微分積分学および演習Ⅰ 演習問題 5
2016 年度前期
工学部・未来科学部 1 年
担当: 原 隆 (未来科学部数学系列・助教)
演習課題
Exercises in class ※ ∗ 印の付いた問題は、少し難易度が高めです。
問題 5-1. (色々な関数のマクローリン展開)
以下の関数のマクローリン展開 (x = 0 のまわりでのテイラー展開) を x3 の項まで求めなさい。
答えは f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + . . . という形で書くこと (剰余項は計算しなくても良い)。
(1)
(4)
√
4−x
(
)
1
f (x) = cos x − π
3
f (x) =
2
(7)
f (x) = ex
(10)
f (x) = cosh(x)
ex + e−x
=
2
1
−3
(2)
f (x) =
(5)
f (x) = log(1 + x + x2 ) (6)
√
2
3 1 + x
f (x) = log
(9)
1−x
(8)
(11)∗
x2
f (x) = xex
(3)
1
f (x) = (1 + x2 ) 5
f (x) = esin x
(12)∗
f (x) = Arcsin (x)
f (x) = Arctan (x)
f ′ (x) のマクローリン展開の 積分 を考えてみよう。
【ヒント】 (11), (12)
問題 5-2. (関数の値の近似計算)
関数の x2 の項までのマクローリン近似を利用して以下の関数値を近似計算しなさい。可能ならば
誤差の評価 (剰余項の評価) にも挑戦してみよう。
(1)
e0.1
(2) sin(0.2)
(3)
√
4
1.15
(4)
log(0.95)
問題 5-3. (不定形の極限)
以下の関数の極限値を計算しなさい。
(1)
(4)
(7)
x − sin x
x→0
x3
lim
(2)
1
lim x(e x − 1) (5)
x→+∞
sin x
x→0 ex − e−x
lim
(8)
ex − sin x − cos x
x→0
x2
√
7
1+x−1
lim
x→0
x
log(1 + x3 ) − x3
x→0
x6
√
3
1 + x − 1 − 31 x
(6) lim
x→0
cos x − 1
lim
(3)
esin x − x − cos x
x→0
log(1 + x2 )
(9)
lim
lim
lim x log x
x→+0
問題 5-4. (関数の増減・凹凸とグラフの概形)
以下の関数の増減、凹凸を調べ、そのグラフの概形を描きなさい。
(1) f (x) = xe−x
(2)
f (x) =
x2
x
+4
(3) f (x) = e−x cos(x) (0 ≤ x ≤ 2π)

H23年度 後期 授業時間割表 【工学部第二部 情報通信工学科】