カルバック情報量の分割による
特異モデルの学習係数の
計算アルゴリズム
永田賢二 渡辺澄夫
東京工業大学工学部情報工学科
東京工業大学精密工学研究所
1
(w)
背景
順問題
q(x)
X 1 , X 2 ,, X n
逆問題
?
p ( x | w)
p ( x | w)
X 1 , X 2 ,, X n
p ( x | w)
2
背景
統計的正則モデル
順問題について解明されている
⇒ＡＩＣ，ＢＩＣ，ＭＤＬなど
特異モデル
未だ順問題が解明されていない
⇒モデル選択のアルゴリズムが
確立されていない
3
目的
特異モデルの順問題について、
カルバック情報量を分割することにより、
確率的複雑さを分解する方法を提案
その有効性をいくつかの実験により検証
4
(w)
ベイズ学習
q(x)
X n ( X 1 , X 2 ,, X n )
p ( x | w)
n
1
n
p
(
w
|
X
)
( w) p( X i | w)
事後分布：
n
Z(X )
i 1
ベイズ予測分布： p ( x | X )
n
p( x | w) p(w | X
n
)dw
予測分布と真の分布の違いは、サンプルが増え
るにつれて、どのような早さで小さくなってゆくか
5
カルバック情報量
カルバック情報量
q ( x)
H ( w) q( x) log
dx
p( x | w)
汎化誤差
q ( x)
G(n) E X n [ q( x) log
dx]
n
p( x | X )
1
o( ) （ ：学習係数）
n
n
6
学習係数の特徴
（１） ( ) は、ゼータ関数
( z ) H ( w) ( w)dw
z
の最も原点に近い極に等しい。
（２）
lim
n
log exp( nH ( w)) ( w)dw
log n
log( V (t ) / V (t ))
（３） lim
t0
log
（ V (t )
H ( w )t
( w)dw ）
7
提案方法と基礎定理
提案方法
H (w) H1 (w) H 2 (w)
?
1は既知数
定理
1 lim
n
log exp( nH 2 ( w)) n ( w)dw
log n
[ n (w) exp( nH1 (w)) ( w)]
8
定理の証明
Z (n) exp( nH ( w)) ( w)dw
exp( nH1 ( w)) exp( nH 2 ( w)) ( w)dw
exp( nH ( w)) exp( nH ( w)) ( w)dw
exp( nH ( w)) ( w)dw
exp( nH (w)) (w)dw
2
1
1
1
exp( nH1 ( w)) ( w)dw exp( nH 2 ( w)) n ( w)dw
log exp( nH 2 ( w)) n ( w)dw
log Z (n)
lim
1 lim
n
n
log n
log n
9
計算アルゴリズム
１、n として幾つかの値を設定する。
２、 n (w) に従うサンプル {wk : k 1,2,, K } を取り出す
⇒メトロポリス法
1
y
(
n
)
log{
３、
K
K
exp( nH
k 1
2
( wk ))} を計算する。
４、幾つかの n について組み合わせ (log n, y (n)) を求めて
回帰曲線 y 2 x b を最小二乗法で当てはめることにより
2 を求める。
５、 1 2 を目的の値とする。
10
メトロポリス法
n (w) exp( nH1 (w)) (w) exp( Hˆ (w)) とする
１、 w の初期値を設定する。
２、 w' w （乱数）により、 w'を得る。
３、①
②
Hˆ ( w) Hˆ ( w' ) w' を採択
Hˆ ( w) Hˆ ( w' ) 確率 P で w'を採択し
確率 1 P で w を採択
[ P exp( nHˆ ( w' ) nHˆ ( w))]
４、１の手続きに戻る。
11
実験（１）
<条件>
H (a, b, c, d ) H1 (a, b, c, d ) H 2 (a, b, c, d )
H1 (a, b, c, d ) (ab cd ) 2
H 2 (a, b, c, d ) (ab3 cd 3 ) 2
<理論値>
2 / 3, 1 1 / 2
2 1 / 6 0.1666
<結果>
y 0.1358 log n 0.2821
12
実験（2）
<条件>
H (a, b, c, d ) H1 (a, b, c, d ) H 2 (a, b, c, d )
H1 (a, b, c, d ) (ab cd ) 2 1 / n(ab3 cd 3 ) 2
H 2 (a, b, c, d ) (1 1 / n)( ab3 cd 3 ) 2
<理論値>
2 / 3, 1 1 / 2
2 1 / 6 0.1666
<結果>
y 0.1325 log n 0.3385
13
実験（3）
<条件>
H (a, b, c, d , e, f ) H1 (a, b, c, d , e, f ) H 2 (a, b, c, d , e, f )
H1 (a, b, c, d , e, f ) (ab cd ef ) 2
H 2 (a, b, c, d , e, f ) (ab3 cd 3 ef 3 ) 2 (ab5 cd 5 ef 5 ) 2
<理論値>
5 / 6, 1 1 / 2
2 1 / 3 0.3333
<結果>
y 0.2817 log n 0.5071
14
考察
H (w) を分割せずに を計算する方法
f (t ) log exp( ntH ( w)) ( w)dw
df
f (1)
dt
0 dt
1
nH ( w) exp( ntH ( w)) ( w)dw
dt
exp( ntH (w)) (w)dw
1
0
確率分布 exp( ntH ( w)) による nH (w) の平均値
15
考察
分割しないと・・・
あるｎに対してｔについての
積分区間[0,1]を細かく分割
分割すると・・・
あるｎに対して一回のＭＣＭＣ法
分割すると演算量が遥かに少ない！
16
改善案
新たな計算法
g (t ) log exp( ntH 2 ( w)) n ( w)dw とすると
1 dg
g (1)
dt
0 dt
nH 2 ( w) exp( ntH 2 ( w)) n ( w)dw
1
dt
0
exp( ntH 2 (w)) n (w)dw
確率分布 exp( ntH2 ( w)) n ( w) による nH 2 (w)の
平均値を 2 とし、
1 2 により目的の値を計算
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結論
カルバック情報量を分割して、学習係数を
計算するアルゴリズムを提案し、その有効
性を実験的に確認
今後の課題として、より正確な学習係数が
求められるようなカルバック情報量の分割
の仕方の最適化の問題がある。
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