教材1＿母平均の区間推定（t分布）2013

小標本に関する平均の推定と検定
標本が小さい場合，標本分散から母分散を推定するときの不
確実さを加味したｔ分布を用いて，推定や検定を行う
t分布の形は標本分散の自由度f（ふつうf=n-1，nは標本数）に
よって，分布の形が決まる
0.4
自由度が無限大のｔ分布は
正規分布と一致する
0.3
f=1
f=3
f=5
f=100
正規分布
0.2
0.1
0
-5
-3
-1
1
3
5
ｔ分布の特徴
１）正規分布と同じように左右対称である．したがって，平均より
大きい値あるいは小さい値を取る確率はそれぞれ0.5，0.5である．
２）標本数nが大きくなればなるほど，ｔ分布は正規分布に近づく．
nが無限大のときには正規分布とｔ分布は一致する．
t分布による母平均の区間推定
点推定：母平均
区間推定：
x
x
は標本平均
下の測定値にデータ（100個以内）を入れるとt分布に基づく信頼率p％の区間
推定，あるいは有意水準p％のときに帰無仮説：母平均μを指定した値の場
合の有意確率p-値を自動的に計算する．ただし測定値に値を誤入力したとき
はDelキーで削除すること．セルを移動させると式が変わってしまう．
標本番号測定値
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t分布に基づく区間推定
信頼率％
95
上限
下限
#DIV/0!
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母平均の点推定
±
#DIV/0!
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例：t分布による母平均の区間推定
Ａ公園の桜から6本を無作為に選び，木に着く花の数を数えた．
下の測定値にデータ（100個以内）を入れるとt分布に基づく信頼率p％の区間
123, 156, 168, 190, 211, 234の6つのデータを得た．Ａ公園の桜
推定，あるいは有意水準p％のときに帰無仮説：母平均μを指定した値の場
合の有意確率p-値を自動的に計算する．ただし測定値に値を誤入力したとき
の花の数（の平均）を95％信頼区間および99％信頼区間をつ
はDelキーで削除すること．セルを移動させると式が変わってしまう．
けて推定せよ．
標本番号測定値
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t分布に基づく区間推定
信頼率％
上限
下限
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母平均の点推定
±
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エクセルによる実際の計算
標本番号測定値
1
123
2
156
3
168
4
190
5
211
6
234
7
8
9
t分布に基づく区間推定
信頼率％
95
上限
下限
222.1671
138.4996
母平均の点推定
±
180.3333
41.83376
95％信頼区間をつけた区間推定値
138.5    222.2
あるいは
  180.3  41.8
エクセルによる実際の計算
標本番号測定値
1
123
2
156
3
168
4
190
5
211
6
234
7
8
9
t分布に基づく区間推定
信頼率％
99
上限
下限
245.9526
114.7141
母平均の点推定
±
180.3333
65.61926
99％信頼区間をつけた区間推定値
114.7    246.0
あるいは
  180.3  65.6
エクセルの分析ツールを使う方法
基本統計量を選ぶ
エクセルの分析ツールを使う方法
データの範囲を
入力
信頼率を入れる
エクセルの分析ツールを使う方法
４．信頼区間の大きさが下の表の一番下に出力される．必要に応じて，
平均からこの値を加えたり，引いたりすると，信頼区間が出る．
正規分布とｔ分布での区間推定の比較
95％信頼区間をつけた区間推定値
1.960
39.9
  180.3  2.571
6
138.4    222.2
99％信頼区間をつけた区間推定値
148.4    212.2
2.576
39.9
  180.3  4.032 
6
114.6    246.0
138.3    222.3
予習問題
番号
Ｍ大学の学生から20人を無作為に選び，
立ち幅跳びをした結果，右のデータを得た．
95％信頼区間をつけて，母平均を区間推
定せよ．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
距離m
1.25
1.41
1.21
1.34
1.43
1.27
1.29
1.16
1.33
1.3
1.12
1.17
1.15
1.25
1.26
1.13
1.19
1.28
1.28
1.37

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