jlect13

Disciplined Software
Engineering
Lecture #13
Software Engineering Institute
Carnegie Mellon University
Pittsburgh, PA 15213
Sponsored by the U.S. Department of Defense
Copyright © 1994 Carnegie Mellon University1
設計検証, 第２部
この講義は設計検証の第２部である。
話題は：
•トレース表
-ｼﾝﾎﾞﾘｯｸ実行
-ケースチェッキング
•数学的なプログラム検証
•プログラムの証明
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トレース表
トレース表は実行表と似ているがより一般的である。
トレース表は個々のケースの検証よりもむしろ一般的
なプログラム動作を調べる。
トレース表は以下を使用する
•シンボリック実行
•ケースチェッキング
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シンボリック実行- 1
シンボリック実行では
•プログラムはシンボリックに表現される。
•プログラム動作は分析的に調べられる。
シンボリック実行により一般的検証をする事が出来る。
シンボリック実行は常に実際的であるとは限らない。
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シンボリック実行- 2
シンボリック実行のアプローチ手順は以下のとおりであ
る
•代数的ｼﾝﾎﾞﾙをﾌﾟﾛｸﾞﾗﾑ変数に割り当てる
•これらのｼﾝﾎﾞﾙを用いて１つ以上の方程式でプログラ
ムを記述し直す
•これらの方程式の動作を分析する
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シンボリック実行- 3
尋ねるべきいくつかの質問
•ﾌﾟﾛｸﾞﾗﾑはある結果に収束するか？
•ﾌﾟﾛｸﾞﾗﾑは正常および異常の双方の入力値に対して
どのように動作するか？
•ﾌﾟﾛｸﾞﾗﾑは常に望ましい結果を作り出すか？
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シンボリック実行例
次のような簡単なﾌﾟﾛｸﾞﾗﾑ部分が与えられるとする
begin
V1 = V2
V2 = V4
V3 = V1
V4 = V3
end
V1, V2, V3, and V4のいろいろな値に対する結果は
どんなものになるだろうか?
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シンボリックトレース表
この例に対するトレース表このようになる:
#
命令
1
初期値
V1 = V2
2
3
V2 = V4
4
V4 = V3
最終値
V1
V2
V3
V4
A
B
C
D
B
D
B
V3 = V1
B
B
D
B
B
したがって、入力 A, B, C, Dに対する結果は B, D, B,
B である。
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シンボリック実行演習
次のようなﾌﾟﾛｸﾞﾗﾑがどの値で終了するか決定せよ。
Calculate(x: real)
if x > 0
x = sqrt(x)-1
else
x = -x
if x<>0
Calculate(x)
end.
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演習結果- 1
変数は x1 および x2 によって表現することが出来る。
各ｻｲｸﾙの結果に対する方程式は
if x1>0: x2 = sqrt(x1) -1
if x1 <= 0: x2 = -x1
である。
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演習結果- 2
x1 = 0 に対して, ﾌﾟﾛｸﾞﾗﾑは第１ｻｲｸﾙで終了する。
x1 = 1 に対して, ﾌﾟﾛｸﾞﾗﾑは第１ｻｲｸﾙで終了する。
x1 = -1 に対して, ﾌﾟﾛｸﾞﾗﾑは第２ｻｲｸﾙで終了する。
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演習結果- 3
後ろ向きに動かすと
•x2が１であるためには, x1は4であるべきであろう。
•x2が4であるためには, x1は２５であるべきであろう。
•X2が25であるためには, x1は676になるべきであろ
う。
•X2が676であるためには, x1は458329であるべきで
あろう。
•など
したがって、ﾌﾟﾛｸﾞﾗﾑは入力値 +/- の 1, 4, 25, 676,
458329, 等に対して終了する。
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演習結果- 4
Ｘ１の他の大きな正または負の値に対して, x2 の値は
-1 と +1の間のゼロでないある数に収束するであろう。
-1と +1の間のゼロでない値に対して何が起こるか?
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演習結果- 5
x1=a, a は非常に小さな数とすると
•x2=sqrt(a)-1, 負の数
•次に、 x2 は正にする
•次の２ｻｲｸﾙで, x2 は近似的に sqrt(a)/2, あるいは
aより少し大きな数になる。
したがって、小さな x1に対して, x2の値は、次第にx1
より大きくなる。
したがって X2 の値は 0に到達せず、1より小さなある
数に収束するであろう。
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演習結果- 6
値が収束する時, x1 = x2 = x でかつその結果は次の
方程式で与えられるであろう
sqrt(x) - 1 = -x
この方程式に対する解はつぎである
x = [3 - sqrt(5)]/2 = 0.381966
したがって, ﾌﾟﾛｸﾞﾗﾑは +/- 0.381966 の間を巡回する
ことになるであろう。
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シンボリック実行の利点
シンボリックな証明は一般性を持ち得る
シンボリックな証明は典型的には他の方法より少ない
作業で済む
シンボリックな証明はテストケースを実行するよりエラ
ーを起こすことが少ない
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シンボリック実行の欠点
ｼﾝﾎﾞﾘｯｸ実行はｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑ的かつ代入問題を除いて使
用することは難しい。
ｼﾝﾎﾞﾘｯｸ実行の証明は手作業であり、したがってｴﾗｰ
を起こしやすい。
ｼﾝﾎﾞﾘｯｸ実行は複雑な論理に対して使用することは
難しい。
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ケースチェッキング - 1
ケースチェッキングには次のステップがある
1. プログラムを調べ、プログラム動作のいろいろな
カテゴリを決定する
2. これらのカテゴリに対して、チェックすべきケースを
識別する
3. 各ケースをチェックしそれらが全ての可能な状況を
カバーしていることを保証する
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ケースチェッキング - 2
4. トレース表をそれだけでか、シンボリック実行
あるいは帰納法による証明を併用するかによって
、各ケースについてプログラム動作を調べる
5. 全てのケースが検証されるとプログラム動作が
検証されたことになる
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トレース表の例- 1
ClearSpacesプログラムの要求は
•文字列から先頭および末尾の空白を除く
•埋め込まれた空白はそのままにしておく
•空の文字列に対しては状態値を０にする
•１空白からなる文字列に対しては状態値を１にする
•２つ以上の空白の文字列に対しては状態値を２にする
•空白以外の文字を含む文字列に対しては状態値を
３にする
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トレース表の例- 2
プログラムで末尾の空白を取り除くための部分は次であ
る。
ClearSpaces(var Input: string; State: int)
Length = length(Input)
if Length > 0
repeat(until State=3 or Length=0)
if Input[Length-1] = ‘ ‘
Length = Length - 1
if State < 2 State=State+1
else State = 3
until State=3 or Length=0
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トレース表の例- 3
末尾の空白のケースを定義するため次の約束事を確
立する
1. メッセージ文字列は非空白文字で始まりかつ
終わる文字列である
2. 入力文字列はｍ個のメッセージ文字とｔ個の後続
空白文字からなる
3. m は >0 または 0 である
4. t は >0 または 0 である
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トレース表の例- 4
従って、全部で４つのケースがある。
1. 0-0: m = 0, t = 0
2. 0-t: m = 0, t > 0
3. m-0: m > 0, t = 0
4. m-t: m > 0, t > 0
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トレース表の例- 5
戦略は最も適当な手法を何でも使うことによって
各ケースでのプログラム動作を検証することである
1. ０－０のケースは実行テーブルを用いて単独で
チェックする
2. 他のケースでは帰納的な証明を用いてチェック
する
3. 第１２講で述べた実行表の手法を使って、
トレース表で各証明を行いなさい
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プログラムの正当性の検証
これらの手法はプログラムを数学の定理として扱うこと
に基づく
設計や設計レビューで特に有用である
プログラム検証にはしばしば高度な推論が必要となる
ので、作業を注意深くチェックすることが重要である。
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正当性検証
正当性検証アプローチでは次のことを行う.
•すべてのプログラムケースを識別する
•トレース表を用いて、全てのケースに対してプログラム
が満足しなければならない全ての条件を評価する
•適切な所では帰納法による証明を用いる
全てのケースについて全ての条件が満足されたら
プログラムは検証されたことになる
この検証アプローチはほとんどの設計構成体に適用で
きるが、本講ではループについてのみ述べる
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ForLoop の検証- 1
ForLoopは次の形式であると仮定する
ForLoop
for n = First to Last
begin
nPart
end
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ForLoop の検証- 2
for-loop条件では次の質問に対する答えが真であるこ
とが必要である
ForLoop =
FirstPart+SecondPart+...+LastPart
であるか？
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ForLoop の例 - 1
次のプログラムがｎの階乗を生成することを検証せよ
factorial(n)
begin
x=1
for i=1 to n
x = x*i
return = x
end
Copyright © 1994 Carnegie Mellon University29
ForLoop の例- 2
第一にケースを識別する。
ケースはｎ＝１とｎ＞１である
n = 1 のケースに対しては
ForLoop = 1! = 1
FirstPart+SecondPart+...=FirstPart = 1*1=1
n=１のケースはかくして正しい
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ForLoop の例- 3
ｎ＞１例えば３に対しては
ForLoop = 3! = 6
FirstPart+SecondPart+ThirdPart = 1*1*2*3 = 6
n=３のケースはかくして真である
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ForLoop の例- 4
次に、ｎの全てのより大きな値に対しての実行を検証
するため、帰納法による証明を用いなさい
n=ｋに対して動作が検証されたと仮定する
ForLoop = k!
そして
FirstPart+...LastPart = 1*1*2*3*4*...*k = k!
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ForLoop の例- 5
さて、ｋ＋１に対しては
ForLoop = k!*(k+1) = (k+1)!
FirstPart+...LastPart = 1*1*2*3*4*...*k*(k+1)
= (k+1)!
かくてプログラムはｋ＋１のとき正しい。従って帰納法
によりｎ＞＝１なる全ての値に対して正しい
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WhileLoop の検証- 1
WhileLoopは次の形式を持つと仮定する
WhileLoop
while WhileTest
begin
LoopPart
end
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WhileLoop の検証- 2
質問１。 WhileTestのどんなアーギュメントに対しても
ループが終了することが保証されるか？
質問２。 WhileTestが真の時、次が成り立つか？
WhileLoop = LoopPart followed by WhileLoop?
（注： WhileLoop は LoopPart に WhileLoop が続く）
質問3. WhileTestが偽の時、次が起こるか？
WhileLoop はidentityであるか
（注：identityとは条件が全く変わらないことをいう）
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WhileLoop の例- 1
浮動小数点数を標準形にするため、プログラムの最初
の部分を使いなさい。
•Ｅｘｐは正の整数である
•Mant は小数点の前にゼロ以外の正の１０進数字が
来る
NormalizeReal(Mant, Exp, NegEx)
while Mant >= 10 do
Mant = Mant/10
if NegEx then Exp=Exp-1
else Exp = Exp + 1
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WhileLoop の例- 2
Expの値は重要ではないので、関心があるのは３つ
のケースである。
1. Mant <10
2. Mant = 10
3. Mant > 10
これらのケースのそれぞれがNegEx が真と偽に対し
て調べられる
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WhileLoop の例- 3
質問１． WhileTestのどんなアーギュメントに対しても
ループの終了が保証されるか？
ケース１． Mant < 10ならwhileテストは直ちに成立し
ないのでループは終了する
ケース２．Mant = 10 ならｗｈｉｌｅテストは１サイクルの
後に成立しないのでループは終了する
どちらのケースでもNegExの値に関係なく終了する
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WhileLoop の例- 4
質問１。続き
ケース３， Mant > 10のときは帰納法で示される
•Mant = k*10**n, ここで 1 <= k < 10
•n=1なら１サイクル後にテストは条件が成立しなくな
る
•ある値ｎ＝ｍに対してテストが真ならｍサイクル後に
Mant=k になる
•かくてｎ＝ｍ＋１に対してはｍサイクル後にMant =
k*10 となりもう１サイクル後にWhileTestは条件が
成立しなくなる
NegExの値は結果に影響しないので質問１は全ての
ｎ＞＝１に対して成立する
Copyright © 1994 Carnegie Mellon University39
WhileLoop の例- 5
質問２。 WhileTest が真の時、次は起こるか？
WhileLoop = LoopPart followed by WhileLoop?
（注： WhileLoop は LoopPart に WhileLoop が続く）
ケース１． Mant < 10は、WhileTestが決して真になら
ないのでこの条件はあてはまらない
Copyright © 1994 Carnegie Mellon University40
WhileLoop の例- 6
他のケースを調べるため、このプログラムが
WhileLoopと同じ結果になることをチェックしなさい（次
のＯＨＰで述べる）
Mant = Mant/10
if NegEx then Exp=Exp-1
else Exp = Exp + 1
while Mant >= 10 do
Mant = Mant/10
if NegEx then Exp=Exp-1
else Exp = Exp + 1
Copyright © 1994 Carnegie Mellon University41
WhileLoop の例- 7
質問２． WhileTestが真の時、次がおこるか？
WhileLoop = LoopPart followed by WhileLoop?
（注： WhileLoop は LoopPart に WhileLoop が続く）
ケース２ Mant = 10の時、NegExの値は関係ない
•WhileLoop は１サイクルおこり, Mant = 1になる
•LoopPart followed by WhileLoop はMant = 10で
始まり LoopPart は値１で, そして WhileLoop は同
じく値１で終わる。
どちらも同じ結果になるので、答えは真である。
Copyright © 1994 Carnegie Mellon University42
WhileLoop の例- 8
質問２。続き
ケース３、Mant > 10 の場合は帰納法で示される
•Mant = k*10**n, ここで 1<=k<10
•n = 1の時は WhileLoop は１サイクルおこり、そして
LoopPart followed by WhileLoopは一度もおこらな
い。
• n > 1 のときは LoopPart followed by WhileLoop
は１つ少ないサイクルおこり同じ結果となる。
質問２はかくて全てのケースで満足される。
Copyright © 1994 Carnegie Mellon University43
WhileLoop の例 - 9
質問３ . WhileTestが偽のとき、WhileLoop は
identityであるか？
ケース1. Mant < 10 はWhileTestが偽となる唯一の
ケースである.
このケースはプログラムが実行されないので、条件は
乱されないままである。それがIdentityの定義である。
質問３はかくて満足される。
Copyright © 1994 Carnegie Mellon University44
RepeatUntil の検証- 1
RepeatUntil は次の形式を持つ。
RepeatUntil
begin
LoopPart
UntilTest
end
Copyright © 1994 Carnegie Mellon University45
RepeatUntil の検証- 2
Repeat-untilの検証は次の３つの質問に対する答え
が真の時満足される。
質問1. ループの終了がUntilTestのいかなるアーギュ
メントに対しても保証されるか?
質問2. LoopPart のあとのUntilTest が偽のとき,
RepeatUntil =
LoopPart followed by RepeatUntil
であるか?
Copyright © 1994 Carnegie Mellon University46
RepeatUntil の検証- 3
質問 3. LoopPart のあとのUntilTest が真のとき
RepeatUntil = LoopPartであるか？
The repeat-until の検証はWhileLoop と同じ論理
形式に従うので例を示すことは省略する。
Copyright © 1994 Carnegie Mellon University47
プログラム検証に対するコメント- 1
正しく行えば、これらの検証法は全く一般性を有してお
り、従ってプログラムの正当性を保証できる。
検証法は技巧が必要であり、スキルを必要とする。
これらの手法を使おうとするのが望ましいが、疑いが
あるときはトレース表や実行表を使ってチェックしなさ
い。
Copyright © 1994 Carnegie Mellon University48
プログラム検証に対するコメント- 2
訓練をつめば、プログラム検証を非常に素早く行うこと
ができるようになる。
起こり得る全てのケースを注意深く実行することで、
ほとんどの欠陥を手早く見つけることができる
ループ終了テストは他の方法では無限ループを確認す
ることが困難なので特に重要である。
Copyright © 1994 Carnegie Mellon University49
講義13の演習課題
さあ、最後レポートにとりかかろう
中間レポートを作成したプロセスを更新して、それを使
って最後レポートを作成しよう。
更新したプロセス、作業の計画、作業の実データ、そし
て最後レポートを提出しよう。
レポートの仕様は付録Ｄにある。
Copyright © 1994 Carnegie Mellon University50
講義13 で覚えておくべきメッセージ
1. いろいろの強力な検証技法がある。
2.. これらの技法を試し、自分に最も効果的なものを
見つけ、それを使いなさい。
3. 設計を検証するために使う時間はテスト時間の節
約となって何倍も報われる。
Copyright © 1994 Carnegie Mellon University51

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