Optimale Regelung mechatronischer Systeme, Übungen SS 2016

Optimale Regelung mechatronischer Systeme, Übungen
SS 2016
Hausaufgabe
Letztmöglicher Abgabetermin: 1.9.2016, per e-mail (als zip-Datei) an [email protected]
1. Vorgegeben sei ein lineares, zeitinvariantes, zeitdiskretes Übertragungssystem mit der
Eingangsfolge (uk ) und der Ausgangsfolge (yk ). Die Impulsantwort des Systems (d.h.
die Antwort auf die Eingangsfolge (uk ) = (1; 0; 0; 0; : : :)) lautet
yk =
1
(0:9)k (1
9
0:4 cos 2k) für k
0.
Es soll nun eine Eingangsfolge (uk ) ermittelt werden, die bewirkt, dass die zugehörige
Ausgangsfolge (yk ) möglichst gut mit einer gegebenen Führungsfolge (rk ) übereinstimmt und die dabei die Beschränkung
juk j
umax = 5
einhält. Die Führungsfolge sei gegeben durch:
8
0 für 0
>
>
<
1 für 40
rk =
1 für 90
>
>
:
0 für 140
k
k
k
k
39
89
139
200
(a) Lösen Sie dazu die Optimierungsaufgabe
minimiere
200
P
k=0
unter
juk j
jrk
yk j
5 für k = 0; : : : ; 200
und stellen Sie die Zahlenfolgen (rk ); (yk ) und (uk ) gra…sch dar.
(b) Erweitern Sie die Optimierungsaufgabe durch eine zusätzliche Beschränkung der
Stellfolge (uk ) in der Form
juk+1
uk j
0:5 für k = 0; : : : ; 199
und stellen Sie auch für diesen Fall die Zahlenfolgen (rk ); (yk ) und (uk ) gra…sch dar.
2. Erstellen Sie eine MATLAB-Funktion zur Berechnung eines linearen zeitinvarianten
Abtastregelgesetzes für einen Festwertregelkreis. Für den Reglerentwurf soll dabei die
Methode basierend auf der Linearen Programmierung verwendet werden, wie sie 5.
Kapitel des Vorlesungsskriptums dargestellt ist.
Als Regelstrecke wird eine drehbar gelagerte Masse betrachtet, die über eine Torsionsfeder durch eine fremderregte Gleichstrommaschine bewegt werden kann. Die Stellgröß
e ist durch die Ankerspannung u der Gleichstrommaschine gegeben, als Regelgröß
e
y wird der Winkel der Masse (angegeben in Inkrementen) gewählt. Die Übertragungsfunktion der Regelstrecke lautet:
P (s) =
y(s)
33245
=
2
u(s)
s(s + 0:186s + 27:25)
Für die Stellgröß
e gilt folgende Beschränkung im Betrieb des Regelkreises:
ju(t)j
6V
Die Abtastperiode des Regelkreises ist durch
T = 0:05 s
vorgegeben. Von der Störfolge (dk ), die der Ausgangsfolge (yk ) überlagert ist, wird
angenommen, dass sie in ihrer Änderungsgeschwindigkeit beschränkt ist durch
jdk+1
dk j
183 .
Berechnen Sie mit Hilfe Ihrer MATLAB-Funktion optimale Regelgesetze zur Störungsunterdrückung für wachsende Ordnungen des Reglerparameters K(z) und stellen Sie die
zugehörigen optimalen Zielfunktionswerte gra…sch in Abhängigkeit von der Ordnung
von K(z) dar.
3. Betrachten Sie das folgende elektromechanische System, bei dem eine fremderregte
Gleichstrommaschine über ein Getriebe (Übersetzungsverhältnis kg ) eine mechanische
Last antreibt.
i
R
L
ωm k
g
u
kmωm
l
MA
ϕ1
MR c
J1
J2
mg
ϕ2
Die mechanische Last besteht aus zwei drehbaren Objekten (Trägheitsmoment J1 bzw.
J2 ), die über eine elastische Welle (Federkonstante c) miteinander verbunden sind.
Die Drehwinkel der beiden Objekte werden mit '1 und '2 bezeichnet. Mit Hilfe
des Drallsatzes kann folgende mathematische Beschreibung für den mechanischen Teil
angegeben werden:
J1 '
•1 =
c ('1 '2 ) kR '_ 1 + MA
J2 '
• 2 = c ('1 '2 ) mgl cos '2
Dabei wird in der ersten Di¤erentialgleichung ein Reibungsmoment berücksichtigt, das
proportional zur Winkelgeschwindigkeit ist. Der letzte Term in der zweiten Di¤erentialgleichung beschreibt das Drehmoment, das die Gewichtskraft mg bewirkt, die im
Schwerpunkt (Abstand l vom Drehpunkt) des zweiten Objektes angreift. Vernachlässigt man die Induktivität der Ankerwicklung, d.h. L
0, so erhält man folgende
mathematische Beschreibung für den elektrischen Teil:
Ri + km ! m = u
M = km i
Durch das (verlustlose) Getriebe gilt schließ
lich:
MA = kg M
! m = kg '_ 1
De…niert man den Vektor der Zustandsgröß
en in der Form
T
'1 '_ 1 '2 '_ 2
x :=
,
so ergibt sich folgendes Zustandsraummodell für das Gesamtsystem:
2
3
x2
2 k2
km
6
kR
g
m kg
c
+ RJ
x2 + Jc1 x3 + kRJ
u 7
6 J1 x 1
7
J
1
1
1
x_ = 6
7
4 x4
5
mgl
c
c
x
x
cos x3
J2 1
J2 3
J2
Berechnen Sie den zeitlichen Verlauf der Spannung u, sodass das System ausgehend
vom Anfangszustand
T
x(0) = 3 0 3 0
in den Endzustand
x(1) =
2
0
2
0
T
gebracht wird und dabei das Gütefunktional
1
J[u] =
2
Z1
u2 dt
0
minimiert wird. Verwenden Sie dabei folgende Parameterwerte:
R=2
J1 = 0:01
J2 = 0:5
m=2
c = 10
l = 0:5
km = 0:007
kg = 70
kR = 0:05
g = 9:81
Stellen Sie die optimalen Funktionen x(t); (t) und u(t) graphisch dar. Kontrollieren
Sie die Lösung, indem Sie mit den optimalen Funktionen x(t); (t) und u(t) auch den
zeitlichen Verlauf der Hamilton-Funktion für das Optimierungsintervall 0
t
1
berechnen und graphisch darstellen.

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