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不確実性下の意思決定
―統計的決定理論の様々な問題ー
統計数理研究所
椿広計
2014統計関連学会連合大会企画セッション「裁判と統計学」
2014/09/15
統計関連学会連合大会
経営分野実用化：訴訟を覚悟するか？
Bernard W. Taylor (2009), Introduction to Management Science, 10th ed., Global Edition, Pearson Education (US).
• Ｓ社はＭ区Ａ公園のほど近くにある洋館を購入し、復
元したうえで、約10年の間Ｐホテルに貸してきた。
• その古い洋館は、今や町の名所
• 20XX年にＰホテルとの賃貸借契約が切れるので、S
社はこの敷地に高層マンションを建てる計画を発表
• 住民の反発を受ける
• Ｍ区はS社代理人に対して、もしＭ社が着工の許可をもと
めれば、区はたぶん拒否するであろうとした。
• S社はこの計画は条例やガイドラインに違反すること
は何もないと確信
• Ｓ社がＭ区に対する訴訟を起こした場合、確実に勝
訴するということではないと思われた
2014/09/15
• S社は、一連の会議を開き、３つの選択肢を決定
• ①区に着工許可をもとめる。
• ②土地を売る。
• ③Ｍ区が示した妥協条件に従って、低層オフィスビル
の着工許可を求める。
• 後の二つの選択に関しては、土地を売れば9億円
得ることができる．
• 新しいオフィスビルを建てた場合の利益は将来の
当該地区発展に依存
• 将来この地区が発展の可能性は70％。その場合S社
は今後10年に13億円の利益を見込める。
• 当該地区があまり発展しない場合の利益は2億円にす
ぎないと予想
統計関連学会連合大会
区に着工を求めた場合
• Ｍ区を相手どって裁判に持ち込む
• S社がマンション建設の許可をもとめた場合
• 最も都合の良い結果は、すんなり許可が与えられること
• その場合は30億円の利益が見積もられる
• 認可の確率は10％に過ぎないと想定
• 区が申請を却下する可能性は90％
• 条例上はS社が有利にみえる
• 市の建築規定は曖昧
• 住民感情を配慮して裁判官は着工申請を却下する可
能性
• 勝訴しようと敗訴しようとＳ社は訴訟費用を3億円と見
積
• 勝訴の確率は40％に過ぎない
• 勝訴した場合の賠償額は約10億円になるであろうと計
算
• さらにアパートからの利益の30億円もこれに上乗せ
• 申請却下の場合次の選択肢を想定；
• S社はその時点で土地を売却
• 裁判が上級審も含めて泥沼化する確率も１０％
• 区の着工拒否は地価に悪影響を与える
• S社は、初めから売却を決めた場合に比べて2億円低い7億円しか
得られないだろうと推定
• 認可が得られないことが分かってから低層オフィスビルを
建設
• 計画期間内の利益は0
• 法的費用がさらに２億円必要
• 確率50%で敗訴
• 土地の売却
• その前に試算した利益と同じものが予想
• 土地の売値はその時点での地域の発展の見込みに依存
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• すなわち、確率0,3で地域発展がなく、その場合には利益は2億円
• 確率70％で地域発展がおき、その場合の利益は13億円
2014/09/15
発展状況（確率50％）にあれば少なくとも９億円
発展しない場合には５億円の売却益が期待
• 低層オフィスビルの建設
統計関連学会連合大会
• 地域が発展する確率も５０％で、その場合の利益が１２億円
• もし発展しなければ高々１億円の利益に留まる
決定木分析
2014/09/15
統計関連学会連合大会
論点１：確率的推論がどこまでできるのか？
ベッドフォード，クック，「確率論的リスク解析」，金野訳，丸善，2012
• 論理的に真偽が確定するコトか？
• そうでなければ不確定性の議論は意味を持たない
• 事象の不確定性：客観確率の範囲
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ある特定の卵が腐っているか否か？
明日の正午の東京の気温
2001年1月1日から2100年12月30日までの正午の東京の気温
特定のコインを投げ続けた結果得られる表裏の無限系列
全宇宙の過去から将来の状況
意思の不確定性：主観確率の範囲
• 来週の週末、私は地下室の掃除をする（つもりだ）
• 不確定性は、事象等の確定を観測することで消失：現実は？Bollen,1989
• 言葉や事象自体の「曖昧さ」とは区別
• これは，テロだ！，これはテロかもしれない？
• テロ＝暴力行為有無and政治的意図有無and直接対象を超えた範囲への影響の有無（CIA, 1981)
• テロらしさ＝暴力らしさand政治的意図らしさand直接範囲を超えた影響の大きさ
2014/09/15
統計関連学会連合大会
行動の不確かさと主観確率
Savage流の仮想的ギャンブルによる主観確率の測定
• 「明日株価が下がる確率」
• 期待効用の均衡
• ２つの事象の効用の均衡：
• 明日１００ドル受け取る
• 株価が下がれば300ドル、そうでなければ0ドル受け取る
• 主観確率＝1/3
• 一人称事象に対する不合理⇔自分が明日死ぬ確率＝０
• 効用と確率との同時識別可能性はない！
• 彼が考える私が明日死ぬ確率≧私が考える自分が明日死ぬ確率
• 法廷では異なる主観確率が提示：客観確率の役割は限定的
2014/09/15
統計関連学会連合大会
前提：所謂ベイズ決定の最適性
Wald, A. (1947) An Essentially Complete Class of Admissible
Decision, AMS,18(4)，549-555.
• 証拠の観測：x=(x1,…,xn)∊M
• 未知母数を持つ確率分布に従う：f(x|θ）∊FΘ， θ=(θ1,…,θp)∊Θ
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意思決定：d(x)∊D
損失関数：Ｌ[θ, d(x)]
リスク関数（期待損失関数）：r[θ|d(x)]=∫MＬ[θ, d(x)]dFθ(x)
意思決定の本質的完全類：C
• 全ての決定関数d(x)∊Dと全ての未知母数θ=(θ1,…,θp)∊Θに対して，
• d*(x)∊C が存在し，d(x)より期待損失が小さくなる：r[θ|d*(x)]≦ r[θ|d(x)]
• x, θの同時分布:p(x, θ)= f(x|θ）g(θ)， θの任意の累積分布：H(θ)
• gは，ある人にとって本当の事前分布
• 所謂ベイズ解：dB(x, H)=argmind∫ΘＬ[θ, d(x)] p(x, θ)dH(θ)
• Waldの定理：Hを任意の累積分布としたベイズ解dB(x, H)のクラスが本質的完全類
• 事前分布のHによる修飾は，ある人にとって本当らしくなくても誰かにとっては，合理的決定
2014/09/15
統計関連学会連合大会
論点２：現実問題の抱える不確実性
• 完全類定理
• 決定理論を構成する要素を誤差なく規定できるのならば、
ベイズ決定方式を用いるのが合理的だが，・・・？？
• 証拠の従う分布だけでなく，ベイズ決定構成要素である
• 事前確率も、
• 損失関数も、
• 「不確実性」を持ってしか定める事はできない
• その不確実性のモデル化？？
2014/09/15
統計関連学会連合大会
事前分布（主観分布？）の不確かさとミニマックスアプローチ
• 一般のベイズ解
• dB(x, H)=argmind∫ΘＬ[θ, d(x)] p(x, θ)dH(θ)
• dB(x, H)のベイズリスク：mind∫ΘＬ[θ, d(x)] p(x, θ)dH(θ)
• 最も不利なPriorの修飾H0
• H0 = argmaxH mind∫ΘＬ[θ, d(x)] p(x, θ)dH(θ)
• Least Favorable Prior Distribution
• 真のPriorが極めて不確かな時，最も不利なPriorに基づく決定関数を用いて，
最大損失を最小化することを狙う
• 危険回避的（minimax）解は，最も不利な事前分布に対するベイズ解
• Wald (1952), Basic Ideas of a General Theory of Statistical Decision Rules, Proc. Int.
Congress of Math., 231-243, Harvard Univ. Press.
2014/09/15
統計関連学会連合大会
事前確率の想定の不確かさ
危険回避的な事前分布の制約付き最適化
• Equally Likely はEqual Probabilityを意味しない
• 事前確率1/2より不確かな事前情報
• 事前確率は変量で，その期待値が1/2
• dB(x, H)=argmind∫ΘＬ[θ, d(x)] p(x, θ)dH(θ)=argmind∫ΘＬ[θ, d(x)] f(x|θ) g(θ)dH(θ)
• 例えば，期待値不変な事前分布の修飾のクラス：H
• H∊H ⇒∫Θ g(θ)dH(θ) = 1 and ∫Θ θg(θ)dθ= ∫Θ θg(θ)dH(θ)
• 要するに元のpriorと期待値が同じpriorというクラスを考える
• （制約付きの） H に属する最も不利なpriorの修飾
• H0 = argmaxH ∊H mind∫ΘＬ[θ, d(x)] p(x, θ)dH(θ)
2014/09/15
統計関連学会連合大会
論点３：意思決定の不確かさと制御性
• 多プレーヤー問題
• 決定樹はゲームの樹
• 先の決定樹：意思決定者と確率的に現象を発生させるNature
• 他の意思決定者とのゲーム論的構造を無視
• 他の意思決定者が利得最適化行動を自身の[損失関数×主観確率]の下で行う
• 裁判に勝，主観確率と考えているから市は認可しない？
• プレイヤー間のギャップがある前提での意思決定？
• 相手はこの種の損失関数，主観確率を有しているであろうことを推論するメタ行動
2014/09/15
統計関連学会連合大会
始まりの終わりに：裁判では？
• 事象の認定（らしさの計測）
• 相対する２つのプレイヤーは異なる事前分布を想定
• それをデータ（尤度）が圧倒することは稀？
• No-Data問題
• 損失関数も異なるかもしれない
• 裁判官は法廷は，その中で決定を行う
• 危険回避的行動をとるべき案件
• 危険中立的行動をとるべき案件
2014/09/15
統計関連学会連合大会

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