融合変換による最適化の
理論的基盤と正当性
酒井政裕
慶應義塾大学政策・メディア研究科
修士課程2年
自己紹介
• 2001年 慶應義塾大学総合政策学部入学
• 2005年 同卒業
• 2005年慶應義塾大学大学院 政策・メディ
ア研究科 入学、現在在学中
• 萩野達也研究室所属
自己紹介: 活動
• Haskell
– Lightweight Language Weekend 2004
– Lightweight Language Day and Night
2005
– 日経ソフトウェア6月号「Haskellによる関数プ
ログラミング入門」
• Ruby-GNOME2
研究的興味
• 関数型言語の最適化
• プログラム変換、特に融合変換の
理論的基盤とアルゴリズム
研究の背景
• ソフトウェアの不具合が社会問題化する
ケースが増加
• 様々な要因
– ソフトウェアが必要とされる領域の広がり
– ソフトウェアの高機能化・多機能化にともなう
複雑化
研究の背景 (2)
• ソフトウェアの信頼性が重要に
• 様々なレベルの方法が必要
– 工学的な品質管理, etc
• 分かり易い自明なコードが重要
• 性能のよいコードは複雑で分かり難い
• 信頼性と効率の両立は難しい
研究の目的
• 高度な最適化技術の実現
– 強力な最適化
– 信頼性を損なわない
• 信頼性と効率の両立
位置づけ
応用
信頼性の高いソフトウェア
高性能なソフトウェア
プログラム変換
ソフトウェア検証
プログラム意味論
コンピュータサイエンス
基礎
数理論理学
位置づけ
信頼性の高いソフトウェア
高性能なソフトウェア
応用
融合変換
等
プログラム変換
ソフトウェア検証
プログラム意味論
コンピュータサイエンス
領域理論
型理論
各種意味論
基礎
ロジック
圏論
離散数学
数理論理学
形式的証明
モデル検査
テスト等
プログラム変換と
融合変換
最適化
• 概念を素直に書いた単純なプログラム
– 分かりやすい
– モジュラリティーが高く、扱いやすい
– しかし、性能が悪いことがしばしば
• 最適化が必要
– コンパイラによる最適化
– ハンドチューニング
ハンドチューニングの問題
• その過程でバグが混入する可能性
• 結果のプログラムは
– 複雑で保守が困難
– モジュラリティーが低く再利用が困難
• 信頼性を損なう
• 最適化のための別アプローチが必要!
プログラム変換
• 数学的(代数的)な性質を用いる最適化
– 例) a×3 + a×2
= { 分配則 }
a×(3+2)
= { calculation }
a×5
• 同じ意味で性能のよいプログラムへ変換
• 中にはオーダが変わるような場合も
融合変換
• プログラム変換の一種
• 複数のパスからなるプログラム
– わかりやすいが
– 中間データが存在し、効率が悪い
• これを単一のパスに変換
融合変換の例
• add(vector A, vector B) {
vector tmp;
for (int i = 0; i < A.dim; i++) {
tmp[i] = A[i] + B[i];
}
return tmp;
}
• add(add(A,B), C);
– 二回ループを回す必要
融合変換の例
• add3(vector A, vector B, vector C) {
vector tmp;
for (int i = 0; i < A.dim; i++) {
tmp[i] = A[i] + B[i] + C[i];
}
return tmp;
}
効率向上
• add3(A,B,C);
– 一回のループですむ
融合変換 (2)
• 主に関数型言語で用いられる
• 中間データ構造を生成しないことによる、
空間効率の向上
• これまで離れていたコードが接することに
より、更なる最適化が適用可能に
– 時間効率も向上
関数型言語
• 数学的な関数に基づいた言語
– (原則的に)副作用がない
– 等しい式は自由に置き換えが可能
– 数学的な取り扱いが容易
• 例: Haskell, ML, Lisp
なぜ関数型言語か?
• 数学的に厳密な議論をしたい
– 現状の一般的な命令型言語では難しい
• 代数的性質が簡単に利用できる
– 命令型言語では特別な解析が必要
• ⇒ そこで、とりあえず関数型言語に特化
関数型言語の代数的性質
(例)
• map 関数
– map f [a, b, …] = [f a, f b, …]
• concat 関数
– concat [[a,b], [c], [d,e], ..] = [a,b,c,d,e,…]
• map f . map g = map (f . g)
• (map f) . concat =
concat . (map (map f))
融合変換の理論
•
•
•
•
圏論
圏論によるデータ型と帰納的定義
一意性による等式の導出
融合変換の難しさ
圏論
• 対象と射(矢印)による抽象化
• プログラムを扱うのに便利な概念を提供
• 等式を図式で表現
対象
射
集合
関数
位相
空間
群
連続関数
型
プログラム
準同型
Catamorphism
• X, f, g に対して以下を満たす h が一意に存
在。 fold(f,g) で表す
–h.0=f
–h.s=g.h
帰納的定義を表現
h(0) = f
h(s(n)) = g(h(n))
catamorphism
と呼ばれる
Catamorphismの例
• 2倍する関数
double : N -> N
double(0)
=0
double(s(n)) = s(s(double(n))
• fold で表現
– double = fold(0, s.s)
double . double の融合
• doubleは以下を満たす
double . 0 = 0
double . s.s
= s.s.s.s . double
• よって
double.double . 0 = 0
double.double . s
= s.s.s.s.double.double
double . double の融合
• double.double . 0 = 0
double.double . s
= s.s.s.s.double.double
• fold(0,s.s.s.s) も
同じ等式を満たす
• 一意性より
double . double
= fold(0,s.s.s.s)
double . double の融合
• double.double . 0 = 0
double.double . s
= s.s.s.s.double.double
• 融合できた!!
fold(0,s.s.s.s) も
同じ等式を満たす
• 一意性より
double . double
= fold(0,s.s.s.s)
融合変換の規則
• 一般に h:X->Yが
h . g = g’ . h
h . f = f’
を満たすならば
h . fold(f,g)
= fold(f’,g’)
データ型の一般化
• 以上の話は帰納的(inductive)なデータ型
一般に対して、一般化出来る
• リスト, 木, etc.
融合の難しさ
• h . fold(f,g) = fold(f’,g’)
• 関数は fold(f,g) の形をしていないかも
• f’, g’ をどう発見するか?
• 対策
– Shortcut 融合変換
• 関数を融合しやすい形で定義しておく
– Warm Fusion
• 一般の再帰的定義から fold/build を導出
融合変換の実装例(1)
• Haskellの処理系GHC
• 標準関数は short-cut 融合変換可能な
形で定義されている
• short-cut 融合変換の書き換え規則をプ
ラグマとして定義
• 10クイーンで43%, 大規模ベンチマークで
平均3%の実行時間改善
融合変換の実装例(2)
• 尾上 能之 『融合変換による関数プログラ
ムの最適化』 [Onoue’99]
• 再帰的定義からHylomorphismという形
式を導出し、Hylo-Cata fusion という規
則によって融合を行う
• GHCに実装
私の研究
尾上らの手法の問題
• Hylo-Cata のみを扱いその双対の HyloAna を扱っていない
• Hylomorphism と酸性雨定理を組み合わ
せることの正当性の問題
正当性の問題
• Hylomorphism と Free Theorems を使用
– Hylomorphism には Inductive なデータ型と
Coinductive なデータ型の一致が必要
μX. F(X) = νX. F(X) …(A)
– Free Theorems はパラメトリシティに依存
• (A) とパラメトリシティは厳密には矛盾!!
Catamorphism
Anamorphism
Hylomorphism
• Coinduction (Anamorphism) より
– unfold(φ): A -> νX. F(X)
• Induction (Catamorphism) より
– fold(ψ) : μX. F(X) -> B
• νX. F(X) = μX. F(X) のとき、
これらを結合して A -> B が得られる
• これがHylomorphism
パラメトリシティ
• 型を関係として解釈して性質を証明
• 具体的な型は「等しい」という関係で解釈
• 型変数は任意の関係で解釈
パラメトリシティ(2)
• 例)
– length : ∀A. List(A) -> N
– ∀A,A’,R⊆AxA’.
(xs,ys)∈List(R) ⇒ length xs = length ys
– xRy iff y = f(x) とおくと、
∀A,A’,f: A->A’.
ys = List(f)(xs) ⇒ length xs = length ys
– length xs = length (map f xs)
なぜ矛盾するか
• ラムダ計算に基づく体系では以下が同値
– Inductive なデータ型と Coinductive なデー
タ型が一致
– すべての型Aに不動点コンビネータ
fixA: (A -> A) -> A が存在
なぜ矛盾するか (2)
• ラムダ計算 = Cartesian Closed Category
• パラメトリシティ の元では、直和 A+B を
∀C. (A->C) -> (B->C) -> C で表現可能
• Cartesian Closed Category では
直和と不動点コンビネータは矛盾
– 正確には退化したモデルしか存在しない
何が困るのか
• 正当性は微妙なのは気持ち悪い
• 本来成り立っていない等式に基づいた最
適化が行われてしまう可能性
• アドホックに正当性を保障することは可能
だが、一般的な保障が欲しい
アプローチ
• 形式的な意味論を用いた正当化
• 今考えているアイディア
– Moral equality [Danielsson’06] の利用?
– 途中の過程では弱い等号を用いる
目的
• 正当性を理論的に保障
• 融合変換をより安全に広い範囲で使用可
能に
• 安全で強力な最適化技術の実現
• 信頼性と性能の両立を
目的(2)
• また、その過程で、融合変換についてのよ
りよい理解が得られるのではないか?
• それによって、より高度な融合変換を
詳しくは現在研究中
まとめ
• プログラム変換の一つとしての融合変換
• 融合変換の簡単な例と理論
• 私のアプローチ
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