航空旅客需要の発生

航空旅客需要と
消費者の利益
国際交通
平成22年12月7日
村上
航空需要の特性
派生的需要である。本源的な需要（目的地での
旅行やビジネスなど）があってはじめて発生する。
在庫が不可能である。
⇒出発直前に｢シートセール｣と称して座席をたた
き売る。
⇒米国では｢ノー・ショウズ(No Shows)｣が２割。だ
から航空会社はわざとダブルブッキングを行う。
実際に来ないと思われていた人が来てしまった
ら座席クラスのアップグレードなどで対処する。
航空旅客需要に与える要因
航空運賃、代替交通機関（代替航空会社あるい
は地表交通機関）の運賃、補完交通機関の運賃、
所得、運航頻度，遅延，運航の時間帯（朝，夕
等），曜日，季節，安全性（⇔事故），ロイヤルティ
（ブランド，マイレージの加算の程度など），距離，
機内サービス・アメニティ，飛行時間，空港まで
のアクセスの利便性，乗り継ぎの利便性，他の
交通機関のサービスと利便性，戦争・テロ・疫病
頻度、安全性、利便性、アメニティの充実度を｢効
用｣、遅延、高い事故率、非利便性を｢不効用｣と
くくることもある。
旅客需要関数の導出(1/3)
ある支出制約の下での効
用最大化。（原点に凸の
効用関数を仮定）
ある効用水準の下での支
出最小化
max
U  q1q2
q1 , q2
s.t. p1q1  p2 q2  X
min
q1 , q2
p1q1  p2 q2
s.t. U  q1q2
*
これを生産の場合と同様の手順で解く。ちなみにq1を
航空輸送量、q2をそれ以外交通機関の輸送量、p1は
航空運賃、p2はその他の交通機関の運賃、Xは所得
（全て使い切ると仮定するので所得＝支出）、Uは利用
者の効用をあらわす。
旅客需要関数の導出(2/3)
ラグランジュ乗数を用いた解き方
max
q1 , q2 ,
L  q1q2    X  p1q1  p2 q2 
それぞれについて偏微分してゼロとおく。
q1 , q2 , 
q2  p1  0 (1)
q1  p2  0 (2)
X  p1q1  p2q2  0 (3)
(1)と(2)よりλを消去すると、
(4)を(3)に代入すると、
p1q1  p2 q2 (4)
旅客需要関数の導出(3/3)
X
q1 
2 p1
X
q2 
2 p2
これらがマーシャル型需要(Marshallian Demand)関
数である。マーシャル型需要関数は以下の特性を持
つ。
(1)価格と所得の関数。自己価格と補完財価格の上
昇に対し非逓増、所得の増加に対して非減少。
(2)マーシャル型需要関数を予算線に代入すると所
得Xになる。（ＡｄｄＵｐの法則）
間接効用関数と支出関数
マーシャル型需要関
2




X
X
X
数を元の効用関数に V  p , p , X   

 
1
2

代入すると、間接効
 2 p1  2 p2  4 p1 p2
用関数Vが得られる。
この間接効用関数の
式を支出Xの式で表
X  p1 , p2 ,U   2 p1 p2U
すと支出関数が得ら
れる。
ヒックス型旅客需要関数
生産理論の時にも出てきた「シェファードのレン
マ」を用いて、支出関数をそれぞれの価格で偏微
分すると、価格と効用の関数であるヒックス型需
要（Hicksian Demand）関数が得られる（別名、補
償需要関数）。
X
 h1  p1 , p2 , U  
p1
p2U
p1
X
 h2  p1 , p2 ,U  
p2
p1U
p2
双対原理（Duality）(1/4)
ヒックス型需要関数は、｢ある効用の下で
支出を最小化する｣という仮定から直接求
めることもできる。
min
q1 ,q2 ,
L  p1q1  p2 q2   U  q1q2 
各々の変数で微分してゼロと置く。
p1  q2  0(a),
U  q1q2  0(c)
p2  q1  0(b),
双対原理（Duality）(2/4)
(a), (b)より p1q1  p2q2 (d )
(d)より
p1
q2 
q1
p2
p1 2
これを（ｃ）に代入すると U  q1
p2
従って
h1  p1 , p2 , U  
p2U
p1
同様に h2  p1 , p2 ,U  
p1U
p2
双対原理（Duality）(3/4)
このヒックス型需要関数を予算線に代入す
ると、支出関数が得られる。
X  p1 , p2 ,U   2 p1 p2U  p1h1  p2 h2
☆ Roy（ロワ）の恒等式⇒間接効用関数
からマーシャル型需要関数を求める方法。
X2
V  p, X 

p1
4 p12 p 2
X
q1  p, X  


V  p, X 
X
2 p1
X
2 p1 p 2
双対原理(4/4)
max U
n
Dual problem
k 1
⇔
s.t.  pk qk
n
min  pk qk
s.t. U  U *
k 1
一階条件↓
一階条件↓↑価格を消去
Marshallian 需要関数
Hicksian 需要関数
q k  p, X 
（補償需要関数）
h p k , u 
代入↓↑Roy の恒等式
代入↓↑シェファードのレンマ
間接効用関数
式変形
支出関数
V  p, X 
⇔
X  p, u 
旅客需要の双対原理は以上のように要約される。
（重要）
所得効果と代替効果(1/5)
スルツキー方程式：効用が最大化されている下
では、双対原理により【ヒックス型需要関数＝
マーシャル型需要関数の所得に支出関数を代入
した式】の関係が成り立つ。
hi p,U *  qi p, X p, U *  ( )





先の例を用いて確認すると、支出関数は
X  p1 , p2 ,U   2 p1 p2U
X
航空のマーシャル型需要関数は q1  2 p
1
所得効果と代替効果(2/5)
支出関数をマーシャル型需要関数に代入
すると、
2 p1 p2U
p2U
X
q1 


 h1  p1 , p2 , U 
2 p1
2 p1
p1
さて、合成関数の微分の公式を用いて、（A）を
Pｊで偏微分してみよう。








hi p,U *
qi p, X p, U *
qi p, X p, u * X


p j
p j
X
p j
所得効果と代替効果(3/5)
すなわち、下記の式が得られる。







 
qi p, X p, U *
hi p, U * qi p, X p, U *


h j p, U *
p j
p j
X
左辺
右辺第一項

右辺第二項
右辺第一項は、他の交通機関の運賃が変化したときに、
効用を一定とするとともに所得を補償した時の効果。通常
代替効果(Substitution Effect)という。右辺第二項は、補償した
所得の変化に対する需要の変化で、所得効果(Income Effect)と
いわれる。左辺は総効果(Total Effect)と呼ばれる。
所得効果と代替効果(4/5)
図解してみよう。（航空運賃が下落の場
運他合）
賃の
は交 A
相通
対機
上関
昇の
B
X/p1
①航空運賃の下落により、航空輸送と
他の交通機関の選択比率はAからBへ
移動。但し効用一定。（代替効果）
航空運賃p１
下落⇒
A
C
B
② ①では他の交通機関の運賃は
相対的に上昇しているが、実際には
上昇していないので所得補正。これにより航空運賃下落後の
新たな均衡はBからCへ（所得効果）。A→Cが総効果である。
所得効果と代替効果(5/5)
hi
 0 ：２財は純代替財(Net substitute)
p j
hi
 0 ：２財は純補完財(Net complement)
p j
qi
 0 ：２財は総代替財(Gross substitute)
p j
qi
 0 ：２財は総補完財(Gross complement)
p j
qi
 0 ：ギッフェン財（Giffen 財）
pi
所得効果と代替効果の応用：
補償変量と等価変量(1/2)
ある政策変更を行うことにより、変更前後
で価格と所得が変化したとする。価格が下
がり、所得が増加すれば明らかに消費者
に利益が発生するが、例えば価格と所得
が両方上昇したり、両方下落するような場
合も存在する。
そのような場合政策変更をどのように評価
すればよいのか？
所得効果と代替効果の応用：
補償変量と等価変量(2/2)
その方法として、消費者余剰のみで評価する場
合（例えば公共財など生産者余剰が問題になら
ない場合）は補償変量（ CV, Compensating
Variation）と等価変量(EV, Equivalent Variation)
を計測する手段がある。
また、民間部門の供給者で供給関数が存在する
場合には生産者余剰を含めた総余剰で評価し、
供給関数が存在しない場合は消費者余剰＋企
業の利潤で評価する。
消費者余剰による評価では間接効用関数を求
めることが必要である。
消費者余剰に基づく
政策評価の方法(1/2)
補償変量：ある効用関数をもつ人々に対し、
政策変更後の間接効用関数と、政策変更
前の間接効用関数を比較し、所得がどれ
だけ補償されたか（あるいはされてないか）
を見る方法。
V
i
p
after
i

, X
after
i
S
i
c
  V  p
i
↑補償変量
before
i
,X
before
i

消費者余剰に基づく
政策評価の方法(2/2)
等価変量：政策変更を行うとして、現在の
状況にいくら所得を補償してやれば政策変
更前後で人々の間接効用が同等になるか
を計測する方法。場合によっては人々に補
償しない（あるいは税率を引き上げ所得を
減らす）こともありうる。
i

V p
before
i

, X
before
i
S
i
e
  V  p
i
↑等価変量
after
i
,X
after
i

補償変量を用いた実例（1/5）
ある地方政府は、東京との間に航空路線を開設
し、地元経済の活性化を図ろうとしている。現在
航空会社に路線開設を打診中である。
航空路線開設により観光及びビジネス客が訪れ、
地域所得の向上を通じた消費者余剰が増加する
ことが予想される。
しかし同時に地価、ひいては物価が上昇する懸
念が存在するし、かつこれまでは地表交通機
関を利用して100の費用で東京まで行けたのに
対し、航空運賃は120であるという。
果たして地方政府が目論むように、航空路線開
設は消費者にプラスになるであろうか？
補償変量を用いた実例（2/5）
そこで、地方政府は予想される所得の上昇効果と、
それを相殺するであろう物価上昇の効果を考慮し、
消費者余剰がどのように変化するかを調べることに
した.
住民の効用関数を U  q1q2 とする。
2
すると間接効用関数は、 V  p, X   X
4 p1 p 2
である。ただしＰ1は東京までの運賃、Ｐ2平均
物価、Ｘは所得である。
補償変量を用いた実例（3/5）
東京までの従来の運賃は100、平均物価
100、所得を1000とする。
そして物価上昇は５％、所得の上昇は２％
と予想する。
• ＣＶ（ S c1 ）は以下の通り。
V
i
p
after
i

, X
after
i
S
i
c
  V  p
i
before
i
,X
before
i

補償変量を用いた実例（4/5）
間接効用関数に、分かっている情報を代
入すると以下の通り。
1020  S 
1 2
c
10002

4 120 105 4 100 100
これより、
S  102.5
1
c
よってこの場合、物価上昇と運賃上昇により、
かえって消費者余剰が減少してしまう。
⇒航空路線開設は消費者のためにならない。
補償変量を用いた実例（5/5）
では、消費者余剰を低下させないために
は、航空運賃がいくらでないといけない
か？
⇒消費者余剰をゼロと置いて航空運賃を
求める。
2
2
1020  0
1000

4  ?105 4 100 100
これより？＝99.09、つまり物価上昇の影響が大き
いので、ＣＶを維持するためには航空運賃は99.09
でないといけない。
参考までに
ただし、航空路線開設により、時間節約効
果が期待できるので、そのプラス面を考慮
すれば、航空運賃は99.09よりも高くなって
もよいはずである。
たとえば実質航空運賃を P  p1  s  99.09
（ただしｓは時間節約効果、あるいは速度の遅い交通機関
を利用するときに発生する機会費用）とし、仮に時間節約
効果ｓを20とするならば、ＣＶ不変の下での航空運賃は
99.09＋20＝119.09である。
等価変量を用いた場合
等価変量を用いた場合は？
i

before
i
V p

, X
before
i
S
i
e
  V  p
i
after
i
,X
after
i

1
S
上の式よりＥＶ（ e ）は以下のように計算さ
2
れる。 1000  Se 
10202
⇒ S e  91.31

4 100 100
4 120 105
この場合も消費者余剰は減少すると考えられ
る。しかし、このケースでは、補償変量の場合
よりも消費者余剰の減り方は小さい。
ご清聴有難うございました

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