Periodic solution of van der Pol
differential equation.
Seminar at Kitami Institute of
Technology
January 8, 2009,
By Akio Arimoto (武蔵工業大学）
van der Pol Equation
w  2 w 1  w   w  0
2
0   1
w  w t 
dw  t 
w
dt
概略
1. Van der Pol の微分方程式
w  2 w 1  w   w  0
2
がリミットサイクルをもつということ
２．微分方程式から導かれる積分方程式
（いくつかの基本公式）
 0
３． 周期解の様子
（円、半径が決まってくる）

lim w  t ,    w  t ,  
 0
2
４．周期     2
2
4
     0
簡単な例   0
w w  0
dw
w
dt
d 2w
w 2
dt
両辺に
w
をかけると
ww  ww  0

w w c0
2
2
相空間  w, w で円をなす
両辺に w
を掛ける
ww  2 w 1  w   ww  0
2
2

t
w  t   w  t   4  w  s  1  w2  s  ds  c
2
2
2
0
Limit Cycle の存在の可能性
行列形式
W  AW  2 
 w
W  
 w
 0 1
A

 1  
 0 

2
 ww 
解の積分方程式
t
W  t   e W  0   2  e
At
0
0


 s  

2
 w s w s 
A t  s 
  s ds
0 1
A


1
2



のスペクトル表現
A  rP1  rP2
I  P1  P2
r    i 1  2
PP
1 2  P2 P1  0


1
rt
rt
rt
rt
e  e P1  e P2 
e  e  A   re  re 

r r
At
rt
rt
基本行列のスペクトル表現
sin  t 
 sin  t
e e 
A  cos  t  

 
 
At
t
0 1
A


1
2



  1  2
Theorem 1.2

 IS t   
e W  t   U  t    W  0   2 




I
t


C



 t
t
I S  t    e  s
0
t
sin  s

w  s  w2  s ds
I C  t    e  s cos  s w  s  w2  s  ds
0
 w t  
W t   

w
t
  
定理１．２からの帰結（１）
• 2つの時点 t1 , t 2 の関係
e
 t2
Ut2 W  t2   e Ut1 W t1 
 t1
 2 
t2
t1
0


e Us 
 ds
2
 w s w  s 
 s
定理１．２からの帰結（２）
• 初期時点を
e
t0
U t t0 W  t   W  t0 
  t t0 
 2 
t  t0
0
 sin  s 
e  s    w  s  t0  w2  s  t0  ds


 cos  s 
Theorem1.2 の証明(1)
t
W  t   e AtW  0   2  e
A t  s 
  s ds
0
sin  t 

e W  t   U t  
W  0 
 

 t
t
2  e
0
 s
0
sin   t  s  


U t  s  

 ds
2


 w s w  s 
Theorem1.2 の証明(2)

cos  t

U t  U t   

  sin  t
sin  t 
 

cos  t 
UtU s  Ut  s
U  t   U t  
U0  I
sin  t


1 0 




1


Ｔｈｅｏｒｅｍ１．３
 IS  
W  0   2 
0
 IC    
1 0 


  1
Ｔｈｅｏｒｅｍ１．３の証明
 IS t  
e U t   W  t   W  0   2 

 IC  t  
 t
t 
 IS  
W  0   2 
0
 IC    
Theorem1.4 周期条件
W t     W t 
 0
 I S  t       I S  t   
 
2 
  e U 
    e U   I  W  0 
 I C  t    
 I C  t   
Ｔｈｅｏｒｅｍ１．５ 周期条件
W t     W t 
 0
 I S   
 e U  1 W  0   2  I   
 C

 
Ｔｈｅｏｒｅｍ１．６周期条件
W t     W t 
 0
 I S  t       I S  t    I S   

  e U 


 IC  t    
 I C  t    I C   
w  2 w 1  w   w  0
2
に同等な積分方程式
 
sin  t 
sin  t 
w  t ,    e   cos  t  


 
 
 
t
t
2  e
0
  w  0,  
 t  s 
sin   t  s  2
w  s,   w  s,   ds


  w  0,  
  1  2
同等な積分方程式
 sin  t
sin  t  

w  t ,    e 
   cos  t  


 


t
t
 t  s 
2  e
0
sin   t  s   2

 cos   t  s   
  w  s,   w  s,    ds



  w  0,  
  w  0,  
  1  2
w t   ,    w t,  
周期条件
    
 
 
  e   cos   

2  e
0
   s 
sin  
sin  




 
 
sin    s 

  w  0,  
 w  s,   w  s,   ds
2
  w  0,  
周期条件
 sin 
sin 

  e 
   cos   






   s 
2  e
0



sin    s   2

 cos    s   
  w   s,   w   s,    ds



  w  0,  
  w  0,  
 0
lim     0
 0
w  0,  
0  lim w  0,   0  lim
 0
 0
 0   0 cos 0  0 sin  0
0   0 sin  0  0 cos 0

 0  2 (mod 2n )
 e cos   1 
e sin 

     
2
2



 e
0
 s
2
sin  s

2
w
  s,   w  s,   ds
 0
2
 0   0 1   sin s  w  s  w  s  ds  0
2
0
  
1  lim
 0 
 0
  0   0 1 
2
2
cos
s
w
  s  w  s   ds  0

0
  
1  lim
 0 
Limit cycle から決まる円
w  t   0 cos t  0 sin t
w  t   0 sin t  0 cos t
lim w  t ,    w  t 
 0
 02   02  4
•
w  w  0 の解は任意の半径を持つ円
Limit cycle の様子

lim w  t ,    w  t ,  
 0
2
    2  o  
2
4
Another Aproach
1
2
x   1  x  x  x  0
2
 0
dx
x
dt
d 2x
x 2
dt
xx  2 1  x
2
x
2
 xx  0
x  x  4  1  x x dt
2
2
2
2


is a period of the solution
 
x t   x  0  x t   x  0
2
2
2
2

t
0



0   1  x  s  x  s ds
0
2
2


 4  1  x  s  x 2  s ds
2
  2
 0
x  t   x0  t   0 cos t  0 sin t
2
0
 1  x  s 
0
0
2
x
0
2
 s ds
2
0
 1  
0
cos t   0 sin t 
2
   sin t   cos t  dt
2
0
0
  4
2
0

2
0
lim x  t   x  t 
 0
2
2
4
0

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