年 番号 1 4 k を自然数とする．次の問いに答えよ． B (1) n 2 + 7 が自然数となるような自然数 n をすべて求めよ． B (2) n 2 + 72 が自然数となるような自然数 n をすべて求めよ． B (3) n 2 + 7k が自然数となるような自然数 n をすべて求めよ． 氏名 n を自然数とする．下図のように，3 本の平行な道路 `1 ，`2 ，`3 があり，`1 ; `2 をつなぐ 縦の道 と，`2 ; `3 をつなぐ 縦の道がそれぞれ n 本ずつ，交互に配置されているとする． （ 島根大学 2016 ） 次の規則に従い図の X から出発して Pn ，Qn ，Rn に到達する経路の個数をそれぞれ an ，bn ，cn 2 次の問いに答えよ． とする． (1) 2 次方程式 t2 + 5t + 2 = 0 の解を ®; ¯ とするとき，®2 + ¯2 の値を求めよ． (2) u; v を実数とする．2 次方程式 t2 （ 規則）`1 ，`2 ，`3 は一方通行であり，西方向には進むことができない．また，一度通った縦の ¡ ut + v = 0 が実数解をもつとき，点 (u; v) の存在範囲を 道を再び通ることもできない． 図示せよ． 次の問いに答えよ． (3) 平面上の点 (a; b) が原点を中心とする半径 1 の円の内部を動くとき，点 (a + b; ab) の動い (1) a2 ; b2 を求めよ． てできる領域を図示せよ． (2) an+1 を an ; bn を用いて表せ． （ 島根大学 2016 ） (3) bn = cn が成り立つことを証明せよ． (4) a1 ; b1 ; a2 ; b2 ; Ý; ak ; bk ; Ý と順に並べてできる数列を ffn g (n = 1; 2; 3; Ý) とす 3 る．fn+2 を fn ，fn+1 を用いて表せ．また，それを用いて a7 を求めよ． p 複素数平面上に点 O(0)，P(¡1 + 3i)，Q(2) と，これら 3 点を通る円 C がある．ただし，i は （ 島根大学 2016 ） 虚数単位とする．このとき，次の問いに答えよ． p (1) 複素数 ¡1 + 3i を極形式で表せ．ただし，偏角 µ の範囲は 0 5 µ < 2¼ とする． (2) ÎOPQ の大きさを求めよ． (3) 円 C と虚軸との交点のうち，O でない点を R とする．R を表す複素数を求めよ． z¡1 (4) 円 C の中心を表す複素数を c とする．点 z が円 C 上を動くとき，複素数 w = がえが z¡c く図形を図示せよ． （ 島根大学 2016 ） 5 1 から 5 までの数字を 1 つずつ書いた 5 枚のカードが箱に入っている．箱の中から 1 枚のカード を取り出してもとに戻すことを n 回続けて行う．k 回目に取り出したカード の数字を ak とし ， n P ak が偶数である確率を pn とする．このとき，次の問いに答えよ． k=1 (1) p1 ; p2 を求めよ． (2) pn+1 を pn を用いて表せ． (3) pn を求めよ． （ 島根大学 2016 ） 6 p p p 座標空間に原点 O と点 A(2 3; 0; 2)，B( 3; 2 3; 1) がある．次の問いに答えよ． (1) 三角形 OAB は正三角形であることを示せ． (2) 四面体 OABC が正四面体となるような点 C の座標を求めよ． （ 島根大学 2016 ） 7 p; q; ®; ¯ を実数とし ，p > 0，q > 0，® < ¯ とする．2 次関数 f(x) = p2 (x ¡ ®)2 と g(x) = q2 (x ¡ ¯)2 について，次の問いに答えよ． (1) 2 つの放物線 y = f(x) と y = g(x) の交点の x 座標で，® と ¯ の間にあるものを求めよ． (2) ® 5 x 5 ¯ において，2 つの放物線 y = f(x)，y = g(x) と x 軸とで囲まれた部分の面積 S を求めよ． (3) pq = 1 であるとき，S を最大にする p; q の値を求めよ． （ 島根大学 2016 ） 8 y2 x2 1 ¼ とする．xy 平面上の曲線 = + の x = 0，y = 0 の部分 2 2 2 cos ® cos2 ® sin ® を C(®) とし ，曲線 C(®) と y 軸，および直線 y = x で囲まれた図形を D(®) で表す．次の問 0<®< いに答えよ． (1) 曲線 C(®) と直線 y = x の交点の座標を求めよ． (2) 図形 D(®) の面積 S(®) を求めよ． (3) 図形 D(®) を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積 V(®) を求めよ． fV(®)g2 (4) (2)，(3) で求めた S(®)，V(®) に対して， lim を求めよ． ®!+0 fS(®)g3 （ 島根大学 2016 ）
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