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Fiber Bundles and Matrix Models
伊敷吾郎（大阪大学）
arXiv: 0802.2782 [hep-th]
JHEP 0705(2007)014 [hep-th/0703021]
共同研究者
石井貴昭氏(大阪大学)
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・島崎信二氏(大阪大学)
・土屋麻人氏(大阪大学)
Motivation
■ Matrix model as nonperturbative definition
of superstring theory
IIB matrix model
BFSS Matrix model
Matrix string theory
[Ishibashi-Kawai-Kitazawa-Tsuchiya]
[Banks-Fischler-Shenker-Susskind]
[Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde]
曲った時空がどのように行列によって実現されるのか？
[Hanada-Kawai-Kimura]
行列模型による曲がった時空の記述についての知見を得たい。
■ AdS/CFT correspondence
今回の話の特別な場合
⇒ R×S3 上の N=4 SYM 理論の行列正則化（島崎氏の講演参照）
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Our results
(1) 主ファイバー束P上のYM のdimensional reduction （ファイバーG , 低空間M ）
P上のYM
M上のYM-higgs
G方向のreduction
(2) Extended matrix T-duality ( G=U(1) or SU(2) or SU(2)k×U(1)l)
YM on P = YM-higgs on M のある真空周りの理論でorbifolding を課したもの
例) S7 = SU(2) bundle on S4
S7上のYM
(1)
S4上のYM-higgs
(2)
特に、(2)でG＝U(1)の場合はBuscherのT-duality として解釈できる。
(3) CPn上の U(1) monopole 背景中のYM-higgs は、行列模型のある真空周りの理
論の可換極限で得られることを示した。(monopoles on fuzzy CPn [Dolan et al.])
我々は連続極限での、 CPn上の理論の作用とモノポール配位を具体的に導いた。
(4) : (2)+(3)より、ある行列模型の適切な真空周りの理論おいてorbifolding を課すと、
S2n+1（=U(1) on CPn）上のYM-higgs と等価であることが言える。
(Fuzzy space での monopole の構成＋extended matrix T-duality)
(5) IIB + Myers 型の作用の連続極限 ⇒ YM + Chern-Simons like term
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Plan of Talk
1. Introduction & Motivation
2. Dimensional reduction of YM on P (= G on M)
3. Extended matrix T-duality
4. Total space = SU(n+1) ( =SU(n) on S2n+1 = SU(n)×U(1) on CPn )
4-1. Dimensional reductions to S2n+1, CPn and matrix model
4-2. Fuzzy CPn, U(1) monopoles on Fuzzy CPn
4-3. YM –higgs on S2n+1 from matrix model
4-4. IIB+ Myers term
5. Summary & outlook
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Dimensional reduction of YM on P
[Ishii-G.I-Shimasaki-Tsuchiya]
YM on P (G bundle on M)
Local metric on P
Horizontal
Vertical
Local connection 1-form of P
Ex) P=S3 (U(1) on S2)
⇒
： Dirac monopole の配位
Dimensional reduction
YM-higgs theory on M
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Extended matrix T-duality for U(1) bundle
[Ishii-G.I-Shimasaki-Tsuchiya] [cf. Taylor]
M上のあるモノポール真空周りのU(N×∞) YM-higgs に
orbifolding を課したものは、P上のU(N) YM と等価である。
真空：U(1) モノポール
次の特別な真空を考える。
この真空の周りで、揺らぎにOrbifolding 条件を課す。
background + fluctuation
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場の揺らぎにOrbifolding 条件を課す
U(N×∞)行列の中に
たくさんのN×N 行列
対角方向に同一視
各パッチの上で、P上のゲージ場を定義
ファイバーがU(１)の場合、Orbifolding 条件を課した
あるmonopole 真空まわりのM上のYM-higgs は、P上のYM と等価である。
ファイバーがSU(2) ＝S3 の場合にも拡張できる。
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一般に、ファイバーがSU(2)k×U(1)l の場合にも拡張できる。
Total space = SU(n+1)
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YM on SU(n+1) = SU(n) bundle on S2n+1
ファイバーSU(n)のreduction
Horizontal
Vertical ( SU(n)方向)
YM-higgs on S2n+1=U(1) bundle on CPn
ファイバーU(1) 方向reduction
YM-higgs on CPn
Killing vector
全ての方向を reduction
[Kitazawa]
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直行するvector
fABC : structure constant
of SU(n+1)
YM on SU(n+1) = SU(n) bundle on S2n+1
For n=2 case,
extended matrix T-duality for SU(2)
YM-higgs on S2n+1=U(1) bundle on CPn
Extended matrix T-duality for U(1)
YM-higgs on CPn
Fuzzy CPn の可換極限
（任意のモノポール真空も実現できる）
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YM on SU(n+1) = SU(n) bundle on S2n+1
For n=2 case,
extended matrix T-duality for SU(2)
YM-higgs on S2n+1=U(1) bundle on CPn
Extended matrix T-duality for U(1)
YM-higgs on CPn
Fuzzy CPn の可換極限
（任意のモノポール真空も実現できる）
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組み合わせると
行列模型から
YM-higgs on S2n+1
が実現される。
Fuzzy CPn
[Grosse-Steinacker, Barachandran et al, Kitazawa]
真空
次の表現の真空を選ぶ
表現のSU(n+1) generator
可換極限は
Dim
×Dim
行列の基底
[Dolan-Huet-Murray-O’Connor]
関数の基底(CPn の球面調和関数)
YM-higgs on CPn
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New result !
U(1) monopoles on Fuzzy CPn
[Grosse et al, Dolan et al]
＝
可換極限において、上の真空周りの行列模型は、下のU(1) モノポール真空周りの
CPｎ上のYM-higgs 理論に帰着する。
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New result
任意のCPｎ上のモノポール真空が実現できる。
⇒適切な真空で orbifolding 条件をかせば、S2n+1上のYM-higgs が実現できる。
IIB + Myers項型作用の連続極限
表現（Fuzzy CPn ）
(YM-higgs on CPn )
+
S2n+1 を実現する表現＋orbifolding 条件
(YM-higgs on S2n+1)
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Chern-Simons like term
ex.) n =1 の場合, IIB+Myers → YM on S3 + Chern Simons on S3
Summary
１．ファイバーがU(1), SU(2) の場合の extended matrix T-duality
２．Fuzzy CPn の可換極限での作用の形を導いた（U(1)モノポールも実現）
３．この二つを組み合わせて、全空間がSU(n+1) のときに、
Dim.
Red.
YM on SU(n+1)
For n=2, Matrix T-duality for SU(2) bundle
(島崎氏の講演参照)
YM-higgs on S2n+1
Matrix T-duality
for U(1) bundle
YM-higgs on
Matrix model
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CPn
Fuzzy CPn の可換極限
（任意のU(1) モノポール
真空を再現できる。）
YM-higgs
on S2n+1 が
行列模型で
表わされる。
４．IIB+Myers型の作用の可換極限で得られるCPn, S2n+1上の理論の
作用の形も導いた。
Future works
◆ 弦理論における Non-abelian T-duality との関係
◆ U(n) モノポールの Fuzzy CPn 上での実現
[Grosse-Steinacker, Dolan-Huet-Murray-O’Connor]
◆ Matrix T-duality のU(n) bundle への拡張
◆ SU(n+1) 上の YM の行列模型における実現
◆ AdS/CFT 対応の検証 (n=1 の場合)
PWMM → R×S3上の N=4 SYM 理論
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（島崎氏の講演参照）
YM theory on group manifold
: right invariant 1-form
群多様体上のYM場
Maurer-Cartan 方程式
群多様体上の Killing vector
群多様体上の pure YM 理論
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上のpure YM 理論
SU(n) 方向のreduction
上の YM-higgs 理論
U(1) 方向のreduction
上の YM-higgs 理論
全て reduction
Matrix model
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上のpure YM 理論
のとき、
上の YM-higgs 理論
Matrix T-duality (U(1)を構成)
上の YM-higgs 理論 (任意のmonopole bg.)
[Grosse, Kitazawa]
Fuzzy CPn の可換極限
Matrix model
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[J,0,‥,0]表現を並べた真空

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