Biholomorphismengruppen spezieller Gebiete

BIHOLOMORPHE ABBILDUNGEN II
Für ein Gebiet G bezeichnen wir mit Aut(G) die Menge aller biholomorphen Abbildungen f : G → G. Diese Menge ist eine Gruppe mit
Verknüpfung als Komposition. Anders als die Gruppen der Homöomorphismen
und Diffeomorphismen, die immer sehr sehr gross sind (meistens ”unendlich dimensional”), sind die Gruppen der Bihomlomorphismen meistens ”sehr klein”. Wir werden jetzt einige davon bestimmen.
Lemma 0.1. Aut(C∗ ) besteht aus allen Abbildungen der Form f (z) =
az und f (z) = az , mit a ∈ C ∗ .
Beweis. Jede Abbildung der angegebenen Form ist ein Biholomorphismus von C∗ nach C∗ mit Umkehrung g(z) = a−1 z bzw. g(z) = az −1 .
Wir haben in den Hausaufgaben gesehen, dass jede injekitve holomorphe Abbildung f : C∗ → C∗ die Form f (z) = a1 z + a0 + a−1 z −1 hat ,
wobei a1 oder a−1 gleich 0 ist. Da 0 nicht im Bild von f liegen darf,
muss a0 = 0 gelten. Daraus folgt die Behauptung.
Lemma 0.2. Aut(C) besteht aus allen Abbildungen der Form f (z) =
az + b mit a ∈ C∗ und b ∈ C.
Beweis. Jede Abbildung der angegebenen Form ist ein Biholomorphismus von C nach C. Ist f ∈ Aut(C) gegeben, so ist die Einschränkung
f : C∗ → C injektiv, hat also die Form f (z) = a1 z + a0 + a−1 z −1 . Da f
in 0 keinen Pol hat, muss a−1 = 0 gelten. Andererseits ist a1 ungleich
0, sonst wäre f konstant.
Bevor wir die Gruppe der Biholomorphismen der Einheitskreisscheibe
D = D1 (0) bestimmen, zwei Hilfslemmata:
Lemma 0.3. Sei w ∈ D. Dann ist die Abbildung sw (z) =
Biholomorphismus. Ferner gilt sw (0) = w und sw (w) = 0.
z−w
w̄·z−1
ein
1
Beweis. sw ist holomorph in Dr (0) mit r = |w̄|
> 1. Ferner gilt für z
mit |z| = 1 die Gleichheit
z−w
z̄ − w̄
|sw (z)|2 =
·
=1,
w̄ · z − 1 w · z̄ − 1
wie man nach Multiplikation der oberen Zeile mit 1 = z · z̄ erkennt.
Nach dem Maximumssatz muss |sw (z)| < 1 für z ∈ D gelten, d.h.,
sw (D) ⊂ D. Ferner gilt sw ◦ sw (z) = z, wie man aus einer Hausaufgabe
1
oder durch direkte Rechnung verifiziert. Folglich ist sw : D → D
injektiv und surjektiv, also ein Biholomorphismus.
Die letzten beiden Gleichungen verifiziert man durch Einsetzen. Lemma 0.4. Die Elemente f ∈ Aut(D) mit f (0) = 0 sind genau
die Drehungen, d.h., Abbildungen der Form f (z) = Ru (z) = u · z mit
|u| = 1.
Beweis. Jede Drehung Ru hat die angegebenen Eigenschaften. Ist andererseits, ein f ∈ Aut(D) mit f (0) = 0 gegeben, so folgern wir aus
dem Lemma von Schwarz |f 0 (0)| ≤ 1 und |(f −1 )0 |(0) ≤ 1. Folglich
gilt |f 0 (0)| = 1. Dann ist f eine Drehung nach dem Gleichheitsfall im
Lemma von Schwarz.
Nun können wir beweisen:
PROPOSITION 0.5. Die Gruppe Aut(D) besteht aus allen Kompositionen f = Ru ◦ sw wobei |u| = 1 und w ∈ D beliebig sind.
Beweis. Jede Drehung Ru und ”Spiegelung” sw ist enthalten in Aut(D)
also auch jede Komposition von solchen. Andererseits sei f ∈ Aut(D)
beliebig. Setze w = f −1 (0). Dann gilt f ◦ sw (0) = 0. Also gilt f ◦ sw =
Ru für eine Drehung Ru . Die Aussage ergibt sich durch Verknüpfung
mit (sw )−1 = sw auf beiden Seiten.
Wir haben gesehen, dass die Gruppen Aut(D), Aut(C ∗ ) und Aut(C)
durch ”endlich viele Parameter beschrieben sind”. Dennoch sind all
diese Gruppen gross genug um jedes Element aus dem Gebiet auf
jedes andere Element abzubilden (Hausaufgaben). Wir werden in den
Hausaufgaben Beispiele von Gebieten sehen, die noch viel weniger Biholomorphismen besitzen.
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