中心力の仮想世界 逆二乗＋逆三乗 ベルトランの定理を問う Ｒ ｒ＝ーーーーーーー １－ｅｃｏｓｋθ ｋ＝１ ｋ≒１ ｋ＝整数 逆二乗 近日点移動 多角星 面積速度一定の法則 （角運動量保存の法則） 面積速度一定 ｈ＝ｒＶ⊥＝ＲＵ 運動の第一積分 エネルギー積分（エネルギー保存） 面積積分（角運動量保存） 単位質量において １ ・ ・ ーー（ｒ２＋ｒ２θ２）＋Ｅ（ｒ）＝Ｃ（定数、力学エネ） ２ （ （Ｖｒ２＋Ｖ⊥２）／２＋Ｅ（ｒ）＝Ｃ（定数） ） ・ ｒ２θ＝ｈ（定数） （ ｒ Ｖ⊥ ＝ｈ（定数、角運動量） ） Ｖ⊥ 、Ｖｒ の関係 （ｒＶ⊥＝ｈ） ｒ⊿θ≒Ｖ⊥ ⊿ｔ ｄθ Ｖ⊥ ーー＝ーー ｄｔ ｒ → ｒｄθ＝Ｖ⊥ｄｔ ・ ｄθ Ｖ⊥ Ｖ⊥２ ｈ ω＝θ＝ーー＝ーー＝ーー＝ーー ｄｔ ｒ h ｒ２ Ｖｒ⊿ｔ≒⊿ｒ → Ｖｒｄｔ＝ｄｒ ・ ｄｒ ｄＶ⊥ Vr＝ r ＝ーー＝ー ーー ｄｔ ｄθ ・ V⊥=rθ ｄｒ ーー＝Ｖｒ ｄｔ Vｒ はーＶ⊥の角度微分 ｒＶ⊥＝ｈ → ¨ ・・ ｒθ＝－２ｒθ ・ Ｖ⊥＝ｒθ → ・ ｒ２θ＝ｈ ← ・ ・ ２¨ ２ｒ ｒ θ＋ｒ θ＝０ ・・ ¨ ２ ｒ θ＋ｒθ＝０ ・ ・・ ¨ Ｖ⊥＝ｒ θ＋ｒ θ ・・ ・・ ・・ ＝ｒ θー２ｒ θ＝－ｒ θ ｄＶ⊥ ｄｒ ｄθ ーーー＝ー ーー・ーー ｄｔ ｄｔ ｄｔ ｄＶ⊥ ｄｒ → ーーー＝ー ーー ｄθ ｄｔ エネルギー積分は １ ーー（ Ｖｒ２ ＋Ｖ⊥２）＋Ｅ＝Ｃ ２ エネルギー積分を両辺時間微分 ・ ・ ・ ＶｒＶｒ ＋ Ｖ⊥Ｖ⊥＋Ｅ＝０ エネルギー積分を角θで微分 ｄＶ⊥ ｄ２Ｖ⊥ ｄＶ⊥ ｄＥ ｄＶ⊥ ーー ーー ＋ Ｖ⊥ ーー ＋ ーー ーー ＝０ ｄθ ｄθ２ ｄθ ｄＶ⊥ ｄθ ｄＶ⊥ 共通因子 ーーー ≠ ０ で ｄθ ｄ ２ Ｖ⊥ ｄＥ ーー ＋ Ｖ⊥ ー ーー ＝０ ｄθ２ ｄＶ⊥ ｄＥ／ｄV⊥ の変形と軌道部分方程式 ｄＥ ｄＥ ｄｒ ｄ h Ah ーー ＝ ーー ーー＝A ーー（ーー）＝ー ーー ｄＶ⊥ ｄｒ ｄＶ⊥ ｄＶ⊥ Ｖ⊥ Ｖ⊥２ （Aは中心力加速度 A=ｄE／ｄｒ） よって 次の軌道微分方程式を得る。 ｄ２Ｖ⊥ h ーー ＋ Ｖ⊥ ー Aーーー ＝０ ｄθ２ Ｖ⊥ ２ 逆二乗＋逆三乗の場合（非ベキ型） 軌道微分方程式に代入 中心力加速度として Ｂ S V⊥２ V⊥ A＝―（１＋――） ＝Ｂ―― （１＋Ｓ―― ） ２ ２ ｒ ｒ ｈ ｈ （Ｂ，Ｓは定数（中心力定数）） を代入 ｄ２Ｖ⊥ Ｂ ＢＳ ――― ＋Ｖ⊥ － ―― － ――Ｖ⊥ ＝ ０ ｄθ２ ｈ ｈ２ 整理して ｄ２Ｖ⊥ ＢＳ Ｂ ――― ＋（１－ ――）Ｖ⊥ － ―― ＝ ０ ｄθ２ ｈ２ ｈ 軌道方程式の円運動 へ逆二乗＋逆三乗を代入 ｄ２U ーーー ＝ ０ ２ ｄθ より Ｕ３ Ｕ２ A＝ ーー＝ ーー (遠心力） ｈ Ｒ 右式右辺は円運動（基本円運動）の遠心力を表す （Ｕ＝回転速度、Ｒ＝基本円回転半径ｈ＝ＲＵ） 逆二乗＋逆三乗で基本円運動するとき Ｂ Ｓ Ｕ２ ーー（１＋ ーー） ＝ ーー ２ Ｒ Ｒ Ｒ 変形してｋへ置き換え Ｂ Ｓ Ｕ２ ーー（１＋ ーー） ＝ ーー ２ Ｒ Ｒ Ｒ Ｂ Ｕ２ ＢＳ ーー ＝ ーー ー ーー ２ Ｒ Ｒ Ｒ３ そこで 両辺 Ｕ２／Ｒ で割り （ｈ＝ＲＵ） Ｂ ＢＳ ２ ーー２ ＝ １ー ーーーー ＝ ｋ ＲＵ Ｒ２Ｕ２ Ｂ ＢＳ ２ ーー ＝ １ー ーーーー ＝ ｋ ｈＵ ｈ２ とおくと 逆二乗＋逆三乗の軌道微分方程式に代入 ｄ２Ｖ⊥ ＢＳ Ｂ ――― ＋（１－ ――）Ｖ⊥ － ―― Ｕ＝ ０ ｄθ２ ｈ２ ｈＵ ｄ２V⊥ ２（V －U） ＝ ０ ――― ＋ｋ ⊥ ｄθ２ これを解いた解の１例は Ｖ⊥＝ U（１－ｅｃｏｓｋθ） ｒ Ｒ ｋ＝１ 逆二乗 ＝ーーーーーー ｋ≒１ 近日点移動 １－ｅｃｏｓｋθ ｋ＝整数 多角星 Ｒ ｋ＝１ ｒ＝ーーーーーーー ｋ≒１ １－ｅｃｏｓｋθ ｋ＝整数 逆二乗、円錐曲線 近日点移動 多角星 逆二乗（ｋ＝１） Ｒ ｒ＝－－－－－－－－ １－ｅｃｏｓθ Ｕ： 基本円運動速度 角度θで回転 ｖ： （ ＝ｅＵ） 一定方向を向く ケプラーの第４法則？ といってもおかしくない Ｖ⊥： 絶対値 Ｕ（１ーｅｃｏｓθ） 動径垂直方向 Ｖ ｒ ： 絶対値 ｅＵｓinθ 動径方向 円錐曲線の接線定理（仮称） 「円錐曲線接線の任意 長さを動径垂直方向と 短軸方向へ分解した長 さ成分の比は常に円錐 曲線の離心率になる。」 例：楕円 離心率 ０＜ｅ＜１ 逆二乗＋逆三乗の解析 ｋ＝３／２ 逆二乗＋逆三乗の解析 ｋ＝２ 逆二乗＋逆三乗のベクトル分解 逆二乗＋逆三乗の中心力系では、動径垂直成分と 逆二乗＋逆三乗（ｋ≠１） Ｒ ｒ＝ －－－－－－－ １－ｅｃｏｓｋθ （１＋（ｋ－１）ｅｃｏｓｋθ）Ｕ ： 角度θで回転 ｋｅＵ ：大きさ一定、角度（ｋ－１）θで回転 Ｖ⊥： 絶対値 Ｕ（１ーｅｃｏｓｋθ） 動径垂直方向 Ｖ ｒ ： 絶対値 ｋｅＵｓinｋθ 動径方向 逆二乗＋逆三乗 ｋ＝１～４．５ ｓｔｅｐ ０．５ ベルトランの定理 アプス角１８０／ｍが引力中心からの距離に よらない（常に閉軌道になる）ためには、その 型はベキ型でなければならない。 一次の近似 ベキ型の中で満たされるべき引力法則は逆 二乗か調和型のどちらかである。 高次の近似 逆二乗＋逆三乗 アプス角 １８０／ｋ 動径垂直方向への進行から、次の動径垂直 方向への進行までの動径がつくる角 再び 軌道部分方程式 ｄ２ ｕ ｆ ｈ２ ーー ＋ ｈ２ｕ ー ーー ＝０ ｄθ２ ｕ２ Ｖ⊥ ＝ｈｕ（＝ＲＵ／ｒ） で置き換えると ｄ２Ｖ⊥ h ーー ＋ Ｖ⊥ ー Aーーー ＝０ ｄθ２ Ｖ⊥ ２ ベルトランの定理の場合（ベキ型のみ） 乱れた円運動 一次の近似 Ｖ⊥＝Ｕ＋ｘ （ｘ≪Ｕ） とおく （ｒ＝ｈ／Ｖ⊥ 半径の乱れ） 軌道微分方程式に代入、Ａ０を円運動の遠心力 （Ａ０＝Ｕ２／Ｒ） として ｈ＝ＲＵ＝Ｕ３／Ａ０ また ｄＶ⊥／ｄθ＝ｄｘ／ｄθ、 を用い Ｗ（Ｖ⊥ ）＝Ａ／Ｖ⊥２ として ｄ２ｘ Ｕ３ ーー ＋ Ｕ＋ ｘ ＝ーーＷ（Ｕ＋ｘ） ｄθ２ Ａ０ ベルトランの定理の場合（ベキ型のみ） 乱れた円運動 一次の近似２ Ｗ（Ｕ＋ｘ）の微分形から、次の近似ができる。 Ｗ（Ｕ＋ｘ）ーＷ（Ｕ） Ｗ‘（Ｕ＋ｘ） ≒ ーーーーーーーーーー ｘ これより Ｕ３ Ｕ３ ーーＷ（Ｕ＋ｘ）≒ーー（Ｗ（Ｕ） ＋ｘＷ‘（Ｕ＋ｘ）） Ａ０ Ａ０ ＵＷ‘（Ｕ） ＝Ｕ＋（ーーーーーー）ｘ Ｗ（Ｕ） ベルトランの定理の場合（ベキ型のみ） 乱れた円運動 一次の近似３ 軌道微分方程式 は次の近似ができる ｄ２ ｘ ＵＷ‘（Ｕ） ーー ＋ ｘ ー ーーーーー ｘ ≒ ０ ｄθ２ Ｗ（Ｕ） ＵＷ‘（Ｕ） ｍ２＝１ － ーーーーーーとおくと Ｗ（Ｕ） ｄ２ｘ ーー ＋ ｍ２ｘ ≒ ０ ｄθ２ ベルトランの定理 乱れた円運動 一次の近似４ ｍがＶ⊥ （ｈ／動径ｒ、含むＵ＝ｈ／基本円半径Ｒ）に 関係しなければアプス角は軌道半径によって変化しない。 この条件は ２ ＵＷ‘（Ｕ） Ｗ‘（Ｕ） １－ｍ ２ ｍ ＝１－ ーーーー より ーーーー＝ ーーー Ｖ⊥ Ｗ（Ｕ） Ｗ（Ｕ） この条件を満たすためには よって力は Ｗ（Ｖ⊥） ＝μＶ⊥１－ｍ２ Ａ＝μＶ⊥３－ｍ２ ＝μ／ｒ ベキ型になる。 ｍ２ー３ ベルトランの定理 乱れた円運動 高次の近似 一次の理論より中心力はベキ型とされ，さらに三次の理論から（ 途中省略） ２μ２Ｕ－２ｍ２－１ｍ４（ｍ２－１）（ｍ２－４）＝０ の条件が導かれる。この式を満たすｍは ｍ＝０（アプス角 無限大） → 逆三乗 ｍ＝１（アプス角 １８０°）→ 逆二乗 ｍ＝２（アプス角 ９０°）→ 調和型 の３っつでこのうちアプス角無限大はアプス角がないに等しい 結論２：ベキ型の中で満たされるべき引力法則は 逆二乗か調和型のどちらかである。 ｍ＝２ の一次の近似は近似的 調和型 を一次の近似で書き直すと ｄ ２ Ｖ⊥ ｄ２ ｘ ｘ＝Ｖ⊥－Ｕ、―――＝――― を用い ２ ２ ｄθ ｄθ ｄ２Ｖ⊥ Ｕ３ ―――＋Ｖ －Ｕ＋Ｕ（１－―――）＝０ ⊥ ｄθ２ Ｖ⊥3 ｄ２ ｘ ３Ｕ２ｘ ―――＋ｘ＋Ｕ（―――――）≒０ ｄθ２ （Ｕ＋ｘ）3 ｄ２ ｘ ｄ ２ｘ ２ｘ≒０ ―――＋ｘ＋３ｘ＝―――＋２ ｄθ２ ｄθ２ m=1 と m=0 は近似なしで成立 逆二乗 ｄ２Ｖ⊥ ―――＋Ｖ⊥－ Ｕ ＝０ ｄθ２ 一次の式 ｄ２ｘ ――― ＋ ｘ ＝ ０ ｄθ２ 逆三乗 一次の式 ｄ２Ｖ⊥ ―――＝０ ｄθ２ ｄ２ｘ ――― ＝０ ２ ｄθ 逆二乗＋逆三乗 〔恒等式、近似なし〕 ｄ２Ｖ⊥ ――― ＋ｋ２（Ｖ⊥－Ｕ） ＝ ０ ｄθ２ ベルトランの定理 一次の近似 〔ｘは十分に小さい、近似式〕 ｄ２ ｘ ２ｘ ≒ ０ ーー ＋ ｍ ｄθ２ Ｖ⊥ ＝U＋ｘだから 全く等価な式 である 光速渦による圧力差としての重力１ ＦＮ分子 １ Ｎｍ １ 圧力Ｐｒは Ｐｒ＝ーーー＝ー・ーー ・＜Ｖ２＞＝－ρ＜Ｖ２＞ ι２ ３ ι３ ３ （Ｎｍは立方体全質量、ι３は体積、密度ρ＝Ｎｍ／ι３） 圧力差（傾度力、単位水平距離に対する圧力の変化量）は Ｐｒ１－Ｐｒ２ １ （ρ１－ρ２） Ｆ傾度力＝ーーーーーー＝－－・ーーーーーー＜Ｖ２＞ Ｌ ３ Ｌ １ ｄρ Ｆ傾度力＝ρａ＝ーー・ーーー＜Ｖ２＞ ３ ｄＬ 光光 速速 渦エ テー ーテ ール 光速渦による圧力差としての重力 光速エ－テルの二乗平均速度 Ｃ２／２ 光速エ－テルの２乗平均速度＜Ｖ２＞を求めると、 仮定からの Ｖ＝Ｃｃｏｓθ を利用、ωを角速度として １ Ｔ １ Ｔ ＜Ｖ２＞＝－－∫ Ｖ２ｄｔ＝－－∫ Ｃ２ｃｏｓ２ωｔｄｔ Ｔ ０ Ｔ ０ Ｃ２ Ｔ Ｃ２ １ ＝－－∫ （１＋ｃｏｓ２ωｔ）ｄｔ＝－－［ｔ＋ーー ｓｉｎ２ωｔ］ ２Ｔ ０ ２Ｔ ２ω Ｃ２ ＝ーーー ２ Ｔ ０ 光速渦による圧力差としての重力３ 万有引力の法則（Ｌの逆二乗に比例）より ＧＭ ａ（Ｌ）＝－ ーー Ｌ２ 万有引力と光速エーテル二乗速度を傾度力に代入し ＧＭ １ ｄρ Ｃ２ ーρーー＝ーー・ーーー・ーー Ｌ２ ３ ｄＬ ２ 光速渦による圧力差としての重力４ 整理して ｄρ ６ＧＭ ｄＬ ーー ＝－ ーーー・ーー ρ Ｃ２ Ｌ２ Ｌが無限大（渦が巻かない平坦時の光速エーテル） のときの媒体密度をρ０として、両辺積分すると ６ＧＭ ｌｏｇρ－ｌｏｇρ０＝－ ーーー Ｃ２ Ｌ ６ＧＭ すなわち ρ（Ｌ）＝ｅｘｐ（－ ーーー )ρ０ Ｃ２ Ｌ 光速渦による圧力差としての重力５ 渦の中心に行く とき光速渦は 風船状に膨ら むその比率 ρ０ ／ρ ６ＧＭ ＝ｅｘｐ（ーーー） Ｃ２Ｌ 光速渦による圧力差としての重力６ 渦の中心に行くとき ρ０ ＧＭ ６ＧＭ ーーー Ａ ＝ ーーｅｘｐ（ーーー ) ２ ２ ρ（Ｌ） Ｌ Ｃ Ｌ ６ＧＭ／Ｃ２Ｌ≪１ のとき ρ０ ＧＭ ６Ｇ２Ｍ２ ーーー Ａ ≒ ーー ＋ ーーーー ρ（Ｌ） Ｌ２ Ｃ２Ｌ３ 逆二乗＋逆三乗の力が生まれる 光速渦による圧力差としての重力７ 近日点移動（閉型）の場合ｋは１よりわずかに小さく、 そのために近日点の位置が１回転で Δθ＝２π（１－ｋ） だけ回ることになる。 Ｂ＝ＧＭ、Ｓ＝６ＧＭ／Ｃ２ となるからｋは Ｒ Ｓ １／２ ｋ＝（ーーーー） ≒ １－ ーー （∵Ｓ≪Ｒ） Ｒ＋Ｓ ２Ｒ 従って πＳ ＝ーーーー ６πＧＭ Δθ＝２π（１－ｋ）≒ーーー Ｒ Ｃ２Ｒ これは、一般相対性理論で求められた値と全く一致。
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