演習(6)解答例
１．次の完全型微分方程式を解きなさい．
(a) (x + 4y)dx + (4x+3y)dy = 0
[2 点]
(b) 2 xe y + 1 dx + x 2 e y + 2 y dy = 0
[3 点]
(
)
(
)
【解】
∂Φ
∂Φ
(a)
= x + 4y ,
= 4 x + 3 y を満たすΦを求める．第１式を x で積分すると
∂x
∂y
Φ=
1 2
x + 4 xy + f ( y )
2
（f(y)は y の任意関数）
これを第２式に代入すると，
∂Φ
= 4 x + f ′( y ) = 4 x + 3 y ，すなわち
∂y
これより， f ( y ) =
Φ=
f ′( y ) = 3 y
3 2
y なので，
2
(
1 2
3
1
x + 4 xy + y 2 = x 2 + 8 xy + 3 y 2
2
2
2
)
を得る．すなわち，求める解は x 2 + 8 xy + 3 y 2 = C （C は任意定数）．
∂Φ
∂Φ
(b)
= 2 xe y + 1 ，
= x 2 e y + 2 y を満たすΦを求める．第１式を x で積分すると
∂x
∂y
Φ = x 2e y + x + f (y)
（f(y)は y の任意関数）
これを第２式に代入すると，
∂Φ
= x 2 e y + f ′( y ) = x 2 e y + 2 y ，すなわち
∂y
f ′( y ) = 2 y ， f ( y ) = y 2
以上の結果より， Φ = x 2 e y + x + y 2 を得る．求める解は x 2 e y + x + y 2 = C （C は任意定数）．
微分方程式 2016

演習(6)

常微分方程式及び演習 第7回 解答