Blatt 11 - Userpage

Übungen zur Vorlesung Elementargeometrie“
”
SS 2016
A. Rincón, A. Schmitt
Übungsblatt 11 (letztes Blatt in der Wertung)
Abgabe: Bis Dienstag, den 12.07.2016, 14Uhr
Aufgabe 1 (Zum Standardmodell der euklidischen Geometrie; 10 Punkte).
Es seien (E , G, d, w) eine euklidische Geometrie, Ge die übliche Menge von Geraden
in R2 und e : R2 × R2 −→ R die euklidische Distanzfunktion auf R2 . Beweisen Sie,
dass es eine bijektive Abbildung κ : E −→ R2 gibt, die folgende Eigenschaften hat:
• ∀g ∈ G: κ (g) ∈ Ge . (Das Bild einer Geraden ist eine Gerade.)
• ∀A, B ∈ E : d(A, B) = e(κ (A), κ (B)). (Die Abbildung κ erhält Abstände.)
Aufgabe 2 (Zum Strahlensatz; 3+7 Punkte).
Es seien (E , G, d, w) eine euklidische Geometrie und A, B,C, D, P ∈ E nicht kollineare
Punkte, so dass
• A ∗ P ∗ B,
• C ∗ P ∗ D,
←
→ ←
→
• ACkBD.
a) Fertigen Sie eine Skizze der gegebenen Konfiguration an.
b) Es gelte d(B, D) = 15, d(C, P) = 6 und d(D, P) = 10. Bestimmen Sie
d(A, P)
.
d(B, P)
Aufgabe 3 (Der Ähnlichkeitssatz SSS; 10 Punkte).
Es seien (E , G, d, w) eine euklidische Geometrie und △ABC und △DEF Dreiecke, so
dass
d(A,C)
d(B,C)
d(A, B)
=
=
.
d(D, E) d(D, F) d(E, F)
Zeigen Sie
△ABC ∼ △DEF.
Aufgabe 4 (Die Umkehrung des Satzes von Pythagoras; 10 Punkte).
Es seien (E , G, d, w) eine euklidische Geometrie und △ ⊂ E ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c. Es gelte
a2 + b2 = c2 .
Beweisen Sie, dass △ einen rechten Winkel enthält und c die Länge der Seite ist, die
dem rechten Winkel gegenüberliegt.

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