E - 電気・情報系

通信デバイス工学
2014年 6/24, 7,1, 7/8, 7/15, 7/22, 7/29講義分
山田博仁
講義について
1. 講義スケジュール
6/24 半導体光デバイスの基礎
7/1 半古典論による物質と電磁場との相互作用
7/8 電磁場の量子化と全量子論
7/15 半導体中での光学遷移、フォトダイオード、半導体レーザー
7/22 光増幅器、光変調器、光スイッチ、波長フィルターと光合分波器
7/29 まとめ
2. 参考書
米津宏雄著、光通信素子工学 - 発光・受光素子 -、工学図書
霜田光一編著、量子エレクトロニクス、裳華房
山田実著、電子・情報工学講座15 光通信工学、培風館
伊藤弘昌編著、フォトニクス基礎、朝倉書店第5章
3. 質問等 E-mail: [email protected]、電気系2号館203号室
4. 講義資料のダウンロード URL: http://www5a.biglobe.ne.jp/~babe
ネットワークを飛び交うデータ量の爆発的増加
国内のある基幹ネットワークノード(1台)が処理しているデータ量の推移
データ量 (Gbit/s)
最近では約3年で倍増傾向
2倍/約3年
2倍/年
月/日/年
http://www.jpix.ad.jp/en/technical/traffic.html
国内のネットワークトラフィックの推移
国内のインターネットダウンロードトラフィックの総量は、2011年末で1.7Tbps
現在もなお、年率40%で増加
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
year
出典: H25年度版情報通信白書
海底光ケーブル網
出展 http://www1.alcatel-lucent.com/submarine/refs/index.htm
ネットワーク機器の電力消費の予測
国内のインターネットトラフィックは年率40%で増加
ネットワーク機器の消費電力もそれに伴い増加すると仮定すると、
2020年頃には、2007年の年間総発電量を超える見通し
http://www.aist-victories.org/jp/about/outline.html
適用分野が広がりつつある光通信
光通信は今や、サーバーの筺体間データ通信から、パソコンにも
サーバーのBackplane
(オレンジ色のケーブルは光ファイバー)
SONY VAIO Zに搭載されたユニバーサル
バスインターフェース(Light Peak)
光通信に用いられる各種光デバイス
講義でカバーするデバイス
光通信に用いられる各種光素子(光デバイス)
1. 受動光素子(passive optical device, passive photonic device)
- 光導波路、光ファイバー(optical waveguide, optical fiber)
- 光分岐器(optical splitter)
- 光方向性結合器(optical directional coupler)
- 光波長フィルター(optical wavelength filter)
- 光波長合分波器(wavelength multiplexer/demultiplexer)
- 偏光子(light polarizer)
- 光波長板(wave plate)
- 分散制御素子(dispersion control device)
- 光減衰器(optical attenuator)
- 光アイソレーター(optical isolator)
- 光サーキュレーター(optical circulator)
- 光スイッチ(optical switch, photonic switch)
- 受光素子、光検出器、フォトダイオード(PD: photo detector, photo diode)
2. 能動光素子(active optical device, active photonic device)
- 発光ダイオード(LED: light-emitting diode)
- 半導体レーザー(semiconductor laser, LD: laser diode)
- 光増幅器(optical amplifier)
3. その他の素子(波長変換素子、コヒーレント受信器など)
21世紀の文化と生活を支える各種光デバイス
光通信以外の用途にも用いられる各種光素子(光デバイス)
- CCDイメージセンサー(charge-coupled device image sensor)
- CMOSイメージセンサー(CMOS image sensor)
- 太陽電池(solar cell, photovoltaic cell)
- 光電子増倍管(photo-multiplier)
- 撮像管(image pick-up tube)
- CRT、ブラウン管(CRT: cathode-ray tube, Braun tube)
- 液晶ディスプレー(liquid crystal display)
- プラズマディスプレー(plasma display)
- 有機EL(organic light emitting display)
- 各種光記録媒体(CD, DVD, BLD, ホログラム、フィルム、バーコード)
- 医療用、加工用などの各種レーザー(気体、固体、液体レーザー)
- 非線形光学素子(non-linear optical device)
これらのデバイスを総称して、「フォトニックデバイス」と呼んでいる
フォトニクス分野は、日本が未だに強い技術競争力、産業競争力を
維持している数少ない分野
21世紀の「産業の米」となるかも?
フォトニックデバイスとは
電子の電荷を操作
エレクトロニクス
(電子工学)
電圧と電流
電子管, ダイオード, Tr, FET, LSI
トンネル効果素子
磁気記録
電子のスピン
と電荷を操作
電子の波動関数を操作
フォトエレクトロニクス
(オプトエレクトロニクス)
ディスプレイ
スピントロニクス
CCD, CMOSセンサーフォトンと電子の
GMR HDD
電荷を操作
太陽電池
MRAM
LD, LED
フォトンを操作
受光素子, 光検出器エネルギーと数
未開拓
?
マグネティクス
(磁気工学)
HDD
磁気テープ
物質のスピンを操作
光スピニクス
光磁気ディスク
フォトニクス
レーザー
光ディスク
光ファイバー
電磁波
振幅と位相
半導体光デバイスの基礎
光デバイスに用いる半導体に求められる性質
受動素子(非発光素子)
105
T = 300K
・動作波長帯で透明であること
・材料分散もなるべく小さい方がよい
・複屈折もなるべく無い方がよい
(偏波無依存)
能動素子(発光素子)
Si
光吸収係数: α (cm-1)
・非線形光学効果が小さいこと
(非線形光学素子は別である)
104
In0.53Ga0.47As
GaAs
InP
Ge
103
・動作波長帯で適度に光を吸収する、
つまり光との相互作用が可能なこと
・発光素子の場合は、発光遷移確率が
高いこと(直接遷移型半導体)
・ pn接合が得られる(電流注入素子が
実現可能な)こと
102
0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6
波長: λ (μm)
主な半導体材料の光吸収係数
半導体のバンド構造
半導体とバンド構造
結晶中の電子の波動関数(電子状態)は、ブロッホの定理によると、波数と
呼ばれる量子数によって規定される。このことが、エネルギーと波数との関
係(分散関係)が原理的に示せることを保障している。バンド理論においては、
このエネルギーと波数との関係を、エネルギーバンド(バンド構造)と呼ぶ。
電子
ホール
Si内の電子エネルギーの分散関係
バルクSiでは、ホール(正孔)はΓ点付近に
分布しているのに対して、電子はX点付近
に分布するので、間接遷移型半導体
バンドギャップは約1.1eV
半導体のバンド構造
化合物半導体のバンド構造
GaAsもInPも、電子、ホール共にΓ点付近に分布
電子
電子
ホール
ホール
GaAsの電子エネルギーの分散関係
InPの電子エネルギーの分散関係
半導体のバンド構造
Geのバンド構造
Ⅳ族半導体であるGeも間接遷移型であるが、
歪を加えると、直接遷移likeになる
近年、Geによる半導体レーザー(低温、パルス発振)
が実現された
Geの電子エネルギー分散関係
半導体光デバイスの基礎
材料分散
分散とは ‥‥ 物質を電磁気学的に特徴付けている誘電率(屈折率)、透磁率などが、
それと相互作用する電磁波の周波数(波長)に依存すること
 ( ), n( ),  ( )
構造関係式は、 D   ( ) E , B   ( ) H
共鳴周波数付近では、誘電率(屈折率)も大きく
変化する。一般的に、線形応答における周波数
応答関数の実部と虚部の間には、クラマース・ク
ローニッヒ(Kramers-Kronig)の関係が成り立つ。
セルマイヤー(W. Sellmeier)の式
媒質中の光の分散について，波長と屈折率と
の間の関係を現象論的に導いた式
Ai 2
n  1  2
  i2
2
ここで λi = c/νi であり、c は真空中の光速、νi
は媒質の共鳴振動数で、Ai は定数である
Siの誘電関数(電子系)εの第一原理計算
半導体光デバイスの基礎
複屈折
複屈折とは‥‥異方性媒質においては誘電率(屈折率)や透磁率がテンソルとなる
 Dx    xx
  
 D y     yx
 D  
 z   zx
 xy  xz  E x 
 
 yy  yz  E y 
 zy  zz  E z 
結晶などは光学異方性媒質
(構造関係式)
光学軸
(c軸)
出射光線
異常光
入射光線
光線が結晶に入射すると、図のように
2つの光線(常光と異常光)に分離する
場合がある。このうち、電場の振動面
に光学軸があると、Snellの法則に従
わない異常光となる。
常光
複屈折結晶において、光を入射しても光が分かれない
(即ち複屈折が生じない)方向を光学軸(optic axis) とい
う。(通常の結晶のc軸に相当)
方解石の複屈折
半導体光デバイスの基礎
非線形光学効果
非線形光学効果とは ‥‥ 物質の誘電率(屈折率)、透磁率などが、電場や磁場の
強さに依存する現象
 ( E ), n( E ),  ( H )
構造関係式は、 D   ( E ) E , B   ( H ) H
全ての物質は、多かれ少なかれ非線形性を有している。特に電場(光)が強い場合に
非線形性が現れる。波長変換デバイスなどでは、非線形光学効果を用いる。
入射光が弱い場合、光の電場 E に比例した分極 P (線形分極: linear polarization)
が誘起される。
D ( x , t )   E ( x , t )   0 r E ( x , t )
  0 (1   e ) E ( x, t )   0 E ( x, t )   0  e E ( x, t )
  0 E ( x, t )  P ( x, t )
線形分極
P  0 E
 : 電気感受率
入射光が非常に強くなると、電気感受率が電場に依存するようになる。
P   0  (E) E
 ( E )   0  (1)   ( 2) E   (3) EE   ( 4) EEE  
半導体光デバイスの基礎
直接遷移型および間接遷移型半導体における
電子遷移
間接遷移型半導体では、光の放出または
吸収にフォノン(格子振動)が介在
物質の発光現象
物質における光の吸収と放出(発光)
励起状態
原子核
全ての光の源は原子と思ってよい
太陽からの光‥‥太陽の中での水素原子の核融合
蛍の発光‥‥有機物の化学反応による
光
基底状態
物が燃える時の発光‥‥有機物の化学反応による
LEDなどの発光‥‥半導体結晶の中での電子遷移
ΔE
励起準位
ν
光
基底準位
ΔE = hν
しかし何故、物質から光が放出されるのだろうか?
物質の発光現象を扱うには、物質と光(電磁波)との相互作用メカニズムについて
学ばなければならない。
量子電子工学(Quantum electronics)という学問分野
物質の発光現象
ラザフォードが提唱した原子は、古典電磁気学に依ると
不安定であり、電磁波(光)を放出しながら10-11 秒程度
の短い時間で潰れてしまうことが予測される。(私の電
磁気学Ⅱの最終回の講義資料を参照)
v
ω
電子 -e
m
陽子
r
+e
この矛盾を解消するために、量子力学が誕生
ボーアが提唱した原子の模型は、電子は原子核の周り
を物質波という形で定在波を形作って回転している。そ
してその波が丁度「量子条件」によって規定される離散
的な状態しか許されないため、安定に存在するというも
の。また電子が、ある定常状態から別の定常状態へ移
行(遷移)するときに、放射（吸収）される光の振動数は、
振動数条件(ΔE = hν)を満たすというもの。
では何故、電子が状態間を遷移する時に
光が放出(吸収)されるのだろうか?
ラザフォードの水素原子の模型
陽子
-e
+e
ボーアの水素原子の模型
光の吸収および発光現象を扱う理論
物質と電磁場との相互作用を扱うには、以下の3方法が考えられる。
1. 物質、電磁波共に古典論で扱う方法(古典論)
つまり、半導体のバンド構造などは考えず、電磁場は波動として扱う方法。この
モデルでは光の吸収は現象論的に扱えるが、発光現象は説明できない。
2. 物質は量子論で扱い、電磁波は古典論で扱う方法(半古典論)
つまり、半導体中の電子は量子化され、エネルギーバンド構造を為す。一方
電磁場は波動として古典論で扱う方法。このモデルでは光の吸収、誘導放出
(レーザーなどの原理)は扱えるが、自然放出は説明できない。
3. 物質、電磁波共に量子論で扱う方法(全量子論)
自然放出までを説明できるよう、つまり物質と電磁場との相互作用を厳密に扱う
には、電磁場をも量子化した全量子論モデルで扱う必要がある。
解析モデル物質
電磁場光の吸収誘導放出自然放出
古典論
古典論
説明可
半古典論量子論
古典論
説明可
説明可
説明不可
全量子論量子論
量子論
説明可
説明可
説明可
古典論
説明不可説明不可
電磁場の記述
電磁場と物質との相互作用を理解するためにはまず、電磁場の記述の仕方や基本的
性質を理解しておく必要がある。
Maxwell方程式は、
B ( x, t )
t
E ( x, t )
1 E ( x, t )
  B ( x, t )  
 ie  2
 ie
t
v
t
  E ( x, t )  
  E ( x, t ) 
e

  B( x, t )  0
と書き表わせる。
また、電場 E と磁場 B は、電磁ポテンシャル A(x, t), ϕ(x, t) によって以下のように表
わせる。
E 
A
  ,
t
B   A
従って、上に示した一連のMaxwell方程式は、場の量としての電場 E と磁場 B を用
いる代わりに、A と ϕ による式に置き換えることができる。
電磁場の記述
さらに電磁ポテンシャルには任意関数 χ だけの不定性があるので、任意のスカラー
関数 χ(x, t) を用いて、
AL ( x, t )  A( x, t )  grad  ( x, t ),
L ( x, t )   ( x, t ) 
 ( x, t )
t
と置き換えた電磁ポテンシャル AL と ϕL を用いても場の方程式の性質は変わらない。
このような関数 χ(x, t) をゲージ関数と呼び、上のような新たな電磁ポテンシャル AL と
ϕL を選ぶことをゲージ変換と呼ぶ。
L ( x , t )
 0 の関係を満たすように
t
χ(x, t) を選んだ場合を、ローレンス・ゲージと呼ぶ。この場合には場の方程式は、以
下に示す AL と ϕL それぞれに対する簡単な波動方程式に帰着する。
電磁ポテンシャル AL と ϕL を、div AL ( x , t )  

2 
    2  AL ( x, t )   ie ( x, t ),
t 


2 
1
    2 L ( x, t )   e ( x, t )
t 


或いは、ダランベール演算子 (d‘Alembertian)□を用いて
1
□AL ( x, t )    ie ( x , t ),
□L ( x, t )    e ( x, t )

ローレンス・ゲージは、ローレンツ変換に対して不変であるため、相対論で用いられる。
電磁場の記述
ローレンス・ゲージ以外にも、ベクトルポテンシャルを発散のないように選び、
  A  0 の条件式を満たすゲージをクーロン・ゲージ(Coulomb gauge)と呼ぶ。
この場合、場の方程式は以下のようになる。
  



2 

    2  A      i
t 
t

電荷 ρe も電流 ie も存在しない自由空間では場の方程式は

2 
  0,     2  A  0
t 

であり、
従って、電場 E と磁場 B は、ベクトルポテンシャル A から、
A
t
B   A
E 
の関係により、導出できる。
この場合、電磁場はベクトルポテンシャル A のみ
によって記述できる。つまり、スカラーポテンシャル
については扱う必要はない。
荷電粒子と電磁場との相互作用
電磁場内に1個の荷電粒子(電子)が存在するときの粒子系のハミルトニアンは、
H
1
( p  eA) 2  eV
2m
で与えられる。(導出は各自試みられよ)
ここで p は、電子の運動量演算子、m は電子の質量、V は電子のポテンシャル、
e は電子の素電荷、そしてA はベクトルポテンシャルである。このうち、電磁場が
無い中に電子のみが存在する成分 H0 を、主ハミルトニアンまたは無摂動ハミル
トニアンと言い、電子と電磁場の双方の寄与からなる成分 Hint を相互作用ハミル
トニアン(Interaction Hamiltonian)と言う。即ち、
1
( p  eA) 2  eV  H 0  H int
2m
1 2
H0 
p  eV
2m
e
e2 2
H int  
( p  A  A  p) 
A
2m
2m
H
となる。
Hint の最後の項は、A2 に比例することから高次の過程(非線形光学過程)であり、
その確率は最初の項よりも通常は小さいので、ここでは無視することにする。
相互作用の電気双極子近似
荷電粒子は、電磁場の正弦波的変動のための周期的な位置変動をするものと仮定
r  r0 eit  r0*e  it
そして、粒子の運動をニュートン力学的に求めると、
E
r
p  mr  m(ir0eit  ir0*e it )
と書かれる。さらにベクトルポテンシャルを
原子の分極
A  A0 eit  A0*e  it
と置くと、電場は、
E 
電子雲
の偏り
+e
e+iωt
E
A
 iA0 eit  iA0*e it
t
と書かれる。従って、
e
e
H int  
( p  A  A  p)   m(i r0  A0* i r0*  A0 )
2m
m
 e r  E
 R  E
r
e−iωt
−e
電気双極子
ei2ωt や e−i2ωt の項は、
時間積分すると消える
と書ける。ただし、R = er で、電気双極子能率(electric dipole moment)と呼ばれている。
相互作用の電気双極子近似
相互作用ハミルトニアン
H int  
e
( p  A  A  p)
2m
には、電場による影響(クーロン力)と磁場による影響(ローレンツ力)の両方が含まれ
ているはずであるが、上で導いた荷電粒子との相互作用の式では、電場による影響
RE しか含まれていない。これは、荷電粒子の運動の形態を、 r  r0 eit  r0*e  it
のように、ある限られた場所での振動と仮定したためである。もし荷電粒子に平行運
動のような運動形態を仮定したならば、磁場による影響も含まれてくるはずである。
このように相互作用を、電場のみに影響すると仮定して RE のように近似することを、
電気双極子近似という。近似による変位の部分を電場で展開すると、電気四重極子
や電気八重極子のような多重極の分極が現れることもある。
工学で扱う物理現象は非常に複雑なものが多い。従って、全ての物理現象を取り入
れた完璧な理論を構築することは不可能である。
良きエンジニアとは、それら複雑な物理現象の中で、何が本質的に重要かを見極め、
近似をうまく使い、無視できる物理現象は思い切って無視し、シンプルな理論を構築
できる人である。ただし、どんな近似を使ったのかは決して忘れてはいけない。
半導体中での電気双極子
半導体中では、電子とホールが分極(電気双極子)を作る
伝導帯
電子
−e
電子
電気双極子
+
E
電気双極子
+e
ホール
ホール
値電子帯
半導体中における電気双極子
量子統計と密度行列
電流値など、多くの粒子(電子)が関与する物理量は、多くの粒子による統計的な
平均値となる。また単一事象において、複数回観測(測定)を行った場合の期待値
なども統計的な扱いが必要となる。そのような多数の粒子或いは多数回の測定に
ついての統計的性質について扱う。まず、ν 番目の粒子または ν 回目の測定にお
ける状態を、
 ( )   Cn( ) n
と書くこととする。
n
ここで n は、一つの粒子のみが存在する場合のエネルギー固有状態である。完備
性が仮定されているので、 n の1次結合によって任意の  ( ) をつくれるはずであ
り、 n には添え字 (ν) はいらない。
ある物理量に対する演算子を A とすると、 ν 番目の粒子における期待値は、
 ( ) A  ( )   Cn( )*Cm( ) n A m
となる。
n,m
次に、粒子の集団全体における期待値の平均(ensemble average)を求める。
ν 番目の粒子が寄与する割合(粒子の抽出確率)を P(ν) とおき、規格化しておく。
P


( )
1
量子統計と密度行列
期待値の統計平均は、
 A    P ( )  ( ) A  ( ) 

P C


( )
Cm( ) n A m
( )*
n
と書ける。
,n,m
ここで、以下のような書き換えを行う。
A   A  , Anm  n A m ,  mn   P ( )Cn( )*Cm( )  Cn*Cm

ρmn を要素にもつ行列 ρ を密度行列(density matrix)と呼ぶ。
密度行列を用いると、
A    mn Anm   m  n n A m
n ,m
n,m


  m   n n  A m   m A m
m
m
n

 I  n n

 11

   21



12  
 22  


 

 
と書き改められる。
は恒等演算子(identity operator)
n
m A m
は行列 ρA の対角要素を全て足し合わせたもの、即ちTrace であり、
m
A   m A m  Tr ( A)
m
と表わすことができる。また、 Tr (  )  1 である。
密度行列の運動方程式
( )
密度行列 ρ の性質が分かれば、集団内の個々の粒子についての状態 
や抽出
確率 P(ν) を知らなくても、統計性を含めた期待値 A を知ることができる。そこで、密度
行列 ρ を表現する方程式、つまり ρ が従うべき方程式を求めてみる。
まず、密度行列の行列要素の定義式を、以下のように書き直す。
 mn   P ( )Cn( )*Cm( )   P ( )  ( ) n m  ( )




  m  ( ) P ( )  ( ) n  m   ( ) P ( )  ( )  n



( )
P ( )  ( ) と書くことができる。
従って密度行列は、    

この式の両辺を時間 t で微分すると、
( )

d  ( )
d
d 
( )
( )
( )
( )
 
P   P
dt
dt
dt
 






ただし、抽出確率 P(ν) の時間依存性はないとしている。
となる。
密度行列の運動方程式
シュレーディンガー方程式 i
 i
d
 ( )   ( ) H
dt
d ( )

 H  ( ) および、そのエルミート共役
dt
より、
d
H
H
    ( ) P ( )  ( )   ( ) P ( )  ( )

dt
i 
  i
1
1
 H  H   H ,  
となる。
i
i
これは、密度行列の時間発展を表す式であり、密度行列の運動方程式或いは、
量子リウヴィル(Liouville)方程式もしくはリウヴィル-フォン・ノイマン方程式とも呼
ばれる。
双極子との相互作用がある場合の密度行列
電子系の主ハミルトニアンを H0 とし、電気双極子能率を R とする。前に述べたように、
電場が存在するときの相互作用ハミルトニアン Hint は、−RE となり、電子系全体のハ
ミルトニアン H は、
H  H 0  H int  H 0  RE
となる。
これを、密度行列の運動方程式に代入すると、
d 1
1
1
 H  H   H 0   H 0   RE  RE  
dt i
i
i
1
1
 H 0   H 0   R  R E
となる。
i
i
ここで、最後の ≈ では、１個の電子が存在する領域が電磁波の波長に比べて十分に
小さく、その範囲内で電場の分布は一定と見なせることを仮定している。実際、気体
原子に束縛されている電子の存在範囲はせいぜい数Å程度であり、また半導体中の
電子に至ってもせいぜい数十Å程度である。それに対して、相互作用する光の波長
は数千Åもあるので、この仮定は妥当である。
双極子との相互作用がある場合の密度行列
次に、密度行列の行列要素に対する方程式を導出する。エネルギー固有状態には
時間依存性が無いので、
d mn d
d

mn  m
n
dt
dt
dt
と表すことができ、従って、
d mn 1
1
1
1

m H0 n 
m H 0 n 
m R n E 
m R n E
dt
i
i
i
i
1
1





m H 0   l l  n 
m    l l H 0 n
i
i
 l

 l

1
1





m    l l R n E 
m R  l l   n E
i
i
 l

 l

1
1
  m H0 l l  n   m  l l H0 n
i l
i l
1
1
  m  l l R n E  m Rl l  n E
i l
i l
と書くことができる。なお。ここで用いている固有状態は、主ハミルトニアン H0 の固有
状態である。
双極子との相互作用がある場合の密度行列
従って、状態 n は、エネルギー固有値 Wn をとり、状態間には直交性があるので、
d mn 1
1
1
1
 Wm m  n 
m  n Wn   m  l l R n E   m R l l  n E
dt
i
i
i l
i l
1
1
1
  mn Wm  Wn     ml Rln E   Rml  ln E
i
i l
i l
1
 i mnnm    ml Rln  Rml  ln E
となる。
i l
ただし ωmn は、順位 m と順位 n とのエネルギー差に対応する角周波数であり、
Wn  Wm  nm
で与えられる。
2準位系での相互作用
話を簡単にするためにまず、電子の取り得るエネルギー準位が2つしかない2準位系
において、電磁場との相互作用を考える。
b
Wb
上側(励起)準位を b 、下側(基底)準位を a とすると、
ba
dbb
1
 ibbbb   ba Rab  bb Rbb  Rba  ab  Rbb  bb E
a
Wa
dt
i
となる。ここで、 bb  Wb  Wb  /   0 であり、双極子能率 R の行列要素の対角要素
Rbb も、一般的な媒質では 0 となる。従って、
d bb 1
  ba Rab  Rba  ab E
dt
i
となる。同様に、
d aa 1
  ab Rba  Rab  ba E
dt
i
d ba
1
1
 ibaab  ba Raa   bb Rba  Rba  aa  Rbb ba E  i baba   bb   aa Rba E
dt
i
i
d ab
1
1
 i abba   aa Rab   ab Rbb  Raa  ab  Rab  bb E  i abba   aa  bb Rab E
dt
i
i
が得られる。
2準位系での相互作用
ここで bb ,  aa は各々、上側および下側準位の電子分布であり、 Tr (  )   aa  bb  1
である。一方  ab , ba は2つの状態間での量子相関(量子コヒーレンス)を表している。
これらの式は、それらの時間的変化を記述しており、第1式は上側準位の電子分布
の時間的変化を、第2式は下側準位の電子分布の時間的変化を、そして第3式と4
式は、それら準位間での量子コヒーレンスの時間的変化を記述している。
これらの式は、光の吸収(absorption)や誘導放出(stimulated emission)を記述して
いるが、実際にはこれら方程式に含まれていない以下の現象が存在する。
上側準位の電子は誘導放出により下側準位に遷移し、やがて熱平衡状態での電子
分布になったら正味の発光は起きなくなる。そこで、連続して発光させるためには、
下側準位の電子を上側準位に汲み上げてやる必要がある。これをポンピングと言
い、半導体レーザーや発光ダイオードなどでは、pn接合に電流を注入することによ
りポンピングを行っている。
上側準位の電子は、電磁場が存在しなくてもある一定の割合で光を放出して下側準
位に遷移する。これを自然放出と言う。自然放出は電磁場を量子化した時の不確定
性に起因するもので、電磁場を古典論で扱う場合(半古典論)には導出できない。
これまでの密度行列の導出においては、粒子同士の衝突やエネルギー準位の揺ら
ぎなどは考慮していなかった。しかし実際は、粒子の衝突などによって双極子の調和
振動が乱され、双極子振動は減衰していく。これを電子緩和効果という。
2準位系での相互作用
このような効果を現象論的ではあるが付加してやる必要がある。
ポンピングによって上側準位の電子密度が増加(その分下側準位は減少するが、)
する割合を Λp、自然放出による電子寿命時間(縦緩和時間とも言う)を τs、粒子同士
の衝突などにより双極子振動が減衰していくが、その寿命時間(デコヒーレンス時
間)(横緩和時間とも言う)を τd とする。ポンピングと自然放出は、密度行列の対角要
素に付加され、双極子の寿命時間は非対角要素の変化として導入される。従って、
これら現象論的な補正をした方程式として、
d bb 1

  ba Rab  Rba  ab E  bb  Λp  (1)
dt
i
s
d aa 1

  ab Rba  Rab  ba E  bb  Λp  (2)
dt
i
s
d ba

1
 i baba   bb   aa Rba E  ba
dt
i
d
d ab

1
 i abba   aa   bb Rab E  ab
dt
i
d
が得られる。
ρbb
Wb
 (3)
 (4) Wa
ba
自然放出
τs
ρaa
b
ポンピング
Λp
a
2準位系での分極率
次に、微分方程式
d ab

1
 i abba   aa   bb Rab E  ab
dt
i
d
 (4) の解を求めてみる。
電場が存在しない場合、上の方程式は同次方程式

d ab

1
 i abba  ab   iba 
dt
d 
d


1
  ab となり、その解は  ab  C exp  iba 
d



t

の形となる。ただし C は任意定数。そこで、電場が存在する場合については U(t) を
変数として、

 ab  U (t ) exp  iba 

1
t と表わせると考え、これを式(4)に代入すると、
d 


dU
1 
1
1
exp  iba  t   iba  U exp  iba  t
dt
d  
d 
d 



1
1
  iba    ab   aa   bb Rab E
d 
i



1
1 1
  iba  U (t ) exp  iba  t   aa   bb Rab E
d 
 d  i


となる。
2準位系での分極率
従って、

dU
1
exp  iba 
dt
d


1
t   aa  bb Rab E
 i
の関係が得られる。
電場 E を E  E eit  E* e it と表し、上式を時間に関して積分すると、
 
 Ed
 

1 t
1 

   aa  bb Rab exp   iba   E eit  E* e it d
となる。
i 0

d  


1
 ab  U exp  iba  t
積分時間内 0 ~ t で (ρaa – ρbb)Rab は一定とみなすと、

d 

U

1 t
1






R
exp

i



aa
bb
ab
ba
i 0
d


 aa  bb Rab exp  i
i


ba 

1 t
1
t  exp   iba 
d  0
d

 
  E ei  E* e i d
 




1 
1 

 i  ba  
 i  ba  
t
1   t
d 
d 
* 

d   E e
d 
 ba   t 0 E e
0
i
d  



次のスライドに続く、、、、
  bb Rab exp  i
 aa
2準位系での分極率
t
t

 
 



1  
1 
1 

*

 i  ba   
 i  ba    

 aa   bb Rab  iba  d t 
E
E



d 
d 
 
 

e
e
e

1
1
i
   i     
 
 i   ba  
ba
 
 
d
d

0
0







1 
1
1
*
 i  ba  t 
  i  ba  t  

 aa   bb Rab  iba  d t 
E
E
d 
d 

e
e 

e
 1 
 1 

1
1
i
  i      

 i   ba   



ba


d
d






1
1


 iba   t 
 iba   t 

 aa   bb Rab 
E
E*
d  
d  
it
it




e

e

e

e




1
1
i
 i      
  i   ba   

ba


d
d
ここで、t >> τd の定常状態を考えると e

t
d
 0 であるから、


 aa  bb Rab 
E eit
E* e it
 ab 


1
1
i
 i  ba  
 i  ba  

d
d





となる。
2準位系での分極率
さらに ω ≈ ωbaであるから、{ }内の第1項の分母の虚部はほぼ 0 となるが、第2項の分
母の虚部はかなり大きい。従って、 { }内の第2項は無視できる。そうすると、
 ab
   aa Rab
  bb
i
E eit
i  ba  
1
となる。
d
同様にして ρba も求められるが、ρba は ρab の複素共役であり、 ρba = ρ*ab である。
ba
   aa Rba
 bb
i
E* e it
iba    
となる。
1
d
ところで、古典電磁気学において分極 P は、

P   0  ( ) E e jt   * ( ) E* e  jt
従って、  ( ) 
1
 0 E Δt

t
Pe  jt dt ,
t  Δt

で与えられた。
 * ( ) 
1
 0 E* Δt

t
Pe jt dt
t  Δt
ただし、Δt は 1/ω の数倍程度の時間間隔をとることとする。
2準位系での分極率
ところで、双極子能率 R は、R = er と表わせたが、これを量子力学的な演算子とし、
電子密度を Nt とすると分極 P は、
P  N t R  N t Tr R   N t   mn Rnm
となる。
m,n
従って、
 ( ) 
Nt
 0 E Δt
 j t



R


R


R


R
e
dt
aa
aa
ab
ba
bb
bb
ba
ab
t  Δt
t
Rab
N    aa 
  t bb
1
i  0
i   ba  
2
となる。
d
ただしここでは、前にも述べたように Raa = Rbb = 0 と見なしている。
光増幅利得
分極率 χ の虚部は、それが正の場合は光を増幅する割合を示す光学利得定数を、
負の場合は光減衰係数を表わしている。つまり、光学利得定数 g は、
g


 N t bb   aa  Rab
 0 Im  




0  r N t bb   aa  Rab
 0 r

磁性体でなければ、 r  1,
2


i
Im 
 i  ba   1

d





1
2
d

  ba 2   1
 d
 r  nr



2

0 N t Rab
0
nr 
2
bb   aa  1
d

  ba 2   1
d



となる。
準位 b と a に存在する電子数の合計は単位体積当たり Nt である。準位 b の電子密
度を Nb、準位 a の電子密度を Na とする。ρbb と ρaa とは電子分布の比率を示すので、
Nt bb  Nb , Nt  aa  N a , Nb  N a  Nt
 0  Rab
g
 0 nr 
2
N b  N a 1  d 
  ba 2  1  d 2
2
と書かれる。従って光学利得定数は、
となる。
反転分布
ポンピングを行わない熱平衡 (thermal equilibrium)状態では、電子分布はMaxwellBoltzmann分布に従い、Nb < Na であり、従って光学利得定数 g の値は負となる。つ
まり、媒質によって光が吸収される。これを光物性学では、基礎吸収と呼んでいる。
一方、ポンピングによって Nb > Na が実現されると、利得定数が正となり、光が増幅
されて出てくる。これが誘導放出である。 Nb > Na の状態を反転分布(population
inversion)という。また、Nb = Na の時、媒質は透明となる。
エネルギー E
b
E
b
Nb Wb
a
Na
Wa
a
粒子数 N
熱平衡状態 (Nb < Na)
Maxwell-Boltzmann分布
P( E )  e

E
kT
k: ボルツマン定数
T: 媒質の温度
Nb
Wb
Na Wa
粒子数 N
反転分布 (Nb > Na)
光増幅のメカニズム
Re χ
分極 P に光電場 Ei が入射する場合、
P   0 Ei   0 Re   i Im  Ei
と表わせ、Im χ が負の場合、分極
は入射光 Ei より 0 ~ π/2 位相が遅
れて振動する。この分極によって
放射される光電場 Er は、 Δz を分
極が存在する範囲として、
ωba
ω
Im χ
i 
PΔz
2 
と表わされ、分極振動に対してπ/2
位相が遅れて放射される。従って、
出力光電場は Ei とEr との合成とな
るため、出射光は減衰する。(右図)
Er  
一方、Im χ が正の場合、分極は入
射光 Ei より 0 ~ π/2 位相が進んで
振動する。この分極によって放射さ
れる光電場 Er は分極振動に対し
てπ/2 位相が遅れて放射される。
従って、出力光電場は増幅される。
Re χ
ω
ωba
Im χ
ω
ωba
ρbb < ρaa
ρbb > ρaa
0 ~ π/2
Ei
Er
P
0 ~ π/2
Eout
P
減衰
ω
ωba
Ei
Er
増幅
Eout
レーザー
レーザとは、光の発振器
正帰還回路
光の正帰還回路
光増幅媒体
+ Amp.
鏡
電気の発振器
レーザー
光増幅媒体とはどのようなものか?
物質(原子系)と光との相互作用以下の3つの課程が同時に起きている
電子など
E2
減衰
入射光
出射光
増幅
入射光
発光
出射光
E1
二準位系
(原子など)
光の吸収
誘導放出
自然放出
熱平衡状態
Maxwell-Boltzmann分布
E
E2
k: ボルツマン定数
T: 媒質の温度
P( E )  e

n2: 励起状態の原子数
E
kT
誘導放出
正味では減衰
E1
吸収
P(E)
熱平衡状態では、励起準位の原子数
は基底準位の原子数よりも少ない n1> n2
吸収
吸収
n1: 基底状態の原子数
自然放出の起きる確率 = An2
A: アインシュタインのA係数
吸収の起きる確率 = Bn1 I
B: アインシュタインのB係数
誘導放出の起きる確率 = Bn2 I
I: 入射光の強度
Bn1 I > Bn2 I
熱平衡状態では、吸収の確率 > 誘導放出の確率となり、入射光は減衰して出てくる
反転分布
反転分布
Tが負(負温度状態)
E
n2: 励起状態の原子数
E2
P( E )  e

E
kT
誘導放出誘導放出
E1
P(E)
励起準位の原子数が基底準位の原
子数よりも多い状態を反転分布という
n1< n2
誘導放出
吸収
正味では増幅
n1: 基底状態の原子数
Bn1 I < Bn2 I
反転分布では、誘導放出の確率 > 吸収の確率となり、入射光は増幅されて出てくる
レーザーとは、何らかの方法で反転分布を作り出し、放射の誘導放出(Stimulated
emission)を用いて光を増幅する装置
レーザー
レーザー(laser)の語源
light amplification by stimulated emission of radiation
光増幅
誘導放出
放射
メーザー(maser) microwave amplification by stimulated emission of radiation
レーザーの種類
A. 固体レーザー
a. 結晶体レーザー
ルビー(Cr3+: Al2O3)レーザー 1960年世界で最初に発振したレーザー。
光励起で発振。λ = 694.3nm(赤)
Nd3+: YAGレーザー λ = 1064nm(近赤外)
b. ガラス・レーザー光学ガラスにNdを
ドープ。高出力
レーザー
B. 液体レーザー
有機色素(ローダミンなど)を光励起して発振。広範囲に波長可変可能。
C. 気体レーザー
a. 中性気体レーザー
He-Neレーザー He-Neの混合ガスで
グロー放電を起こして発振。
λ = 632.8nm(赤)
b. イオンレーザー
Ar+レーザー, Kr+レーザー中性原子のガスでアーク放電を起こして発振。
Ar+レーザー λ = 488nm(青), 514.5nm(緑)
Kr+レーザー λ = 647nm.1, 676.4nm(赤),
c. 分子レーザー
CO2レーザー大出力のため、金属加工用や医療用レーザーメスなどに使用
λ = 10.6μm(赤外)
D. 半導体レーザーコンパクトで低消費電力のため、光通信用途を始め各種
民生機器で広く使用。
レーザーとコヒーレント光
レーザー光は、コヒーレント(coherent)な光
コヒーレントとは、波の位相が揃った状態。高スペクトル純度、良好な収束性を有する
時間的コヒーレンス空間的コヒーレンス
光
の
電
界
t
光
の
強
度
f 又は λ
光
の
強
度
光
の
電
界
コヒーレント光
t
f 又は λ
インコヒーレント光
(コヒーレントでない)
自然界に存在する光は全てインコヒーレント光
例: 太陽光、炎から出る光、蛍の光、白熱電球、蛍光灯、LED
コヒーレントな光を人工的に発生させる装置がレーザー
場の量子論基礎
電磁場の量子化
誘電率 ε の物質中の電磁場のベクトルポテンシャル A は、以下のように与えられる。
A
1
Q F ( x, y, z ) x

ここで Q は、時間変化を表わす量子力学的演算子であり、x は電磁場(ベクトル
ポテンシャル)の偏り(偏波)の方向を表わす単位ベクトルである。F(x, y, z) は電磁
場の空間分布を表わす実数関数で、古典的なMaxwell方程式から求められる関
数と同じであり、波動方程式
     F ( x, y, z)  0
2
0
を満たす。
ω は、古典的電磁場の角周波数であり、上式においては、演算子 Δ において、
電磁界分布 F(x, y, z) を定める固有値として導入されている。
なお電磁界分布関数 F(x, y, z) は、定義された空間全体 V で以下の様に規格化
しておく。
 F ( x, y, z)
V
2
dV  1
場の量子論基礎
扱う物質の運動速度が光速度に比べて遥かに小さい場合、相対論は考慮しなく
てもよい。非相対論的な量子力学では、時間に依存する物理量のみが量子力学
的演算子として扱われる(ハイゼンベルク描像) 。つまり Q は、電磁場の振幅の
時間変動を表しているので演算子であり、 F(x, y, z) は電磁場の空間分布を表わ
すが時間には依存しないので、量子力学的演算子ではなく、古典的なMaxwell方
程式から得られる分布関数と考えてよい。
電場 E と磁場 B は、真電荷が存在しない場合即ちスカラーポテンシャルが全
空間で一定の場合、ベクトルポテンシャル A のみから、
A
E 
, B   A
で与えられる。
t
演算子 Q の時間微分に対応した新しい演算子 P を定義する。
(量子力学では、古典力学のように物理量を直接的に「微分」できないことに注意。)
P
Q
t
場の量子論基礎
従って、電場 E と磁場 B は、
A
1 Q
1

F ( x, y , z ) x  
P F ( x, y , z ) x
t

t


1
B   A 
Q  F ( x, y, z ) x
E

と書ける。
ここで、量子力学における要請より、演算子 Q と P との間には以下の不確定性関係
が成立しなければならない。
Q, P  QP  PQ  i
ここで、演算子 Q と P とからなる以下の新たな演算子 a と a† を定義する。
a
a† 
1
Q  iP 
2
1
Q  iP 
2
これまでの議論より、演算子 Q と P は古典的には cosωt と ‒ωsinωt に対応し、a と
a† は、オイラーの公式を用いて、ω2 =1 と置いてやれば e‒iωt と ‒ eiωt に対応している
ことが推測できる。
場の量子論基礎
a と a† の間には、[a, a†] = 1 の交換関係が成り立つ。何故なら、
a, a   aa
†
†
 a†a 
1
Q  iP Q  iP   Q  iP Q  iP 
2
1

 2Q 2  iQP  iPQ  P 2   2Q 2  iQP  iPQ  P 2 
2
1
i
i

2i PQ  QP   P, Q    i   1
2



また、n を整数値とし、 n を整数値 n (ただし、n ≥ 0)に対応する固有状態とすると、
a は整数値を一つ下げ、 a† は逆に整数値を一つ上げる演算子である。
a n  n n 1
a† n  n  1 n  1
従って、 a を消滅演算子(annihilation operator)、a† を生成演算子(creation
operator)と呼ぶ。
場の量子論基礎
また、 a† と a の積をとった演算子 N = a†aは、
N n  a†a n  a† n n  1  n a† n  1  n n n  n n
から分かるように、状態 n に作用すると、整数値 n を固有値として返す演算子で
あり、数演算子(number operator)と呼ばれている。
a  a† 
1
Q  iP   1 Q  iP   2 Q より、 Q   a  a†
2
2

2
a  a† 

1
a  a†
Q  iP   1 Q  iP   i 2 P より、 P  i
2
2
2



従って a と a† を用いると、電場と磁場は、
1
E
B

1

P F ( x, y , z ) x  i
Q  F ( x, y, z ) x 

a  a † F ( x, y , z ) x
2



a  a   F ( x, y, z ) x
2

†
と表せる。


場の量子論基礎
これらから、電磁場のハミルトニアンを求めると、
Hf 
1  2 1 2
1
1
 †




E

B
dV



a
a




N








V
2 
 
2
2


となり、電磁場エネルギーの期待値が、
1
1


H f n    N   n    n   n
2
2


と書かれる。
このように、電磁場のエネルギーは量子化すると離散的となり、電磁場(光)のエネ
ルギー量子のことを光子(photon)と言い、n を光子数(photon number)と呼ぶ。こ
こで、光子が無い、即ち n = 0 であっても、ħω/2 の電磁場エネルギーが残ることと
なる。これは所謂ゼロ点振動エネルギーであり、取り出すことはできないが、実は
後で述べるように、これが光の自然放出にとって非常に重要な役割を果たす。即
ち、自然放出はこのゼロ点振動があるため起こり、ゼロ点振動(真空場の揺らぎ)
がないと自然放出は起こらない。
全量子論による物質と電磁場との相互作用
電磁場中を1個の電子が運動している時、系全体のハミルトニアンは、
H
1
( p  eA) 2  eV  H f
2m
と表わせる。ここで m は電子の質量、 e は電子の素電荷、 p は電子の運動量演算
子、A はベクトルポテンシャル、V は電子のポテンシャル(極性は電子に対して定義)、
Hf は電磁場のハミルトニアンである。電磁場のベクトルポテンシャル A は、
B   A 
A

a  a   F ( x, y, z ) x
2

†

a  a F ( x, y, z ) x
2

†
であることから、
と表わせる。
ここでベクトルポテンシャルは、クーロン・ゲージならば   A  0 の関係にあるので、
運動量演算子 p( i) との交換関係は 0 となる。  p, A  p  A  A  p  0
従って、 p  A  A  p としてよい。(ただし、クーローン・ゲージの場合)
補) 系全体のハミルトニアンの導出
ところで、質量 m、電荷 q の荷電粒子が、電磁場 A 内に存在する場合の系全体の
ハミルトニアンは以下のようにして求められる。ただしこの場合、粒子のスピンは考
慮に入れていない。
電磁気学で、荷電粒子に働く力はローレンツ力
F
dp
 q( E  v  B)
dt
で与えられた。
これは、荷電粒子が U  q (  v  A)
 F  U
というポテンシャルの中に存在することを意味する。ここで、ϕ はスカラーポテンシャル。
従って、この系のラグランジュアン L は、
p2
L  T U 
 q(  v  A)
2m
で与えられる。
これをラグランジュの方程式で、x, ẋ をそれぞれ共役変数とすると、
d  L  L
0
 
dt  x  x
から系の運動方程式が求められる。
補) 系全体のハミルトニアンの導出
p2
 q(  v  A)
また、 L 
2m
pˆ 
L
 p  qA
x
 p
v
より、x に対する共役な変数    は、
 m
である。
従ってハミルトニアンは、
p2
H  pˆ  x  L  ( p  qA)  v 
 q(  v  A)
2m
p p2
p
 ( p  qA)  
 q(   A)
m 2m
m
pˆ 2

 q
2m
従って、電磁場内の荷電粒子のハミルトニアンは、
1
H
( p  qA) 2  q となる。
2m
これと、電磁場自身のハミルトニアン Hf を加えて、系全体のハミルトニアン H は
1
H
( p  qA) 2  q  H f
となる。
2m
全量子論による物質と電磁場との相互作用
系全体のハミルトニアン H 
1
( p  eA) 2  eV  H f を、電子と電磁場が互いに
2m
独立に存在している場合の主ハミルトニアン H0 と、電子と電磁場との相互作用に
基づくハミルトニアン Hint とに分解する。
H0 
H int
1 2
1

p  eV    a † a  
2m
2

e
e2 2
  p A
A
m
2m
主ハミルトニアンの固有状態を u 、これに対応するエネルギー固有値を u とする。
これらは、電子の固有状態  とエネルギー固有値 W、および電磁場の固有状態
n と光子数 n により、以下のように表わせる。
H0 u  u u
1

u  W    n  
2

u  n
全量子論による物質と電磁場との相互作用
相互作用ハミルトニアンが存在しなければ、状態は初期状態 u から変化しない。
相互作用ハミルトニアンが存在すると、状態が遷移し、その遷移確率は、
u f H int ui
2
に比例する。ここで添字 i は変化前の状態、f は変化後の状態を示す。
これをフェルミの黄金律(黄金則) Fermi’s Golden Ruleと呼び、量子系のあるエネル
ギー固有状態から別のエネルギー固有状態への単位時間あたりの遷移確率を、摂
動法の最低次数の近似によって計算する方法である。
相互作用ハミルトニアン Hint は、電子に対する演算子 p および、電磁場に対する演
算子 a と a† を含んでいるが、p は電子状態  だけに作用し、a と a† は電磁場の状
態 n にだけ作用する。従って、相互作用ハミルトニアンの行列要素は、
u f H int ui  


e

F ( x, y, z ) n f a  a † ni  f p  i
m 2
となる。
Hint のうちで A2 は、二つ以上の光子が同時に作用する場合にのみ意味を持ち、通
常その確率は小さいので、ここでは無視することにした。(つまり、非線形光学効果
は無視した。)
全量子論による物質と電磁場との相互作用
消滅および生成演算子には以下の性質があったので、
a n  n n 1
a† n  n  1 n  1


n f a  a † ni
は、以下の二つの場合にだけ値を持つ

 n  1 (n f  ni  1 のとき)
n f a  a  ni   i
(n f  ni  1 のとき)

 ni
†
このことから、状態 ui から状態 uf への遷移確率 Pif が、
 e2
Pif 
 f pi
2
m
2
n  1 (ただし W f  Wi   )
2
F ( x, y , z )  
(ただし W f  Wi   )
n
となる。このように、電子が上側準位から下側準位に遷移して、光を放出する時の
遷移確率は n + 1 に比例し、逆に光を吸収して、電子が下側準位から上側準位に
遷移する時の遷移確率は n に比例する。
全量子論による物質と電磁場との相互作用
物質が光を放出するか、或いは吸収するかは、統計的な性質で決まる。物質内の
ある二つの電子準位に着目し、上側準位を b、下側準位を a とする。半導体中の電
子などは、フェルミ・ディラックの分布関数に従って分布しており、上側準位での分
布を fb、下側準位での分布を fa とする。電子が上側準位から下側準位へ遷移する
確率は、上側準位に電子が存在し、下側準位に電子が遷移できる空きの状態が存
在する確率に比例するので、fb(1 − fa)(n + 1) に比例する。逆に、下側準位から上側
準位へ遷移する確率は、 fa(1 − fb)n に比例する。両式の差は、(fb − fa)n + fb(1 − fa)
であり、準位 b から準位 a への正味の遷移確率 Pba は、
 e  f pi
2
Pba 
2
m
F ( x, y , z )
2
2
( f b  f a )n  f b (1  f a )
と書かれる。{ }内の (fb − fa)n に比例する項は、fb > fa のとき誘導放出を表わし、
fb < fa のときは吸収を表わす。 fb(1 − fa) に比例する項は、光子数 n が 0 でも光を
放出し、自然放出と呼ばれる。
b
a
fb
fa
b
n+1
a
光放出
fb
fa
n
光吸収
全量子論による物質と電磁場との相互作用
始状態 ui から終状態 uf への遷移確率は、先に述べたフェルミの黄金律によって与
えられるが、そこには遷移を可能にする状態がなければならない。ここで言う状態と
は、物質のエネルギー状態(基底状態や励起状態)のみならず、物質と相互作用し
ようとする光(フォトン)の状態である。
例えば簡単のために、一辺の長さが L の立方体の箱を考え、その中に光と相互作
用する物質があり、エネルギー状態間遷移によって光を吸収または放出するとする。
ただし L は、相互作用をする光の波長に比べて十分長いものとする。この立方体は
一種の光共振器であり、例えば箱の壁面で電場がゼロとなるような境界条件を満た
さなければならないとすると、この箱の中での電磁界分布は、px, py, pz を正の整数
として、
L
8
  px    p y    pz 
F ( x, y, z )  3 sin 
x  sin 
y  sin 
z
L
L
L
L
L


 
 
と書かれる。
L
     F ( x, y, z)  0
2
0
より、各周波数 ω は、
2
   2
1 2
2
2
2
 px  p y2  pz2
 
kx  k y  kz  
  L 
0
0






物質
光共振器
を満足しなければならない。正の整数値 px, py, pz をモード番号と言う。
全量子論による物質と電磁場との相互作用
モード番号が作る空間を、図のように書く。個々の座標点が電磁場のモードを示す。
原点を中心とした半径 r の球を描くと、
  
r ,
 
  L 
0


r
p x2  p y2  p z2
であり、この球の体積の1/8が角周波数 0 から ω までのモードの総数である。
従って、角周波数 ω ~ ω + dω の間に含まれる電磁場モードの数は、(球の表面
積)×dr である。なお、電磁場は一つの進行方向に対して直交する 2 つの偏波
状態が存在できる。従って、 dω 当たりのモード数は、
3
pz
32
 0 L  2
  d  1  (0 ) L3 2 d
2  4  
  
8
3


r
となる。上式は、最初に定義した空間の体積 L3 に比例して
py
いる。従って、単位体積当たりで dω に入れるモード数は、
D( )d 
(0 )3 2

3
 2 d
px
となり、これが電磁場の状態密度を与える。
実際に遷移が起こる確率は、この状態密度を掛けたものとなる。
表面積 4πr2
半導体中での電子遷移過程
バンド間遷移による光吸収と発光
発光過程
光吸収過程
バンド内遷移光吸収
伝導帯
光
価電子帯
(重い正孔)
価電子帯
(軽い正孔)
スピン分裂
価電子帯
非発光遷移課程
自然放出
誘導放出
価電子帯間吸収
InterValence Band Absorption
オージェ効果
2光子吸収
Two-photon Absorption
半導体pn接合
n型
p型
n型
p型
E
空乏層
電子
正孔
I
Eg: バンドギャップ
電界E 伝導帯
電
子
n
の
エ
EF
ネ
ル
Eg
ギ
p
ー
価電子帯
(a) 熱平衡状態
Vb
n
p
電
EFc
子
の
エ再結合
eVb
ネ
ル
ギ
ー
Vb = (EFc - EFv) / e
(b) 順バイアス印加時
EFv
半導体内の電子分布
バルク半導体において、伝導帯および価電子帯の電子の
状態密度関数 ρ(E) は、
c ( E ) 
v ( E ) 
1  2me 

2 
2   
1  2mh 


2 2   
3
2
3
2
E  Ec
Ev  E
(ただし, E  Ec )
(ただし, E  Ev )
me: 伝導帯における電子の有効質量
mh: 価電子帯における電子(正孔)の有効質量
E
ρc(E)
Ec
Eg
Ev
放物線状
ρv(E)
0
状態密度関数
ρ(E)
E
伝導帯の電子および価電子帯の正孔の存在確率はフェル
ミ-ディラック分布関数で与えられる。
f (E) 
1
1  exp E  EF  / kT 
k: ボルツマン定数
T: 媒質の温度
EF: フェルミ・レベル
フェルミ・レベル EF は、電子(正孔)の存在確率が1/2と
なるエネルギーレベル。
EF
f(E)
0
1/2
1
フェルミ-ディラック分布関数
熱平衡状態での電子分布
従って、半導体内において熱平衡状態での伝導帯の電子および価電子帯の正孔
密度のエネルギー分布は、各々の状態密度関数にフェルミ-ディラック分布関数を
かけたものとなる。
伝導帯電子分布
E
E
E
ρc(E)
価電子帯
正孔分布
Ec
Ec
EF
Eg
Ev
価電子帯
電子分布
Ev
ρv(E)
ρ(E)
0
状態密度関数
0
1/2
1
f(E)
フェルミ-ディラック分布関数
0
N
伝導帯および価電子帯の
電子分布
電流注入時の電子分布
半導体pn接合に順バイアスを印加して電流注入を行うと、もはや熱平衡状態ではな
くなり、伝導帯電子および価電子帯正孔の存在確率を一つのフェルミ-ディラック分布
関数で表わすことはできなくなり、伝導帯電子および価電子帯正孔に対して各々
別々の分布関数を定義する必要がある。そこで、伝導帯電子に対するフェルミ・レベ
ルを EFc、価電子帯正孔に対するフェルミ・レベルを EFv とし、これらを擬フェルミ・レ
ベル(quasi-Fermi level)と呼ぶ。
伝導帯電子に
伝導帯電子分布
対する分布関数
E
E
E
価電子帯電子に
対する分布関数
ρc(E)
EFc
Ec
価電子帯
正孔分布
Ec
価電子帯
電子分布
Eg
Ev
ρv(E)
ρ(E)
0
状態密度関数
Ev
EFv
0
1/2
1
f(E)
フェルミ-ディラック分布関数
0
N
伝導帯および価電子帯の
電子分布
pn接合界面における電子密度分布
J点
電
子
の
エ
ネ
ル
ギ
ー
E
n
Ec
EF
p
Eg
Ev
E
ρc(E)
正孔
ρv(E)
ρ(E)
0
熱平衡状態のバンド図
E
0
1
f(E)
電子の分布関数
pn接合(J点)での状態密度関数
N
0
電子密度の分布
(a) 熱平衡状態
電
子
の
エ
ネ
ル
ギ
ー
n
J点
p
E
E
E
伝導帯
ρc(E)
EFc
Ec
EFv
Vb = (EFc − EFv) / e
順バイアス時のバンド図
Eg
Ev
0
価電子帯
反転分布
ρv(E)
正孔
ρ(E)
pn接合(J点)での状態密度関数
(b) 反転分布
0
1
電子の分布関数
f(E)
0
N
電子密度の分布
半導体における発光遷移
E
伝導帯電子分布
バンド間遷移による発光スペクトルは、
伝導帯電子および価電子帯正孔の分
布を反映する
バンドテイル
E2
自
然
放
出
光
強
度
Ec
hν = E2− E1
hν
hν
Ev
E1
価電子帯正孔分布
N
0
バンド間遷移による発光
Eg
光子エネルギー(hν)
自然放出光スペクトル
練習問題
問1. 真空中の電子は光と相互作用可能か?
それを考えるには、真空中の電子のエネルギー分散関係と光(フォトン)の
エネルギー分散関係を比較してみること。
まず、真空中の電子のエネルギー分散関係( E-k 曲線)を図にしてみよう。
そこに、フォトンのエネルギー分散関係を重ねて比較してみよう。
真空中の電子のエネルギー分散関係 (E – k 関係)は、
 2k 2
E k  
2m
m: 真空中の電子の質量(半導体中の場合は、有効質量で
考えればよい。)
フォトンのエネルギー E = hν, フォトンの運動量 p = hν/c
半導体材料の光吸収
105
T = 300K
伝導帯電子分布
Si
光吸収係数: α (cm-1)
E
E2
Ec
hν
hν = E2− E1
104
In0.53Ga0.47As
GaAs
InP
Ge
103
Ev
E1
102
価電子帯正孔分布
N
0
バンド間遷移による光吸収
0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6
波長: λ (μm)
主な半導体材料の光吸収係数
半導体pn接合への光照射
p型領域
電子
正孔
n型領域
−
+
p型領域
−
+
光
光
光起電力: Vph
光
Vph
n型領域
Iph: 光電流
Vb
伝導帯
フェルミ
レベル
価電子帯
Vph: 光照射によって生じる電圧(光起電力)
光
Vb: 逆バイアス電圧
伝導帯
フェルミ
レベル
価電子帯
光照射による光起電力
逆バイアスを印加して光照射
太陽電池(solar cell, photovoltaic cell)
光検出器(photo diode, APD)
光検出器
PINフォトダイオード(PIN-PD)
逆バイアスされた半導体pin接合の
i層に光を照射し、光電流を取り出す
p電極
光
SiNx 反射防止膜
Zn拡散による
p+-InP領域
p+-InP層
−
+
光 Iph: 光電流
n−-InP
ウインドウ層
Vb
i-InGaAs光吸収層
光
n+-InP層
電子
正孔
i-InGaAs −
n -InP層
光吸収層
Vb: 逆バイアス電圧
伝導帯
フェルミ
レベル
n+-InP基板
n電極
価電子帯
InGaAs系 PIN-PDの構造
PIN-PDの動作原理
光検出器
逆バイアスされたpn接合に光が照射されると強度に比例した光電流が取り出せる
逆バイアス
電極
i
10-4
p+
出力信号
n+
光電流
電極
逆バイアス
暗電流: Id (A), 光電流: Iph (A)
光信号
光電流 Iph
10-6
10-8
暗電流 Id
+75℃
+50℃
+25℃
0℃
-25℃
10-10
10-12
光
出力信号
光電流
受光回路
0
20
40
逆方向印加電圧 (V)
PIN-PDの電圧-電流特性
60
光検出器
アバランシェフォトダイオード(APD)
p電極
光
SiNx 反射防止膜
電子
正孔
InP増倍層 i-InGaAs
光吸収層 p+-InP層
n -InP層
アバランシェ効果により、光電流を増倍
するしくみを有している (高感度)
−
+
p+-InP受光領域
光 Iph: 光電流
n-InP
キャップ層
InP増倍領域
Vb
Vb: 逆バイアス電圧
i-InGaAs光吸収層
n+-InP層
n+-InP基板
n電極
InGaAs系 APDの構造
光
APDの動作原理
伝導帯
フェルミ
レベル
価電子帯
光検出器
アバランシェフォトダイオード(APD)
10
GB積～40GHz
10-2
10-4
M=1
遮断周波数: fc (GHz)
暗電流: Id (A), 光電流: Iph (A)
アバランシェ降伏(Avalanche breakdown)または雪崩降伏とは、自由電子が電界で
加速され衝突電離を引き起こす過程が繰り返し発生することで、大電流が流れる現象
光電流 Iph
10-6
10-8
暗電流 Id
10-10
降伏電圧 VB
10-12
0
20
40
60
逆方向印加電圧 (V)
APDの電圧-電流特性
80
1
0.1
1
5
10
増倍率 M
APDの高周波特性
50
100
半導体発光素子
電界印加によって得られる発光をエレクトロルミネセンス（Electroluminescence：EL）
と呼び、電流(電子と正孔)を注入して発光させる注入型と、電界によって加速した電
子が何らかの発光中心に衝突し、その発光中心が励起されて発光する真性とに区
別される。注入型としては発光ダイオード(Light Emitting Diode: LED)がある。
発光ダイオード(Light Emitting Diode: LED)
無機半導体
波長帯(色)
近赤外
赤色
橙色
黄色
緑色
青色
紫色
紫外
白色
用途
通信
表示
表示
表示
表示
表示
表示
特殊
照明
材料
InGaAsP, AlGaAs
AlGaAs, GaAsP
GaAsP, AlGaInP, InGaN, GaN , AlGaN
GaAsP, AlGaInP, InGaN , GaN , AlGaN
AlGaInP, InGaN , GaN , AlGaN, GaP
InGaN , GaN , AlGaN, ZnSe, ZnO
InGaN , GaN , AlGaN, ZnSe, ZnO
InGaN , GaN , AlGaN, ZnO, ダイヤモンド (C)
青または紫外のLEDと白色蛍光体との組み合わせ
有機半導体
有機ELなどとして、ディスプレイなどに使われ始めている
発光ダイオード(LED)
発光ダイオード(Light Emitting Diode: LED)
n
電子の拡散長
EFc
発光再結合
eVb
ホールの拡散長
青色LEDの外観
p
EFv
LEDの構造
半導体レーザー
半導体レーザー (Laser Diode: LD)
光共振器を有しており、光の誘導放出を利用して発振動作する
特徴: ・コンパクト (チップ本体は0.3mm角程度)
・取り扱い容易 (乾電池2本程度で動作可能)
・直接変調で数Gbpsの高速変調が可能
・高信頼性 (通信用のInGaAsPレーザは100万時間以上の寿命に)
・安価 (FTTH用LDはチップコストで数百円、CD用LDは数十円に)
Blu-ray用
青紫色LD
(三洋)
へき開面(鏡面)
LDチップの構造
出展: www.phlab.ecl.ntt.co.jp/master/04_module/002.html
光通信用バタフライモジュール
二重ヘテロ接合活性層
pn接合ダイオードに順方向に
電流注入すると、電子は p型
領域に、正孔は n型領域に
各々拡散していくが、それら
キャリヤの拡散長は数 μmあ
り、pn接合界面を挟んで数
μm程度の広い領域で発光再
結合が起こる。従ってホモ接
合では、キャリヤ密度が低い
ために効果的な発光再結合
は得にくい。
一般的なLDの活性層は、二
重ヘテロ(Double-hetero)構
造によってキャリヤ(電子と正
孔)および光を活性層に効果
的に閉じ込め、高いキャリヤ
密度により高い発光再結合
効率を実現している。
n型
電
子
の
エ
ネ
ル
ギ
ー
電
子
の
エ
ネ
ル
ギ
ー
(a) 構造
p型
活性層
n
EF
(b) 熱平衡状態
p
n
EFc
p
発光再結合
(c) 順バイアス時
EFv
光の強度分布
屈
折
率
(d) 屈折率分布
半導体量子井戸
活性層の厚さを電子のド・ブロイ波長（数nm）程度まで
第三準位
薄くすると、キャリヤが狭い領域に閉じこめられるため、
状態密度が離散化される。これを量子サイズ効果と呼
第二準位
ぶ。電子および正孔の波動関数およびエネルギー準
位も量子化される。このような構造を半導体量子井戸
第一準位
(Quantum Well: QW)構造と呼ぶ
各量子準位の波動関数
InGaAsP
量子井戸
p-InP
n-InP
InGaAsP
n-InP 量子井戸
p-InP
電子
階段状
ρ(E)
正孔
量子井戸構造
バンド構造
状態密度
キャリヤ閉じ込めの次元と状態密度との関係
p-InP
p-InP
p-InP
bulk InGaAsP
QW
n-InP
バルク活性層
E
ρc(E)
p-InP
QWire
QD
n-InP
n-InP
n-InP
量子井戸活性層
量子細線活性層
量子ドット活性層
E
ρc(E)
E
E
ρc(E)
ρc(E)
階段状
放物線状
ρv(E)
0
ρv(E)
ρv(E)
ρ(E) 0
線状
鋸歯状
ρ(E) 0
状態密度関数
ρv(E)
ρ(E) 0
ρ(E)
多重量子井戸(MQW)活性層
p-InP
MQW活性層
活性層
MQW
n-InP
MQW活性層構造
n-InP
InGaAs/
InGaAsP
MQW
MQW活性層の断面SEM写真
E
p-InP
電子
ρ(E)
EF
軽い正孔重い正孔
バンド構造
状態密度
歪量子井戸とは
通常エピタキシャル成長では、基板の格子定数に成長させる物質の格子定数を合わ
せて結晶成長を行う。例) (100)InP基板 (格子定数: Λ=5.869Å)にIn0.53Ga0.47Asなど。
エピタキシャル
成長層 (In0.53Ga0.47As)
InP 基板
Λ
歪量子井戸とは、基板とは僅かに異なる格子
定数の材料を成長させて、格子歪を導入
In0.53Ga0.47As
エピタキシャル
成長層 (In0.6Ga0.4As)
InP 基板
Λ
Ⅲ-Ⅴ族化合物半導体の格子定数
格子歪による半導体バンド構造の変化
S. L. Chuang, Phys. Rev. B 43, 9649 (1991)
z
y
x
格子歪による In1-xGaxAs バンド構造の変化
歪量子井戸活性層
量子井戸活性層に格子歪を導入することにより、(特に価電子帯の)状態密度関数を
望ましい形に設計することが可能。
1. 面内(2軸性)圧縮歪を導入した(x < 0.468)場合
価電子帯では、Γ点での重い正孔と軽い正孔のエネルギー縮退が解けて分裂す
る。その結果、伝導帯と重い正孔のバンド間での遷移が支配的となる。エネル
ギー縮退が解けることにより、バンド混合の効果が緩和されて、 Γ点付近での重
い正孔の有効質量が小さくなる。その結果、僅かに正孔を注入すれば反転分布
が得られるようになる。従って、発振閾値の低いLDを実現するには好都合。
2. 面内(2軸性)引っ張り歪を導入した(x > 0.468)場合
価電子帯では、 Γ点での重い正孔と軽い正孔のエネルギー縮退が解けて分裂す
る。その結果、伝導帯と軽い正孔のバンド間での遷移が支配的となる。伝導帯と
軽い正孔のバンド間での遷移は、活性層に垂直な電場成分を有する(TM-like
モードの)光と相互作用をするため、TM-likeモードの光に対して光学利得を有す
る。TEとTMの両方の光に対して増幅を行いたい光増幅器などに用いられる。
このように、本来の材料の有する物性(バンド構造)を造り替えて、好ましい状態密度
関数の形に自由にデザインする技術をバンドエンジニアリングという。量子井戸、超
格子、歪量子井戸などはその典型である。
バンドエンジニアリングは、現代の科学的な錬金術である !!
半導体レーザの発振条件
利得条件
光共振器を光が往復した時、元の光強度と同じになる条件
2 g  L
1
つまり、 R f Rr e
位相条件(共振条件)
光共振器を光が往復した時、光電場の位相が一致する条件
つまり、 2L   f  r  2q
反射率: Rr
光出力
1−Rr
q は自然数, β は半導体内での光の伝搬定数
ϕf , ϕr は端面反射による位相回転
光増幅利得: g cm-1
光出力
1−Rf
光吸収係数: α
共振器長: L
cm-1
反射率: Rf
半導体レーザの光共振器構造
Fabry-Perot (FP)共振器レーザー
2枚の平行に向き合った鏡によるFP型光共振器
によって正帰還が得られ発振するレーザー
発振波長間隔
 
20
縦多モード発振
Δλ
2neff L
λ0 : 発振波長の中心値
neff : 実効屈折率
L : 素子長
λ0
発振スペクトル

へき開面(鏡面)
FPレーザーの構造
回折格子
分布帰還(DFB)型レーザー
回折格子によるBragg反射により、光の分布帰還
が得られ、 Bragg波長近傍の単一波長で発振
発振波長
単一縦モード発振
  2neff 
Λ : 回折格子の周期
neff : 実効屈折率
発振スペクトル

DFBレーザーの構造
出展: www.matsuoka-lab.imr.tohoku.ac.jp/purposes.html
半導体レーザの光共振器構造
半導体レーザの各種光共振器構造
へき開面
へき開面
反射防止膜
反射防止膜
活性層
光出力
光出力
光出力
活性層
光出力
回折格子
FP型
λ/4位相シフト
DFB型
光出力
反射防止膜
DBR反射鏡
反射防止膜
活性層
活性領域
光出力
光出力
回折格子
VCSEL型
DBR型
半導体レーザの発振特性
0 10 20 40
60 80
100℃
15
光出力 (mW)
120℃
10
5
0
0
50
100
150
注入電流 (mA)
1.3μm InGaAsP MQW FPレーザの電流-光出力(L-I)特性
半導体レーザの発振特性
発振状態
1302
光強度 (10dB/div)
光強度 (10dB/div)
1.3μm InGaAsP MQWレーザの発振スペクトル
1312
波長 (nm)
FPレーザ
1322
発振状態
(SMSR= 50dB)
1298
1308
波長 (nm)
DFBレーザ
1318
半導体レーザの発振特性
光出射特性
y
x
z
レーザビーム
基板平行方向光強度分布
y
-θ
0
+θ
-θ
基板垂直方向
0
基板平行方向
(a) FFP
x
+θ
基板垂直方向光強度分布
(b) NFP
光変調特性
光信号
光
出
力
Ith
Ib
電流
変調信号(電気)
規格化変調光強度 (3dB/div)
半導体レーザの駆動電流に変調信号を重畳し、直接光出力を変調する方式を直接変調
と呼ぶ。
Ib=1.04 Ith1.10 Ith 1.23 I
th
1.37 Ith
0
2
4
6
1.64 Ith
8
変調周波数: f (GHz)
小信号変調応答周波数特性
半導体レーザの電流-光出力(I-L)特性
10
光変調特性
大信号変調特性
I
注
入
電
流
Ib + Ip
Ith
Ib
t
(a)
活
性
層
内
キ
ャ
リ
ヤ
密
度
n
キャリヤ寿命時間 τs での減衰
nth
nb
t
(b)
S
光
子
密
度
振動周期はほぼ 1/fr
Sop
0
t
(c)
通信用途以外での半導体レーザ
世界初、発振波長530nm帯で100mW以上の光出力を有する純緑色
半導体レーザーを開発
～従来の窒化ガリウム系緑色レーザーに比べて、約2倍の高輝度を実現～
住友電気工業株式会社
ソニー株式会社
2012年６月21日プレスリリース
http://www.sony.co.jp/SonyInfo/News/Press/201206/12-0621/
光増幅器
半導体光増幅器(Semiconductor optical amplifier: SOA)
半導体レーザーの両端面に無反射膜
を形成するなどして、光共振器をなく
したもの (光の正帰還がかからなくな
るのでレーザー発振はしない)
無反射加工
無反射加工
半導体レーザーチップ
特徴
・小型で高効率
・電流注入により光増幅
・光増幅利得 ~ 20dB
・増幅波長帯域 30 ~ 40nm
・自然放出光雑音大
・偏光依存性有り
通信用SOAモジュール
光増幅器
光ファイバー増幅器(Optical fiber amplifier)
Er添加光ファイバー増幅器
コアに、エルビウム（Er3+）などの希土類を添加
波長980 nmや1480 nmなどの光で励起すると
波長1.54 μm付近に光増幅利得発生
Er3+の準位
特徴
・光増幅利得 ~ 30dB
・増幅波長帯域 ~ 30nm
・自然放出光雑音小
・偏光依存性無
・光励起
・低効率
光ファイバー増幅器の構成
市販の光ファイバー増幅器
光増幅器
ラマン増幅器(Raman Amplifier)
光ファイバーに非常に強い励起光を入射すると、石英ガラスの分子振動エネルギー
に対応して、誘導ラマン散乱(Stimulated Raman Scattering: SRS)が生じ、励起光
波長より100 nm程度長い波長域に光学利得が得られる。
信号光増幅
中間状態
(仮想準位)
反転分布
励起光
特徴
・励起光波長を選べば、任意の波長で
増幅が可能
・偏光依存性無
・光励起、低効率
励起状態
物質固有の振動エネルギー
基底状態
SRSによる光増幅原理
光ファイバーラマン増幅器の構成
波長可変レーザ
波長多重伝送やフォトニックネットワークでは、発振波長を自由に変えられる波長可変
レーザが望まれる。波長可変レーザは、光増幅器と波長選択素子とで構成できる。
コリメートレンズ
回折格子
半導体光増幅器
回折格子による機械式波長可変レーザの構成
マイクロヒーター
SOA
リング共振器
Si細線導波路
スポットサイズ
変換
リング共振器による熱光学式波長可変レーザ
光変調器
光通信において、半導体レーザーなどは直接変調が可能であるが、直接変調を行え
ない光源(ガスレーザーや固体レーザーなど)には、外部で光変調を行うための光変
調器がある。
光変調には、
光の強度を変調する光強度変調器
1
アナログ変調
0
1
0
デジタル (バイナリ)変調
光の位相を変調する光位相変調器
0
アナログ変調
1
0
デジタル (バイナリ)変調
光変調器
電界吸収(EA)型光強度変調器
化合物半導体などのpn接合に逆バイアスを印加すると、
印加電界によって光吸収特性が変化(フランツ・ケル
ディッシュ効果、量子閉じ込めシュタルク効果)し、これを
利用して光の強度変調を行うもの。
40GbpsEA変調器(沖電気)
Franz–Keldysh effectの説明
quantum-confined Stark effect(QCSE)の説明
光変調器
ニオブ酸リチウム(lithium niobate: LN) によるMZI型光強度変調器
ニオブ酸リチウム(LiNbO３)は、電圧を印加すると屈折率が変化する電気光学
(E-O)効果(Pockels effect)を有している。従って、 LNによる光導波路では、伝
搬光の位相変調が可能。LNによる光導波路によってMach-Zehnder(MZ)型の
光干渉計を構成し、光の位相変化を強度変化に変換し光強度変調も行える。
光の位相を変調
LN光導波路
電極
強度変調された出射光
M-Z干渉計
入射光
LN光変調器の原理
LiNbO３（ＬＮ）光変調器
(住友大阪セメント)
光変調器
LN光変調器の構造
住友大阪セメント(株)の資料より
光分岐(光スプリッター)
Y分岐
0次モード
1次偶モードのみ
選択的に励振される
出射光
入射光
断熱的モード変換部
出射光
MMI(multi-mode interference)カプラー型分岐
多モード干渉導波路
入射光
出射光
光分岐(光スプリッター)
光方向性結合器
0次モード
1次偶モードのみ
選択的に励振される
出射光
上に比べてπ/2だけ
位相が遅れて出射
入射光
方向性結合器
完全結合長
出射光
P=
P×
完全結合長
分岐比が50:50になる
P=
結合導波路長: L
奇モード偶モード
方向性結合器の動作
P×
結合導波路長: L
光合分波器
波長多重光伝送においては、異なる波長の光搬送波を1本の光ファイバーを用いて
伝送する。従って、異なる波長の光を束ねる(合波器)と、光を波長によって分ける (分
光器あるいは分波器)が不可欠。
Arrayed Waveguide Grating
クラッド
この一本一本が
コア
このような光導
波路からなる
0.5 m
0.5 m
Si 基板
石英光導波路
50 mm
Arrayed Waveguide Grating (AWG)
スラブ
導波路   
12
N
AWGの動作原理
導波路の波長分散を利用
光合分波器
波長によって導波路を伝搬する光の速度が異なる
λ21
光分波特性
NTTエレクトロニクス社製品
光スイッチ
電気制御-光スイッチ (光の経路を切り換えるが、ON-OFFの制御は電気で行う)
スイッチング機構
特徴
出力ファイバー
メカニカル
(MEMS)
Port1
Port2
入力ファイバー
入力1
熱光学(T-O)効果
電気光学(E-O)効果
出力1
mS～Sオーダーの切換え速度
比較的安価
ヒーター
入力2
+
mSオーダーの遅い切換え速度
安価
出力2
-
電界印加
nSオーダーの高速切換え
高価
その他に、磁気光学(M-O)型、音響光学(A-O)型などもある
光制御-光スイッチ (光-光スイッチ or All光スイッチ)
ON-OFF制御も光でやる
現在研究開発中将来のフォトニックネットワークや全光信号処理システムに
使われるかも?
Si細線導波路による熱光学(T-O)光スイッチ
マイクロヒーター
チップサイズは僅か1.4 mm×2 mm
電極
1.4 mm
Port1
Port2
Si細線導波路
Transmission (dB)
MZ型Si細線導波路光スイッチ素子
2 mm
-20
-30
-40
250 m
Port 1
Port 2
0
50
100
150
Heating power (mW)
スイッチング特性
Port8
200
1×8光スイッチの写真
T. Chu et al., Optics Express 13, 10109 (2005)
T. Chu et al., Proc. SPIE 6477 (2007)
光アイソレーター
通信用デバイスでは、戻り光が様々な悪影響を及ぼすことがある。従って、それを
除去する光アイソレーターが必要。磁気光学素子と偏光子により、光を一方向にの
み通過させる素子を光相反素子または光アイソレーターと呼ぶ。
光アイソレーターの原理
各種光アイソレーター
住友金属鉱山(株)HPより
分散補償素子
光ファイバーや通信用光デバイスの中では、波長によって光の伝搬速度が異なる
ために、光信号波形が乱されることがある。波長によって光の伝搬速度がことなる
現象を chromatic dispersion と呼ぶ。これを補償する素子が分散補償素子である。
分散補償素子
光ファイバーを用いたもの
分散補償光ファイバー(dispersion compensation fiber: DCF)
通常の光ファイバーとは逆の分散特性を有する光ファイバー
AWGとSLM(空間位相変調器)を
用いたもの
SLMとしては液晶による光位相
変調器LCOSを使用
LCOS: Liquid Crystal on Silicon
大庭他、NTT技術ジャーナル2010.2
光ヘテロダイン検波
コヒーレント光伝送方式では、光ヘテロダイン/ホモダイン検波などの光検波方式が
用いられる
合波器(BS)
信号光
fS
受光器(PD)
IFアンプ/
フィルター
fIF=fS-fLO
ベースバンド
復調器
局部発振光
fLO
周波数弁別器
LD
光ヘテロダイン検波回路のブロック図
信号光は局部発振光と混合(合波)されて共に受光器(PD)に入る。従って信号光の
電界の位相情報がPDの検波出力電流に保存される。
通常、LDの発振波長(周波数)は揺らいでいるため、LDからの局部発振光と信号
光との周波数差(中間周波数)をモニターし、局部発振LDの駆動電流にフィードバッ
クをかけることにより、局部発振光LDの発振波長を信号光にロックする光PLLなど
の手法が用いられる
デジタルコヒーレント光伝送
デジタルコヒーレント方式の概要
出典: 信学会誌H24年１２月、号総合報告
フォトニックネットワーク
光リンクを流れる光信号を一旦電気に変換することなく、光のまま交換する
次世代の光ネットワーク
- Optical Add/Drop Multiplexer(OADM)
OADM
- Optical Cross Connect(OXC)
OADM
OXC
WDM ring NW
WDM ring NW
OADM
OADM
リング型ネットワーク
- λ-MPLS, G-MPLS
(MPLS: Multi-protocol label switching)
OPS
Mesh NW
- Optical Burst Switching(OBS)
OPS
OPS
- Optical Packet Switching(OPS)
OPS
メッシュ型ネットワーク
Optical Add/Drop Multiplexer(OADM)
波長多重化された信号の中から、ある特定波長(チャンネル)の信号のみ取り出したり、
加えたりするもの
OADM
1 ‥‥ n
OADM
OADM
WDMリングNW
OADM
OADM
WDM信号
i
i
R-OADM (Reconfigurable OADM) Add/Dropする波長を任意に設定できるもの
1 ‥‥ n
OADM
OADM
WDM信号
OADM
WDMリングNW
OADM
i
i
OADM
波長合分波器(AWG)
N×N AWG 1個で N×N波長ルーターが構成可能
SiO2 クラッド
SiO2 コア
0.5 m
λ1, λ2, λ3, …, λN
λ1, λ2, λ3, …, λN
λ1, λ2, λ3, …, λN
λ1, λ2, λ3, …, λN
λ2, λ3, λ4, …, λ1
λ3, λ4, λ5, …, λ2
λ1, λ2, λ3, …, λN
λN, λ1, λ2, …, λN-1
0.5 m
Si 基板
このような石英光導
波路からなるAWG
シリコン光導波路を用いれば、
極微小なAWGが実現可能
50 m
大きさ1/1000
50 mm
Arrayed Waveguide Grating (AWG)
Si細線光導波路によるAWG
四光波混合による40Gb/s波長変換
Y.-H. Kuo et al., Optics Express 14, 11721 (2006)
逆バイアスされた 8cm長 SOI pin リブ導波路による40G波長変換
波長変換効率: -8.6dB
Pump power: 450 mW
40Gbps NRZ波長変換実験系
波長変換出力スペクトル
40Gbps Eye Diagram
左: 入力信号
右: 波長変換出力信号
光による符合ラベル処理
グレーティング光ファイバーを用いる方式
1 4 3 2
2 1 3 4
データ
データ
データ
t
波長ラベル
波長ラベル
2
3
4
1
サキュレータ
グレーティング光ファイバー
グレーティングパターンとラベルが一致した場合
一致しないと
データ
データ
データ
t
光バッファ
1. 光遅延線路と光スイッチによる
光遅延線路
光遅延線路
光遅延線路
光スイッチ
光スイッチ
光スイッチ
2. Slow Lightによる
電磁誘導透過 EIT: Electromagnetically Induced Transparency
0.9μK(約−273℃) ナトリウム
300,000km/s → 28m/s
70～90K(-203～-183℃)
ルビジウムRb
300,000km/s → 1km/s
|3>
|1>
|2>
レポート課題
以下の問いのいずれかについて、A4レポート用紙5頁(両面可)以上(図なども
含む)で述べよ。また、講義に関するご意見や感想も歓迎します。
1. 1個の電子が電磁場中に存在する場合のHamiltonianを導け。また、摂動
法に基づき、電子と電磁場との相互作用が弱い場合の相互作用
Hamiltonianを導け。
2. 物質が発光するメカニズムに関して理論的に述べよ。また、物質の発光遷
移確率を与える式を導け。(ヒント: フェルミの黄金律の式を導き、それに電
磁場の状態密度などを考慮して求める。)
3. 半導体レーザなどの発光素子の特性を向上させるための方法がいつくか
考えられるが、それらの方法について理論的に述べよ。
4. その他: 上記の問題が全く分からない方は、評価は低くなりますが、私の講
義(全6回)で学んだことを、感想などを含めて述べて下さい。
提出〆切: 8月7日(木)17:00
提出先: 私のメールボックスまたは研究室(青葉山電気系2号館2階202号室)

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