保健統計学第三回「計量データの解析」

保健統計学第5回
「3群以上のデータ解析」
と、その他色々
2007.06.01
本日のテーマ～3群以上の比較～
まずはデータの種類を確認（2群と同様）！
量的データ
・連続量 or 離散量？
・平均、最大・最小・中央値、分散（標準偏差）は？
・データの分布（グラフの形）は？
・比較しようと思う群の関係は？（独立 or 出所は同じ？）
質的データ？
・順位データ or 単なるカテゴリデータ？
・比較しようと思う群の関係は？（独立 or 出所は同じ？）
ここまでは全く2群の比較と同様でございます。
1-（1）分散分析（１）
T 
XA  XB
2
/
n

S
S B / nB
A
2
A
XA:A群の平均値
XB:B群の平均値
SA:A群の標準偏差
SB:B群の標準偏差
nA:A群の例数
nB:B群の例数
これは「2群の平均値の比較を行う」t検定でしたが・・・3群以上
の場合はどうしましょうか？
とりあえず・・・？
T1 
XA  XB
S A / n A  S B / nB
2
2
T2 
X B  XC
S B / nB  S C / nC
2
2
T3 
XC  X A
S C / nC  S A / n A
2
2
の、全ての組み合わせでt検定してみましょうか・・・？
有意水準をα=5%とした場合、上記の組み合わせからは最大で15％、もし
も7群だったら21通りの組み合わせ・・・ほぼ100％（以上？）有意差が出てく
ることになりますけど・・・？
1-（2）分散分析（2）
検定とは「偶然の発生する度合い」を考えるという行為であり、有意
水準5％とは、20回に1回は偶然が発生するということです。そして、
それは非常に稀なことであるから、そうなるという仮説自体が間違っ
ていたとすることでした。ですが・・・
3群以上の全ての組み合わせについて、有意水準5％で検定すると
いうことは、「5%×組み合わせ数」の偶然を発生させてしまうことに
なります。稀な事象でも回数が増加すれば発生しやすくなります
下手な鉄砲も数打ちゃ当たる・・・ってか？
このような行為を防ぐために、3群以上の平均値の比較
には分散分析（Analysis of Variance : ANOVA）を用い
るのです。
1-（3）分散分析（3）
①問題意識：「A群とB群とC群には差があるのではないか？」
②検定統計量を求める（分散分析表の作成。分散比（F）を算出する）
③帰無仮説（H0）：各群間に差がないのだから、分散比（F)≒1になるはず？
④帰無仮説から分散比（F)≒1となるのであれば、その（F)の値は十分に起こり
得るものなのか？（=単なる偶然ではないのか？）
⑤F分布表から、あらかじめ定めた有意水準（通常α=0.05）よりも大きければ、
帰無仮説（H0）を否定できない。逆に小さければ帰無仮説（H0）を否定し、対立
仮説（H1)を採択する。
では、実際に例題を解くことで原理を学びましょう。ここでの統計量は「分散比
（F)」であります！
1-（4）分散分析（4）
分散分析表の見方（これを知らなければダメです！）
変動要因
偏差平方和
自由度
群間変動
dfA=群数-1
k
S A  ni ( x i  x) 2 （例えば、３群なら
3-1=2）
i 1

群内変動
k
SE  
i 1
総変動
ni
 (x
j 1
ST=SA+SE
ii
 x j )2
dfE=全データ数群数（例えば、
n=15、３群なら
15-3=12）
分散
分散比
sA2=SA/dfA
F=sA2/sE2
sE2=SE/dfE
dfT=N-1
（もしくはdfA+dfE)
これだけでは辛い人・・・？ならば、次の例題を解いてみましょう！
1-（5）分散分析（5）
例題：出産までの週数によって新生児を3群に分け、新生児期黄疸の強さを調べ
たところ、以下のようなデータになった。出産までの週数によって、黄疸の強さに差
があると言えるか？
週数
-36週まで
13
11
6
36-38週
11
10
7
7
5
38-40週
8
7
5
5
4
3
3
データ数
各群の平均値（ｘi)
分散（si2)
3
10
13
5
8
6
7
5
11/3
群間変動=SA=3×（10-7）2+5×（8-7）2+7×（5-7）2=60 *データ数×（群の平均-全体平均）2の和
群内平均=SE={（13-10）2+(11-10)2+(6-10)2}+{(11-8)2+(10-8)2+(7-8)2×2+（5-8）2｝+{（8-5）2+
（7-5）2+（5-5）2×2+（4-5）2+（3-5）2×2}=72 *（各値-各群の平均値）2の和
変動要因
偏差平方和
自由度
分散
分散比
群間変動
60
3-1=2
60/2=30
30/6=5
群内変動
72
3+5+7-3=12
72/12=6
総変動
132
14
自由度12、α=0.05のときのF値は
3.89。分散比F=5>3.89となり、出
産までの週数と黄疸の強さは差
があると言える！
2-（1） Kruskal-Wallis検定（1）
分散分析はt検定同様、「厳密には」等分散の群同士に用いられるも
のですが、t検定同様標本が少数の場合は、等分散の検定が通りや
すくなります。ですが・・・
明らかに等分散とは思えない標本や、単なる順位データ」等の検定
には、どのように対応しましょうか？Ｔ検定に対応する、Wilcoxonの
ような存在はあるのでしょうか？
勿論あります。実際には分散分析以上に出番の多い検
定で、Kruskal-Wallis検定と呼ばれるものです。分散分
析が正規分布を前提としたパラメトリック検定であるなら
ば、当然ですがこちらはノンパラメトリック検定です。統計
量も予想通り、順位を基準としたものとなります。
2-（2） Kruskal-Wallis検定（2）
①問題意識：「A群とB群とC群には差があるのではないか？」
帰無仮説（H0）： A群とB群とC群には差がない
対立仮説（H1）： A群とB群とC群には差がある
②検定統計量を求める
k
Ri2
12
H
 3(n  1)

n(n  1) i 1 ni
（詳細は省略しますが、上記の12/n(n+1)及び-3（n+1）に関しては、Hが近似的に自由
度k-1のχ2分布に従うので、χ2分布に近似させるための補正を行っている部分です。実
際に群間の偏りを示している部分は、ここだけです）
③Kluskal-Wallis検定表から、あらかじめ定めた有意水準（通常α=0.05）の値
Hαと検定統計量Hの値を比較する。H>Hαとなれば、 A群とB群とC群間には差
があるとする。
2-（3） Kruskal-Wallis検定（3）
例題：集団検診で肥満者14名を抜き出し、体重によって3群に分けて血中の中性
脂肪の濃度を調べた。各群間で中性脂肪濃度に差があると言えるか？
体重
データ数
80-90kg
192
256
166
122
202
5
90-100kg
164
248
264
270
230
5
100kg-
224
298
332
294
各群の平均値（ｘi)
分散（si2)
4
これも前回同様、順位と順位和で考えてみましょう
体重
順位
順位和
期待順位和
80-90kg
4
9
3
1
5
22
37.5
90-100kg
2
8
10
11
7
38
37.5
100kg-
6
13
14
12
45
30
実際の順位和と、期待
順位和の差に注目！
解答：
Kluskal-Wallis統計量 H=12/14（14+1）×{（22）2/5+（38）2/5+（45）2/4}3（14+1）=5.96。α=0.05のときHα=5.666<Hとなるので、各群間で差があるとい
える。
生存時間解析（１）
生存時間解析→そもそも生存時間とは何か？
基準となる時点からある事象（イベント）が発生するまでの
時間の長さです。例えば・・・
手術から死亡までの日数
薬剤の投与から治療効果が認められるまでの時間
入門から入幕までの場所数
生存時間という呼び方はしておりますが、基本的に生死の
みを扱うわけではありません。ある時点から、観察すると決
めた事象・出来事（=イベント）が発生するまでの時間のこと
を、便宜上「生存時間」と呼んでいるのです。
生存時間解析（２）
5人の肺がん患者を観察した結果、下記のようになりました
4
5
6
7
8
9
10
11
Aさん
Bさん
（生存）
（死亡）
Cさん
（生存）
Dさん
Eさん
12月
（生存）
（生存）
Aさん：観察開始から観察終了まで生存（9ヶ月）
Bさん：5月に入院、7月に亡くなられました（2ヶ月）
Cさん：10月から観察終了まで生存（3ヶ月）
Dさん：観察開始から10月で転院されました（7ヶ月打ち切り）
Eさん：観察開始から9月で引越しされました（4ヶ月打ち切り）
実際に様々な理由で観察できなくなります。さらに観察スタート日もまち
まちですし・・・？実際に例題で理解することにしましょう！
生存時間解析（3）
8人の肺がん患者を観察した結果、下記のようになりました
患者1
打ち切り
患者2
このように、生存のまま観察を終了し
てしまう患者さんもいる。この人たち3
名をどのように考えるのか？
患者3
患者4
打ち切り
患者5
打ち切り
患者6
患者7
患者8
0
10
20
30
40
50
60
70
患者1 患者2 患者3 患者4 患者5 患者6 患者7 患者8
11
21*
33
37
40*
57*
59
63
* 生存のまま観測打ち切り
基本的には、大切なのは「長さ」です。いつから観測しているかではなく、生
存時間（例：何日生きていたか、何日後に発生したか、何場所で昇進したか）
が重要なのです！
生存時間解析（4）
患者1 患者2 患者3 患者4 患者5 患者6 患者7 患者8
11
21*
33
37
40*
57*
59
63
* 生存のまま観測打ち切り
日目
T(n)における死亡数
T(n)直前の生存数
T(n)からT（n+1)における打ち切り数
T（0）
T（1）
T（2）
0
11
33
0
1
1
8
8
6
0
1
0
T（3）
37
1
5
T（4）
59
1
2
2　T（5）
63
1
1
0　・0≦ｔ＜11（=患者1の死亡直前まで）区間の生存確率は、（8-0）/8=1となる
・11≦ｔ＜33（=患者3の死亡直前まで）区間の生存確率は、（8-1）/8=0.875。よって、この時点ま
での生存確率は1×0.875=0.875となる
・33≦ｔ＜37（=患者4の死亡直前まで）区間の生存確率は、（6-1）/6=0.833。よって、この時点ま
での生存確率は1×0.875×0.833=0.729となる
・37≦ｔ＜59（=患者7の死亡直前まで）区間の生存確率は、（5-1）/5=0.8。よって、この時点まで
の生存確率は1×0.875×0.833×0.8=0.583となる
・59≦ｔ＜63（=患者8の死亡直前まで）区間の生存確率は、（2-1）/2=0.5。よって、この時点まで
の生存確率は1×0.875×0.833×0.8×0.5=0.292となる
・63≦ｔ（=患者8の死亡直後以降）の生存確率は、（1-1）/1=0。よって、この時点までの生存確率
は1×0.875×0.833×0.8×0.5×0=0となる
イベント発生以外の打ち切りを考慮しないと結果が矛盾します！
生存時間解析（5）
グラフの形だけは覚えておきましょう！
（生存確率）
1
0.825
死亡ではなく打ち切りで分母減少
0.729
0.583
こちらは2名減
少しております
0.292
0
11
21
33
37 40
有名なKaplan-Meier 推定量曲線と呼びます！
57 59
63 (日数）
御礼
ご清聴ありがとうございました。卒業研究
に向けましての統計的相談、ソフトウエ
ア関連のご相談等ございましたら、下記
までお願い致します。
[email protected]
それからもう一点・・・
試験に関しましては・・・過去問は一切通用
しないと思われます。

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