コンピューティクスによる物質デザイン：複合相関と非平衡ダイナミクス 高性能並列固有値計算アルゴリズムの開発 櫻井鉄也1), 2), 二村保徳1)，前田恭行1)，矢野貴大1)， Du Lei1), 2)，今倉暁1)，多田野寛人1) 1)筑波大学大学院システム情報工学研究科 2)科学技術振興機構CREST 新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン：複合相関と非平衡ダイナミクス」 研究課題 研究課題名 計算量子科学のニーズに対応した高性能固有値計算アルゴリズム の開発 体制 代表者 櫻井鉄也（筑波大学） 連携研究者 多田野寛人，今倉暁（筑波大学） 研究協力者 Du Lei，二村保徳，前田恭行，矢野貴大（筑波大学） 主な実施課題 階層型固有値解法によるバンド構造計算法の高性能化 確率的推定法を利用した状態密度計算法の開発 計算量子科学分野で現れるさまざまな固有値計算への展開 実問題での性能評価とボトルネックの改善 新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン：複合相関と非平衡ダイナミクス」 発表内容 はじめに 研究背景と目的 超並列固有値解析エンジン CRESTプロジェクトによるソフトウェア開発 周回積分による疎行列向け固有値解法 解法の概要と実行例 提案法が有効な固有値問題 おわりに 新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン：複合相関と非平衡ダイナミクス」 はじめに 研究背景と目的 固有値問題が現れるアプリケーションの高性能化 - 本課題では特に計算量子科学のニーズに対応 ペタスケール超規模のハードウェア性能を引き出す並列固有値 計算アルゴリズムの研究とその高性能実装技術を開発する アプリ A アプリ B アプリ C アプリ X 固有値解析エンジン アプリケーションを支える 基盤的技術 新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン：複合相関と非平衡ダイナミクス」 はじめに 大規模並列で性能を発揮する解法 数値例：高エネルギー加速器設計で現れる固有値問題(110万次元) - SS法*，Lanczos法ともに，内部で同じ線形ソルバーを使用 Cray XT4 (LBNL)における計算時間 時間(秒) 2500 提案法 (SS法*) 1000 従来法 (Shift-invert Lanczos法) 500 100 並列度が低いとき 8 32 並列度が高いとき 128 コア数 512 2048 *Sakurai, et al. 2003 新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン：複合相関と非平衡ダイナミクス」 CRESTプロジェクト 超並列固有値解析エンジンの開発 ポストペタスケール計算環境でのハードウェア性能を十分に引き出す 超並列固有値解析エンジンを開発 (H23年度〜H27年度) 主要メンバー - 櫻井(筑波大)，張(名古屋大)，今村(理研)，山本(神戸大)， 藏増(筑波大)，星(鳥取大) アーキテクチャの超並列性を活用する階層型並列アルゴリズム 密行列・疎行列に対応 共通基盤技術としての線形計算手法・実装技術開発 高性能な線形計算手法，性能予測モデルによる評価， GPU／メニーコア向け実装 実問題での利用技術の開発 基礎科学・ナノ物質分野での実問題に適用し，高度利用技術を開発 新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン：複合相関と非平衡ダイナミクス」 周回積分を用いた固有値解法 基本アイディア：有理式に対する周回積分 Im Re 行列 A のレゾルベント : 固有値, : 固有ベクトル (ここでは簡単のため A は実対称とし，固有値は相異なるとする) 周回積分によるスペクトル射影 新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン：複合相関と非平衡ダイナミクス」 周回積分を用いた固有値解法 疎行列向け超並列固有値解法の概略 複素平面上の特定領域内部の固有ベクトル成分を抽出 周回積分は数値積分で近似 （各積分点では線形方程式を解く） 新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン：複合相関と非平衡ダイナミクス」 領域内固有値数の確率的推定法 パラメータの最適化のために確率的固有値数推定を用いる G 内の固有値数： 逆行列のトレースを以下のように近似する ここでベクトル の要素は 1 または -1 を等確率にとる GEP: Futamura, et al. (2010), NEP: Maeda et al. (2011) この推定値を利用して必要な部分空間サイズを決める 新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン：複合相関と非平衡ダイナミクス」 計算例 実空間密度汎関数法(RSDFT)によるバンド図計算 シリコンナノワイヤー9,924原子 - 行列サイズ：8,719,488次元，利用リソース：「京」 27,648コア - バンドギャップ付近の固有値を計算 Futamura, et al. (2013) 新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン：複合相関と非平衡ダイナミクス」 開発ソフトウェア 疎行列向けモジュール 固有値ソルバ，線形ソルバ，基本線形計算ライブラリ， アプリケーションインタフェイス 開発ソフトウェア MATLAB版：sseig.m - Webからダウンロード可 - 多項式，非線型版も利用可能 SLEPc版 (C言語)：eps_ciss - SLEPc ver. 3.4 に実装 Fortran90版： - 京向けを近日公開予定 RSDFTのバンド図計算で利用 Trilinos版 (C++)：開発中 Eigen-Supercomputing Sparse Engine Application Interface Eigensolver Block Linear Solver Base Modules: PETSc, Trilinos, MUMPS BLAS, SpBLAS, LAPACK, ScaLAPACK MatVec, Data Converter 新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン：複合相関と非平衡ダイナミクス」 GPU/メニーコアへの対応 密実対称行列の一般化固有値問題 10,000次元，最小固有値から10％の固有対を計算 BLAS/LAPACKルーチンとしてMAGMAを利用 miscの大部分(SVD, Rayleigh-Ritz）は，現状では単一GPU or CPU実装 Elapsed time [sec] GPUクラスタ HA-PACS (Tsukuba)での実験 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 misc Solve LU 1GPU 2GPU 4GPU 8GPU 16GPU Yano, et al. accepted 新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン：複合相関と非平衡ダイナミクス」 提案法が有効な問題 固有値を求める領域 Im Im Re Re 指定した範囲 複素平面上の指定領域 リング状領域 求めたい範囲やその範囲内にある固有値数が ある程度予想できる問題に対して効果が高い 固有値問題の種類 標準固有値問題 一般化固有値問題 多項式固有値問題 非線形固有値問題 （ex. 平方根，有理式，etc.） 新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン：複合相関と非平衡ダイナミクス」 おわりに 大規模並列で性能を発揮する解法の開発 高性能固有値解析ソフトウェアを開発 京版は近日中に公開予定，今後はポストペタへ アルゴリズムレベルでの階層構造 周回積分により固有成分をフィルタリング 独立な複数の線形方程式に帰着 実アプリケーション RSDFTのバンド図計算 今後の課題 実用性を考慮したアプリケーション向けインターフェイスの開発 計算量子科学分野で現れるさまざまな固有値計算への展開 新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン：複合相関と非平衡ダイナミクス」 References 1) Y. Futamura, T. Sakurai, S. Furuya and J.-I. Iwata, Proc. VECPAR 2012, LNCS 7851, 226–235 (2013). 2) T. Mizusaki, K. Kaneko, M. Honma, and T. Sakurai, Phys. Rev. C 82, 024310 (2010). 3) Y. Nagai, Y. Shinohara, Y. Futamura, Y. Ota and T. Sakurai, arXiv:1303.3683 (2013). 4) H. Ohno, Y. Kuramashi, H. Tadano and T. Sakurai, JSIAM Letters 2, 115-118 (2010). 5) T. Sakurai and H. Sugiura, J. Comput. Appl. Math. 159, 119-128 (2003). 6) T. Sakurai, H. Tadano, T. Ikegami and U. Nagashima, Taiwanese J. Math. 14, 855-867 (2010). 7) T. Sakurai, H. Tadano and Y. Futamura, J. Alg. Comput. Tech. 7 (in print). 8) T. Yano, Y. Futamura and T. Sakurai, Proc. 3PGCIC2013 (accepted). 新学術領域「コンピューティクスによる物質デザイン：複合相関と非平衡ダイナミクス」
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