6.1 Für f˜(z) = f (−z) gilt f˜′ (z) = −f (−z) und daher für 0 < r < 1 Z 1 f (−ξ) ′ f (0) = − dξ. 2πi |ξ|=r ξ 2 Damit folgt 1 2|f (0)| ≤ 2π ′ Z |ξ|=r 1 −1 |f (ξ) − f (−ξ)| dξ ≤ dr · 2π. |ξ 2 | 2π Da dies für alle 0 < r < 1 gilt, folgt die behauptete Abschätzung. 6.2 Die Reihe von f ist f (z) = ∞ X z 2n n=0 n! , daher 1000! . 500! 6.3 Wir erhalten durch eine einfache Abschätzung der Cauchyschen Integralformel n! Z f (ξ) dξ (n) |f (z0 )| = 2πi C (ξ − z0 )n+1 Z 2π n! 1 n! kf kC kf kC R−n · 2π. R dt ≤ ≤ n+1 2π R 2π 0 f (1000) (0) = 1000! a1000 = 6.4 Mit der geometrischen Reihe folgt ∞ X 1 = z n , |z| < 1, 1−z n=0 1 1 1 =− 1−z z1− 1 z =− ∞ X z −(n+1) , |z| > 1. n=0 Daher ∞ 1 dk 1 1 dk X n 1 z = = (1 − z)k+1 k! dz k 1 − z k! dz k n=0 ∞ ∞ X 1 X n n−k n−k z n(n − 1) . . . (n − k + 1)z = = k k! n=k n=k und analog ∞ 1 1 dk 1 (−1)k+1 X = = (n + 1)(n + 2) . . . (n + k)z −(n+1+k) k+1 k (1 − z) k! dz 1 − z k! n=0 = (−1) k+1 ∞ X n+k n=0 k z −(n+1+k) . 6.5 sin πz hat im von der Kurve eingeschlossenen Bereich einfache Nullstellen für z = −1, 0, 1. Nach einem Beispiel aus der Vorlesung sind dann die Residuen Resz=−1 f (z) = e−1 1 =− , π cos(−π) eπ 1 e0 = , π cos 0 π e e Resz=1 f (z) = =− . π cos(π) π Resz=0 f (z) = Für die Windungszahlen gilt n(C, −1) = n(C, 1) = 1, n(C, 0) = −1. Nach dem Residuensatz erhalten wir Z 1 ez dz = −2i + 1 + e . e C sin πz