PPT - KEK

クォーク物質におけるカラー強
磁性とカラー量子ホール状態
岩崎(二松学舎大）森松（KEK)
西川（KEK) 大谷（理研）
ハドロン相（閉じ込め相）
磁気的超伝導状態(カラー磁気単極子の凝縮）
カラー強磁性相（Savvidy vacuum）
バリオン数の
化学ポテンシャル
増大
（相互作用定数
減少）
カラー超伝導相
カラー磁場の凝縮と
グルーオンの量子ホール状態
クォークのクーパー対凝縮
（グルーオンによる引力）
（カラー強磁性相の崩壊？）
Color Ferromagnetic State
Spontaneous generation of color magnetic field, YB] 
with a quantum Hall state of the gluons
0
T
Quark-Gluon Plasma
観測されそう？
Hadron
現実世界
Color
Ferromagnetic
State YB]≠0
理論予想（もっとも
らしい？）
Color Superconducting
state
理論予想（もっともらしい）
m
SU（2)gauge theory の Savvidy 真空
カラー磁場 B = (0,0,B) に対する有効ポテンシャル
2
gluon   F   14 (  A   A ) 2  (   igA )Φ
1
4
gauge場
Aa の分解
3
color U(1) gauge field A  A
2
 ig (  A   A )ΦΦ 
g
4
2
(ΦΦ  ΦΦ ) 2
(異常磁気能率)
A1  iA2
charged vector fields Φ 
2
B    A ( A1  A3  A0  0, A2  x1B)
V（ｇB)
1ループ近似での有効ポテンシャル
11g 2 B 2
gB 1
ig 2 B 2
Veff ( B) 

ln 2  
2
48
Λ
2
8
自発磁場が存在する！！ (この結果は次の条件のもとで、
1ループ近似を超えて成り立つ）
しかし､この状態(Savvidy 真空)は不安定!! ( 虚部が存在 )
ｇB

1
g  ( g ) dg  
0
The instability of the Savvidy vacuum
 unstable modes of  m under the magnetic field B
D  DΦ  ig (  A   A )Φ  0
 Spectrum of the modes:
1
E2 (n, k )  2 gB
n   2 gB  k 2
2
(n=0, 1, 2, ; ± 1: spin; k=momentum // B)
 Unstable modes : Lowest Landau Level, n=0 with spin parallel to B
この不安定ﾓｰﾄﾞが励起され
安定な状態(?)を作る
E2 (n  0, | k | gB )  k 2  gB  0
 The most unstable modes are uniform in the direction // B
( k =0)
with (degeneracy for each n / area ) = gB/2.
Nielsen らによるスパゲッティー真空（閉じ込め真空？）が提案（１９７９）
（不安定モードの重ね合わせで、変分法的な安定点を求めた。）
この状態は不安定モードがウィグナー格子を作っていることになる。
 0,decays eventually into the stable state,  v
The unstable state, 
unstable modes  (k ) : E  m  k
The spatially uniform mode ( k=0 ) among them condenses.
2
2
2

In the gauge theory, the unstable mode couples with A :
2
g
21 | (   igA ) |2 2 gB |  |2 
|  |4
2l3
There is no such uniform state as  .v
Note that the unstable modes of gluons occupy the Lowest Landau level.
It reminds us that electrons in semiconductor’s quantum well
under strong magnetic field occupy the lowest Landau level.
The problem is how the gluons form the stable state.
A quantum Hall state has been known to have a finite gap
 absolutely stable and uniform.
Our
Our proposal
proposal
the
theSavvidy
Savvidyvacuum
vacuumisisstabilized
stabilizedininquark
quarkmatter
matterby
bythe
theformation
formationofof
a quantum
Hall state
the unstable
modes.modes.
a quantum
Hallofstate
of the unstable
( IWAZAKI and MORIMATSU, Phys.Lett. B571 61 (2003) )
To see it, we extract from gluon only
effectively
the most unstable modes: k=0  uniform in the direction // B. 
ｶﾗｰ磁場
2+1dim.
2
21
多
数
の
状
態
が
縮
退
 | (   igA ) | +2gB
2 gB |  |2 
2
where


g
|  |4
2l3
l3
  (Φ1  iΦ2 )
,
2
l3
B
“ l3 ” length scale of a domain
( D1  iD2 )0
p 2
2n
With LLL condition:
  exp( 
gB
( x1 
)  ipx 2 ),
2
gB
p
l3
, (n  integer )
The negative mass term -2gB
( If A =0 , potential from 2+1 has the typical double well.)
 0 is unstable.

Quantum Hall states of electrons : von Klitzing, Phys. Rev. Lett. 45 (1980) 494
Fractional quantum Hall states : Tsui et. al, Phys. Rev. Lett. 48 (1982) 1559
Field theoretically, the quantum Hall states are described by
Chern-Simons gauge theory.
量子ﾎｰﾙ状態を記述するﾗｸﾞﾗﾝｼﾞｱﾝ
ﾎﾞｿﾝ化された電子場
Ezawa, Iwazaki and Hotta, Phys. Rev. B (1992)
磁場
m
1

2
  Φ (i

eA

a
)
Φ

|
(

i


e
A

a
)
Φ
|

a m a  Coulomb Int.
t
0
0
2M
4
m
a
 m Φ
Φ
2 
ｍ
 m : odd integer for fermion
m=1, 3, 5, , ,
Chern-Simons flux
2πm
=
y
x
electron
 ( x, y )   ( y, x)  exp( im ) ( x, y )
bosonized electron
Quantum Hall effects of electrons
Bz
Hall resistance: rxy = Vy / Jx has plateau
Al-GaAs
Jx
Vy
GaAs
E

Φ
Φ
1
 


@ filling factor 
eB / 2 m
m : odd integer
( e: Fermion )
Integer QHE:
Finite gap of Landau levels with width by impurities.
Anderson localization, Hopping for rxx …
3wc/2
wc/2
Fractional QHE
Laughlin States, vortex excitation with fractional charge,
hierarchy …

量子ﾎｰﾙ状態はボソン化された電子場の
凝縮状態として記述される
   0
この解は、次の条件を満たすときのみ
存在する
電子密度
eAi  ai , or eB    a  2m |  |
2
磁場と Chern-Simons flux の相殺
すなわち
磁場の強さと電子密度が次の関係を満たすときに
量子ホール状態が現れる
filling factor=ν=電子密度∕縮退度；（１つのランダウレベルに電子が占める割合）
|  |2 /( eB / 2 )  1 / m  1, 1 / 3, 1 / 5, , ,
filling factor ν=1∕m

Chang et.al, Phys. Rev. Lett. 53 (1984) 997
1
m
Willett et.al. Phys. Rev. Lett. 59 (1987)
1776.
Chern-Simons gauge theory for the Quantum Hall states of
gluons. Chern-Simons flux
am
2πm ( describing boson statistics )
original unstable gluons
=
composite gluon

C
g2
1 
CS | (   igA  ia  )c | 2 gB | c | 
| c |4 
 a  a ;
2l3
4 m
2
 Quantum Hall states :
c vc ,
2
m=even
integer
ai  gAi ⇦この条件が満たされる時
(Chern-Simons gauge field cancels the magnetic field.)
The non-trivial
gB
2
color charge density of the condensed gluons:  c  2a0 vc 
Quark matter is a supplier of the color charge.
2 m
ｍ(=2,4,8,,,)の値によって様々な(カラー電荷密度の異なる）量子ホール状態が可能
“In the quark matter, color ferromagnetic state(Savvidy vacuum ) is
stabilized by the formation of gluons quantum Hall state.”
この量子ホール状態上のすべての不安定モードは消える！！
Savvidy真空における不安定モードは
最低ランダウレベルにあり、それの励起で安定
な分数量子ホール状態が生まれる。これは、
ヒッグスポテンシャルにおいて、スカラー場の期
待値‹Φ›=0 の不安定状態で励起された不安
定モードから、安定な状態‹Φ›=V≠0が生まれ
るのと類似である。
このグルーオンの量子ホール状態はカラー電荷
を持っている。それは、クォーク物質から供給
されるべきものである。
カラー電荷密度＝gB/2πm for ν=1/mの量子
ホール状態；カラー電荷密度→0 as ν=1/m→∞
quark matter without gluon condensation
q(+)→→ q(-) + gluon(2+)
q(+)
q(+)
q(+)
q(+)
q(-)
q(-)
q(-)
q(-)
color magnetic field
q(+)
q(-)
q(+)
q(-) q(-) q(-) q(-) q(-)
gluon condensate
quark matter with quantum Hall state of gluons
Gluonのカラー電荷密度の半分＜クォーク数密度
量子ホール状態が出来るためには、クォーク数密度には下限がある
化学ポテンシャル＞５５０MeV for √gB>800MeV and ν=1/2
カラー電荷密度→0 の量子ホール状態は不安定で
あり、ハドロン相（閉じ込め真空）になるであろう。
実際、カラー電荷密度の小さいときは、グルーオンは
量子ホール状態でなく、ウィグナー格子を作ると思われる。
(flux condensation; Ambjorn and Olesen)
Lowest Landau level
にある波動関数の重ね合わせ
p 2
   a exp(  gB( x1 
)  ip n x2 ),
gB
n int eger
localized gluon state
(Wigner crystal)
or spaghetti vacuum
(a confining vacuum)
Nielsen and Ninomiya, Nucl.Phys. B156,1 (1979)
Nielsen and Olesen, Nucl.Phys. B160, 380 (1979)
2n
pn 
l3
量子ホール状態中でのクォークの振る舞い
iD 
iD 




 m q  g q  0
ｶﾗｰ磁場

 m q  gq  0
 q 
q   
 q 


iD   i    gA / 2
gluon condensate =Φ
spin=  1
spectrum for Φ=0; n=0,1,2, , ,
E 2  gB(n  1 / 2   3 / 2)  m 2  k 2
Exact result for Φ≠v
Result for Φ=0
E 2  4 gB  m 2
E 2  gB  m2
E 2  2 gB  m2
P=0
P 磁場に垂直成分
P に対して縮退
E 2 (n  0,  3  1)  m 2
P=ー∞
P に対して縮退
（ q(+) と q(-) の mixing の結果）
基底状態はグルーオン凝縮の影響を受けない !!
P=＋∞
強磁性相の崩壊
q(+)
q(-)
hadron
q(+) q(-) q(+) q(+)
Hadron中でのmomentum
p = 1∕(hadron size)≈300MeV
q(+) q(-) q(+) q(+)
q(+)
q(-)
hadron
強磁性相中でのｑｕａｒｋの
momentum k
2 2 

(800MeV ) 2
k
 173MeV (
)(
)  p  300MeV
3
gBf
1.4 fm
gB
クォーク密度; ρ
フレイバー数; f=2
強磁性相にあるクォーク物質は、
ｇＢが大きい（～１ＧｅＶ）とハドロン化しにくい
まとめ
（１）Savvidy vacuum<gB>≠0は、gluonが量子ホール状態を作るこ
とで、安定化する。
（２）量子ホール状態は、クォーク物質中で実現し、その時の化学ポ
テンシャルは、550ＭｅＶ以上である。
2
gB

(
800
MeV
)
但し、
。
（３）強磁性相にあるクォーク物質は、そのクォーク密度が核子のそ
れと同じか、少し大きいほどである限り、ハドロンへの崩壊振幅は
小さい。
（４）化学ポテンシャルの小さな系でのgluonは、量子ホール状態よ
りは、より安定なウィグナー格子をつくる。
おそらく、ウィグナー格子の大きなゆらぎで、スパゲッティー真空が
閉じ込め相として実現するであろう？

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