年 番号 1 ボタンを 1 回押すたびに 1; 2; 3; 4; 5; 6 のいずれかの数字が 1 つ画面に表示される機械があ 1 であり，Q 以外の数字が表示される確率 k はいずれも等しいとする．ただし，k は k > 6 を満たす自然数とする． る．このうちの 1 つの数字 Q が表示される確率は ボタンを 1 回押して表示された数字を確認する試行を繰り返すとき，1 回目に 4 の数字，2 回目 8 に 5 の数字が表示される確率は，1 回目に 5 の数字，2 回目に 6 の数字が表示される確率の 5 倍である．このとき， (1) Q は 59 であり，k は 60 2 氏名 以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい． (1) 1 から 13 までの整数が 1 つずつ書かれた 13 枚のカード の中から 3 枚を選ぶとき，偶数が書か れたカードが 2 枚以上含まれる選び方は あ 通りであり，11 以上の数が書かれたカードが 少なくとも 1 枚含まれる選び方は い 通りである． p (2) ® = 2 + 5 とするとき，® を解とし，整数を係数とする 2 次方程式 x2 + a1 x + b1 = 0 を求め ると a1 = ，b1 = う え である．また自然数 n に対して，®n を解とし，整数を係数と する 2 次方程式を x2 + an x + bn = 0 とすると，bn = である． (2) この試行を 3 回繰り返すとき，表示された 3 つの数字の和が 16 となる確率は お であり，a2n + a2n = か で ある． (3) 実数 m に対して 61 64 62 65 63 66 67 A(m) = Z 1 0 x(ex ¡ m)2 dx である． (3) この試行を 500 回繰り返すとき，そのうち Q の数字が n 回表示される確率を Pn とおくと，Pn の値が最も大きくなる n の値は 68 69 とおくと，関数 A(m) は m = き のとき最小値 く をとる． （ 慶應義塾大学 2014 ） である． （ 慶應義塾大学 2015 ） 3 正六角形 ABCDEF の頂点 D と正六角形の外部の点 G を線分で結んだ下のような図形がある． 4 1 個のさいころを繰り返し投げて次のルールで持ち点を変えていく． 動点 P はこの図形の線分上を動き，点から点へ移動する．動点 P の隣接する点への移動には 1 ルール 秒間を要する．また，隣接する点が複数あるときは，等しい確率でどれか 1 つの点に移動する 1; 2; 3 の目のどれかが出たとき，持ち点に 1 点を加える． ものとする． 4; 5 の目のど ちらかが出たとき，持ち点に 2 点を加える． 6 の目が出たとき，持ち点をすべて失い 0 点とする． いま，はじめの持ち点は 0 点とする． (1) さいころを 2 回投げたときの持ち点の期待値は ケ である． (2) さいころを 4 回投げたとき持ち点が 2 点以上となる確率は (3) さいころを 4 回投げたとき持ち点が 4 点となる確率は サ コ である． である． 1 ， 3 という関係式が成り立 (4) さいころを n 回投げ たとき持ち点が 0 でない偶数となる確率を Pn とする．P1 = P2 = (1) 動点 P が A から出発して 4 秒後に G にいる確率は (2) 動点 P が A から出発して 5 秒後に D にいる確率は 53 54 55 56 57 58 59 シ である．また，Pn+1 と Pn の間には Pn+1 = つ．これより Pn を n を用いて表すと Pn = である． ス となる． セ （ 慶應義塾大学 2014 ） である． (3) 動点 P が A から出発して D に到達した時点で移動を終了するとき，2n + 1 秒以内に移動を終 n n 60 ¡ 61 である．ただし，n は自然数とする． 了する確率は n 62 5 n を自然数とする．赤玉が n 個，青玉が 2 個，白玉が 1 個入った袋がある． （ 慶應義塾大学 2014 ） (1) 袋から同時に 2 個の玉を取り出す．n = 31 32 のとき，取り出された 2 個の玉に含まれ 7 である． る赤玉の個数の期待値は 4 (2) 袋から玉を 1 個取り出し，色を調べてから元に戻すことを 10 回くり返す． ‘ n = 5 のとき，青玉が 9 回以上出る確率は 33 34 410 である． ’ 調べた色を順に記録してできる色の列のうちで 「赤が 8 個以下，または 3 番目が青か白」 であるものの総数は 310 ¡ 35 36 である． （ 慶應義塾大学 2014 ）
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