予定 （川口担当分） （１）４月１３日 （２）４月２０日 （３）４月２７日 （４）５月１１日 （５）５月１８日 （６）５月２５日 （７）６月１日 量子力学・固体の性質の復習 自由電子モデル 結晶中の電子 半導体 輸送現象・金属絶縁体転移 磁性の基礎 物性におけるトポロジー 今日（６/１）の内容 磁性の基礎 • 交換相互作用 物性物理におけるトポロジー • トポロジーとは？ • ホモトピー群 • 量子力学におけるトポロジー • TKNN理論 磁性 • 原子の磁気モーメント • 結晶中の磁性イオン • 局在モーメントが示す磁性 • 交換相互作用 強磁性・反強磁性 常磁性状態 強磁性状態 反強磁性状態 交換相互作用 の起源？ → パウリ原理に基づくクーロン相互作用のスピン依存性 e e A B スピン状態 交換相互作用 e スピン状態 e A B ３重項 １重項 （スピンの入れ替えに対して対称） （スピンの入れ替えに対して反対称） 軌道は反対称 軌道は対称 クーロン相互作用 e e A B 交換相互作用 量子論固有の効果 交換相互作用 スピン３重項 スピン１重項 エネルギーは、 スピン３重項 スピン１重項 J >0 スピン間の相互作用は強磁性的 J <0 スピン間の相互作用は反強磁性的 レポート１１ 1. 大きさが１/２の２個のスピンS1, S2の間の等方的 な相互作用は一般に と書けて、 （nは2以上の整数）のよう な項は存在しない。この理由を説明せよ。 2. 上記の議論を拡張して、大きさが１のスピン間に 働く等方的な相互作用の一般形を導きなさい。 物性におけるトポロジー トポロジカル絶縁体 m 周期境界条件 トポロジカル絶縁体 edge state m 開放端境界条件 絶縁体の種類 （１）バンド絶縁体 （２）アンダーソン絶縁体 （３）パイエルス絶縁体 （４）モット絶縁体 （５）電荷秩序絶縁体（モット絶縁体の仲間） （６）トポロジカル絶縁体 トポロジー（位相幾何学）とは？ • ものの「形」を分類する数学 ボール マグカップ～ドーナツ https://ja.wikipedia.org/wiki/位相幾何学 トポロジー（位相幾何学）とは？ • ものの「形」を分類する数学 ふつうの輪 メビウスの輪 トポロジカル不変量の例 オイラーの定理 c=(頂点の数）－(辺の数）＋(面の数） 4面体 6面体 ８面体 多様体 局所的にユークリッド空間(座標系を導入できる）と見なせる空間 例） n次元球面： S1 ：輪 S2 ：球面 一般の多様体M を分類するには？ ホモトピー群による分類 SnからMへの写像を考え、連続変形で移り変われないものを 数え上げる 基本群：π1(M) S1からMへの写像の分類 ＝閉経路 π1(M)： M上の連続変形で移り変われない閉経路の集合 例1) M=S1 巻き付き数（winding number） 基本群：π1(M) S1からMへの写像の分類 ＝閉経路 π1(M)： M上の連続変形で移り変われない閉経路の集合 例2) M=S2 連続変形で 一点に縮む 基本群の応用 ２次元空間における点欠陥 ３次元空間における線欠陥 を分類 例）スピンの空間分布 写像 閉経路上のスピン分布を 調べることで 欠陥を分類できる 欠陥 閉経路 ２次元スピン（ＸＹ模型） Ｎ＝１ Ｎ＝０ ホモトピー群による分類 ３次元スピン（ハイゼンベルグ模型） 基本群：π1(M) S1からMへの写像の分類 ＝閉経路 π1(M)： M上の連続変形で移り変われない閉経路の集合 例3) M=T2 （トーラス） 図の２つの輪に対し 各々何回巻き付くか レポート問題１２ 1. ホモトピー群、ホモトピーとはどういうものかを調 べて、具体例をあげて説明しなさい。 2. トポロジーが工学に応用されている例を調べて まとめなさい。 レポート問題１３ 1. マゼラン世界一周を行った。しかしマゼランは本 当に地球が球形であることを証明したことになる だろうか。どうしたら、地球は球形であることを示 されるであろうか論じなさい。（宇宙から観察する ことはできないとする。） 2. 宇宙の外に出ないで宇宙の形を知るにはどのよ うな仮想的実験ができると良いか論じなさい。 3. 現在宇宙の形の候補としてどのようなものがあ るか調べてまとめなさい。（サーストンの業績より 幾何化予想） 高次のホモトピー群 第２ホモトピー群 π2(M) ３次元空間における点欠陥 ２次元空間（＋境界条件）における欠陥のない構造 を分類 モノポール↔スカーミオン http://www.christophschuette.com/physics/skyrmions.php 量子力学のトポロジー 波動関数の「形」が連続変形でつながるか 例）超伝導体の中の磁束の量子化 磁場x 面積 磁束渦 超伝導渦の磁束量子 プランク定数 電子の電荷 ホログラフィー電子顕微鏡による磁束量子の観察 @日立 超伝導体状態の巨視的波動関数(クーパー対) 磁束渦あり 磁束渦なし 磁束の量子化 渦の中心から十分離れた領域では 超伝導電流 ベクトルポテンシャル したがって Stokesの定理 位相変化が2πN 磁束 磁束がとびとびの値(N=0,1,2…)をとる 波数空間におけるトポロジカル不変量 ブロッホ波動関数を分類 ≃ 最初に知られたトポロジカル量子系 量子ホール系 強磁場下の半導体 • 半導体‐絶縁体界面、半導体のヘテロ接合などで実現される。 2次元電子系に対し強い磁場（強磁場）を印加すると、電子の 軌道運動が量子化され、エネルギー準位が離散的な値に縮 退し、ランダウ準位が形成される。その結果、ホール係数が 量子化される。 TKNN公式 Thouless-Kohmoto-Nightingale-den Nijs チャーン数 (トポロジカル不変量) 線形応答理論 占有バンドのベリー位相 運動量空間での”ベクトルポテンシャル” TKNN不変量 ベクトルan(k) がBrillouinゾーン内の全域で正則な （一価関数としてなめらかに変化している）場合 =0 これが非ゼロになるのは特異点がある場合のみ。 すなわち、(あるひとつのゲージであたえられる) an(k)が定義でき ない点がBrillouin ゾーンに存在する場合のみ。 TKNN不変量 RI RII 重なり部分で RI とRIIの重なり ＝整数 占有バンドのトポロジー チャーン数 1 チャーン数 0 占有バンドの状態ベクトル チャーン数は保存量 量子化 36 バルク・エッジ対応 H 量子ホール状態 ギ ャ ッ プ レ ス 状 態 真空 量子ホール状態 量子ホール状態では、バルクにはエネルギーギャップがある。 バルクの状態は絶縁体と考えるべき。 トポロジカルに非自明な波動関数は、ギャップを開けたまま 真空の波動関数につながらない。 （金属状態の発現） レポート１４ 1. 量子ホール効果とはどういう現象か詳しく 説明しなさい。これまでどのような研究が 行われたのか歴史的背景についてもまと めなさい。（普通のホール効果との違いに も言及せよ。） 2. トポロジカル絶縁体にはどのような種類の ものがあるのか詳しく調べてまとめなさい。 またどのような性質機能が期待されている のかをまとめなさい。
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