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2.5LTE
• 局所的熱平衡 (local thermodynamic
equilibrium ; LTE)中では全てのエネルギーの
分布はSaha-Boltzmann統計によって与えられ
る。
• Saha-Boltzmann統計は、熱平衡な場所の局
所熱によって定義される
2.5.1 LTE中の物質
Mxwell分布
• 質量mを持つ粒子の、x方向速度成分につい
てのMaxwall分布は
12
n ( v)
æ m ö
2 -(1 2) mvx
dv
=
4
p
v
e
[ ] LTE
ç
÷
x
è 2p kT ø
N
T º Te
[
kT
dvx (2.84)
N : １cm−３あたり質量mを持つ全粒子数
] LTE : 電子の運動エネルギーTeにおける熱平衡分布での値
LTE中では全ての物質の温度は同じ : T º Te
• 粒子の速度方向を無視するとMaxwell分布は
32
é n ( v) ù
æ m ö
2 -(1 2)mv kT
(2.85)
dv
=
4
p
v
e
dv
ç
÷
ê
ú
ë N
ûLTE è 2p kT ø
• (2.84)はGaussianだが(2.85)はv2によって高い
速度を持つ尾を持った形になる
• ピークの位置は v p = 2kT m
• 平均速度は
v = 3kT m
x
Boltzmann分布
• éê nr,s ùú
gr,s -( c r,s - c r,t ) kT
=
e
ë nr,t ûLTE gr,t
(2.86)
nr,s、 gr,s 、 c r,s はそれぞれr回電離の、s準位にいる
粒子数、静止質量、励起エネルギー
統計的重み
また、( c r,s - c r,t ) = hn で準位sからtへの放射遷移
Saha分布
• 基底状態の連続した電離状態間の占有比は
32
én ù
1 2gr+1,1 æ 2p me kT ö - c r kT （2.87）
r+1,1
ê
ú =
ç
÷ e
2
ø
ë nr,1 ûLTE N e gr,1 è h
Ne : 電子密度
me : 電子質量
χr : イオン化エネルギー
自由電子はスピンの自由度により2つの静止質量を持つ
統計的重み
• 二つの連続した電離状態に存在する全粒子
数は
32
éN ù
1 2Ur+1,1 æ 2p me kT ö - c r
r+1,1
ê
ú =
ç
÷ e
2
ø
ë N r,1 ûLTE N e Ur,1 è h
kT
Nr,1: 連続した電離状態間の占有数密度
χr : イオン化エネルギー
電離状態rにおけるpartition関数Urは
Ur º å gr,s e
s
- c r,1 kT
(2.89)
(2.88)
Saha-Boltzmann分布
• 二つの分布を合わせると、準位iと電離状態c
間の粒子の存在比が与えられ、
32
é nc ù
æ
ö
1 2gc 2p me kT
- c ci
=
e
ç
÷
ê ú
2
ø
ë ni ûLTE N e gi è h
kT
(2.90)
c ci = c r - c r,i + c r+1,c = hn theshold
niは準位iにおける全数密度、
ncは電離状態cにおけるイオンの数
c ci = c r - c r,i + c r+1,c = hn theshold
はイオン化エネルギー
2.5.2 LTE中の放射
Planck関数
• LTE中ではBoltzmann分布なので線源泉関数
は(2.72)より
3
2h
n
1
éëSnl ùû =
LTE
c 2 é gu nl ù
ê
ú -1
ë gl nu ûLTE
2hn
1
= 2 hn kT
º Bn (T )
c e
-1
(2.91)
3
(2.92)
Wien近似とRayleigh-Jeans近似
• hν/kTが十分大きい時、exp(hν/kT) ≫1となり、
Wien近似より
2hn 3 -hn kT
Bn (T ) » 2 e
(2.93)
c
• Boltsmann分布に似た、粒子のような振る舞いを示す
• hν/kTが十分小さいとき、exp(hν/kT)-1 »hν/kT
となり、Rayleigh-Jeans近似より、
2n 2 kT
Bn (T ) »
c2
»
• 波のような性質を示す
(2.94)
Stefan-Boltzmannの法則
• スペクトルを積分するとStefan-Boltzmannの
法則が得られ、
¥
s 4
B (T ) = ò Bn dn = T
p
0
(2.95)
ここで
2p 5k 4
-5
s=
=
5.67
´10
15h3c 2
erg cm-2 K-4 s -1
(2.96)
誘導放出
• bound-bound誘導放出のLTEでの補正factor
é n B c (n - n ) ù
u ul
0
-hn 0
ê1ú =1- e
êë nl Bluj (n - n 0 ) úûLTE
kT
(2.97)
プロファイル関数φとχは、波長毎の細かい平衡が
熱平衡中で崩れるので同じになる
それぞれの波長でバランスしている！！TEは
線吸収
• LTEの線吸収係数は
éës nl ùû =
LTE
p e2
mec
nlLTE fluj (n - n 0 ) éë1- e-hn 0
kT
ùû
(2.98)
n º [ nl ] LTE は局所的運動エネルギーにおける
Saha-Boltzmann分布により与えられ、
古典的な振動数であるfluは(2.66)により定義され、
低準位側の静止質量glと関連づけられ、遷移確率を
示すいわゆるgf-valueになる
LTE
l
議論
TE平等なエネルギー分配
LTE物質は完全平行、輻射は少しずれる
• 重要なLTEの前提は衝突によるエネルギー分
布が、放射中より物質中の方が厳密であると
いうこと
• 全ての物質のエネルギー分布は局所運動エ
T
ネルギーによって決められる
• 放射のエネルギー分布はわずかに局所的熱
平衡の値からずれる
• 衝突によって源泉関数が支配的なとき、Sν=Bν
が成り立つ

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