1Tl
A1 E1
(2.3.a)
2 
P2 l
  2 Tl
A2 E2
(2.3.b)
(4) 式(2.3)を式(2.2)に代入すると，
(9) アルミニウムの場合， E  69 GPa ，
T 
(2.2)
(3) 引張力と温度上昇による伸びを重ね合わせること
低炭素鋼の場合， E  206 GPa ，   11.2  10 6 ，引
T 
(2.1)
(1.18)
Pl
Pl
1
 1Tl  2   2 Tl
A1 E1
A2 E2
上式を整理して，
P1
P
 2  (1   2 )T
A1 E1 A2 E2
２．《解答》
(1) フリーボディダイアグラムは解図 2.1 となる。ここで
(2.4)
一方，式(2.1)から，
は，理解しやすいように円柱，円筒，床もフリーボディ
P2   P1
として描いてあるが，設問にあるように，解答は剛体板
2
(2.5)
式(2.5)を式(2.4)に代入して，
(
400  106  69MPa  206MPa  (23.6  11.2)  106  (100)
200  106  69MPa  400  106  206MPa
400  69  206  (23.6  11.2)  100  103

200  69  400  206
 73.28  106 Pa  73.3 MPa
1  
1
1

) P1  (1   2 )T
A1 E1 A2 E2
したがって，
2 
P1  
A1 A2 E1 E2 (1   2 )T
A1 E1  A2 E2
P2   P1 
A1 A2 E1 E2 (1   2 )T
A1 E1  A2 E2
(2.6.a)
P2  P1
A

  1 1
A2
A2
A2
200
 (73.28  106 )
400
 36.64  106 Pa  36.6 MPa

(2.6.b)
 1 と  2 を比較して，絶対値の最大応力はアルミニウム
(5) 応力は，荷重 P1 ， P2 をそれぞれの断面積で割っ
製の円筒側に生じ，大きさは  max  73.3 MPa の引張
て，
応力である。
1 
P1
A E E (   2 )T
 2 1 2 1
A1
A1 E1  A2 E2
(2.7.a)
2 
P2 A1 E1 E2 (1   2 )T

A2
A1 E1  A2 E2
(2.7.b)
(8) 円筒と円柱を入れ替えたので，物性値と記号の対
応は以下の通りとなる。
E1  206 GPa ，
E2  69 GPa
1  11.2  10 6 K 1 ，
 2  23.6  10 6 K 1
片方が引張応力でもう一方が圧縮応力になる。どちら
 1B  330 MPa ，
 2 B  167 MPa
が引張でどちらが圧縮かは，それぞれの材料の線膨
A1  200  10 6 m 2 ，
A2  400  10 6 m 2
張係数 1 ， 2 のどちらが大きいかによって決まる。
線膨張係数の大小関係が 1   2 であることを考慮し
(6) 円筒と円柱の伸びは等しいから，式 (2.3.a) に式
て，円筒，円柱のそれぞれについて許容できる温度変
(2.6.a)を代入して，
1  2 


化 T1 ， T2 を求めると，
Pl
1
 1Tl
A1 E1
 1B  
A2 E2 (1   2 )Tl
 1Tl
A1 E1  A2 E2
(2.8)
A2 E1 E2 (1   2 )T1
A1 E1  A2 E2
 T1   1B
(1 A1 E1   2 A2 E2 )Tl
A1 E1  A2 E2
 2B 
式(2.7)から，円筒と円柱のどちらか一方は圧縮応力が
(2.9.a)
A1 E1 E2 (1   2 )T
A1 E1  A2 E2
 T2   2 B
働いているが，変形量は温度変化がプラスであれば，
A1 E1  A2 E2
A2 E1 E2 ( 2  1 )
円筒，円柱ともに伸びている。
A1 E1  A2 E2
A1 E1 E2 ( 2  1 )
(2.9.b)
(7) 円柱を低炭素鋼，円筒をアルミニウムとしているの数値を代入して計算すると，
で，必要な物性値と記号との対応は以下の通りに成る。
E1  69 GPa ，
E2  206 GPa
1  23.6  10 6 K 1 ，
 2  11.2  10 6 K 1
 1B  167 MPa ，
A1  200  10
6
2
m ，
T1  330  106

200  106  206MPa  400  106  69MPa
400  106  69MPa  206MPa  (23.6  11.2)  106
 2 B  330 MPa

330  (200  209  400  69)  103
400  69  206  (23.6  11.2)
A2  400  10 6 m 2
 324.8 K  324 K
式(2.7)に代入して，
3
解図 3.2 剛体棒の変位
T2  167  106

6
6
200  10  206MPa  400  10  69MPa
200  106  69MPa  206MPa  (23.6  11.2)  106
BCB' と三角形 DCD ' は相似な三角形であるから，
167  (200  209  400  69)  103

200  69  206  (23.6  11.2)
1 : 2  BC : DC  l : 3l
 328.7 K  328 K
両方を満足する最大値としては，アルミニウムの円柱
(3.3)
したがって，
側の結果から， Tmax  324 K
2  31
３．《解答》
(3.4)
(4) 張力は引張荷重と仮定しているので，張力による
(1) ワイヤの張力は，ワイヤを引張る向きに働くと仮定
ひずみはプラスとする。一方，熱ひずみは冷却なので
すると，剛体棒 BD のフリーボディダイアグラムは解図
ワイヤを縮ませる。よって，熱ひずみにはマイナス符号
3.1 となる。
をつけて，両者の和が全体の伸びと考える。
T1
C
D
B
R
1  2l (
T1
 T )
AE
(3.5.a)
2  3l (
T2
 T )
AE
(3.5.b)
T2
(5) 式(3.4)に式(3.5)を代入すると，
解図 3.1 剛体棒のフリーボディダイアグラム
3l (
(2) 力のつり合いは，上向きを正として，
T1  R  T2  0
(3.1)
T2
T
 T )  3  2l ( 1  T )
AE
AE
したがって，
C 点回りのモーメントのつり合いを考える。反時計回り
T2
T
 T  2 1  2T
AE
AE
をプラス，時計回りをマイナスの向きとすると， T1 ， T2
による回転方向は，いずれも時計回りであるから，
2T1  T2  ETA
lT1  3lT2  0
式(3.6)に式(3.2)を代入して，
したがって，
T1  3T2
7T2  ETA
(3.2)
T2  
(3) 解図 3.1 のように，張力は時計回りに働くように仮
定したため，C 点を中心に回転してつり合った状態は
ぐである。
T1 
B’
B
C
ETA
7
(3.7.a)
式(3.2)に代入して，
解図 3.2 のようになる。剛体棒は変形しないので真直
1
(3.6)
3ETA
7
断面積で割って，
D
2
D’
4
(3.7.b)
T1 3ET

A
7
T2
ET
2   
A
7
に生じる  1 である。これが，許容応力以下であれば良
1 
いから，
(3.8)
3ET
 a
7
(6) 式(3.1)より，
 T 
7 a
3 E
(3.10)
数値を代入して，
R  T2  T1
1
3
  ETA  ETA
7
7
4
  ETA
7
7 a
3 E
7
110  106

3 206  109  11.2  106
 111.2 K=111 K
(3.9)
T 
(7) 式(3.8)より，絶対値がより大きな応力はワイヤ AB
5
(3.11)

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