第一種極値分布

第一種極値分布
分布関数と密度関数
準備１
指数関数の微分
eの確認
x
 1
1


e


lim
x
x  
ここで h = 1/x とおくと x → ∞ のとき h →0 となるから
lim 1  h
h 0
1
h
e
(1+h)1/hの対数
log 1  h
1
h
1
 log 1  h 
h
log 1  h 

h
(log(1+h))/h の極限
log 1  h 
lim
h 0
h
 lim log 1  h 
h 0
 log e  1
1
h
(eh-1)/h の極限
log(1+h) = l ①
とおくと、
l
1+h=e
②
h=el-1
③
となる。
l と h の関係（②より）
1 + h = el ②
において
l→0
とすると右辺は 1 に収束するから、左辺
も 1 に収束する。よって
h →0
となる。
①を③で割る
log 1  h 
l
 l
h
e 1
ここで、 l → 0 とすると h → 0 となり、
左辺は1 に収束するから、右辺も 1 に収
束する
式の書き換え
lim
l 0
l
l
e 1
1
ここで、分母と分子を入れ替え、l を h
に書き換えると
e 1
lim
1
h 0
h
h
指数関数y = exの導関数
x  x
x x
dy
e
e
e e e
 lim
 lim
x 0
dx x0
x
x

x
x

e e 1
 lim
x 0
x
x
 e lim
x
x 0
e
x

1
x
e
x
x
準備２
合成関数の微分
合成関数とは
z = f(y) , y = g(x)
を合成して得られる関数
z = f(g(x))
である。
合成関数の微分の定理
y = g(x) が区間(a,b)で微分可能であ
るとする。更にz = f (y)がy = g (x)の
値域を含む区間において微分可能
であれば、合成関数 z = f (g (x)) は
区間(a,b)で微分可能であって
dz/dx = (dz/dy)(dy/dx)
が成立する。
証明の考え方
z がxによって引き起こされる
z =f(y)
の変化量であるから、
z/x
のx→0のときの極限を求めれ
ばよい
x , y , zの変化量
変数 x が x 変化したときの
y = g (x) の変化量 y は
y = g (x + x) - g (x)
であり、 y が  y 変化したときの
z = f ( y ) の変化量は
z=f(y+y)-f(y)
である。
y /  x
g(x)を微分したものを(dy/dx)とする。
g(x)は微分可能なので、x→0 とす
れば
y/x = (g(x+x)-g(x))/x → (dy/dx)
となる。そこで極限をとる前の式は
以下のように表すことができる。
y/x=(g(x+x)-g(x))/x=(dy/dx)+e1
xと e1の関係
y/x = (g(x+x)-g(x))/x =(dy/dx)+e1
において、
x → 0 のとき
(g(x+x)-g(x))/x → (dy/dx)
なので
e1→0
となる。
最左辺と最右辺を抜き出し式を整理
y/x = (dy/dx)+e1
y = ((dy/dx)+e1)x
④
ここで
x → 0 とすると y → 0 である。
このとき、
e1→0 である。
z / yとe2
同様に f(y) を微分したものをdz/dyとす
ると、f(y)は微分可能なので、
z/y = (f(y+y)-f(y))/y = (dz/dy)+e2
と表すことができる。
ここで、 y → 0 のとき e2→0 である。
最左辺と最右辺を抜き出し式を整理
z/y = (dz/dy)+e2
z = ((dz/dy)+e2)y
⑤
ここで
y → 0 とすると z → 0 であり
e2→0 である。
④を⑤に代入
z = ((dz/dy)+e2)((dy/dx)+e1)x
両辺をxで割ると
z/x = ((dz/dy)+e2)((dy/dx)+e1)
を得る。
x → 0 のときの極限
ここで、 x → 0 とすると y → 0 で
あり、このとき、e1→0、 e2→0 なので
dz/dx = (dz/dy)(dy/dx)
が成立する。
(証明終わり)
af(x)の微分
確認
af(x)の微分

af x 
 lim
af x  x   af x 
x
f  x  x   f  x 
 a lim
x 0
x

 a  f  x 
x 0
ロジットモデルで想定している分布
第一種極値分布
問題
以下の式を x で微分しなさい。
y   exp  x
dy
 exp x 
dx
問題
以下の式を x で微分しなさい。
z  exp  exp  x
dz
 exp  x  exp  exp  x 
dx
分布関数とは
確率変数 x が a より小さい確率を
Pr(x≦ a)と表す時、横軸上の点 a に
おける F(a) が Pr(x≦ a) を表す関数
f(x) を「確率分布関数」、または単に
「分布関数」という。
密度関数とは
確率変数 x が a より小さい確率を
Pr(x≦ a)と表す時、横軸と曲線なら
びに、横軸上の点 a における垂線で
囲まれる範囲の面積が、
Pr(x≦ a)を表す曲線を f(x) で表し
「確率密度関数」または単に「密度
関数」という。
分布関数と密度関数
分布関数を微分すると密度関数が
得られる。
密度関数が積分可能なら
密度関数を積分すると分布関数が
得られる。
30
分布関数と密度関数の関係
分布関数 F(x)
積
分
微
分
密度関数 f(x)
31
第一種極値分布
分布関数
F e   exp  exp  e 
密度関数
f e   exp  e  exp  exp  e 
32
問題
以下の式をグラフで描きなさい
F  x   exp exp x 
作業内容
•
•
•
•
•
•
A1 に x
B1 に F(x)
A2から行方向に-5~5のデータを生成
B2に
=exp(-exp(-A2))
下までコピー
データを選択し散布図でグラフ作成
問題
以下の式をグラフで描きなさい
f  x   exp x  exp exp x 
作業内容
•
•
•
•
•
•
A1 に x
B1 に f(x)
A2から行方向に-5~5のデータを生成
B2に
=exp(-A2)exp(-exp(-A2))
下までコピー
データを選択し散布図でグラフ作成
第一種極値分布の分布関数
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
F(ε)
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
ε
37
第一種極値分布の密度関数
0.4
0.4
0.3
0.3
f(ε)
0.2
0.2
0.1
0.1
0.0
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
ε
38

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