Singulärer Punkt einer komplexen Differentialgleichung Die Differentialgleichung r (z)u 00 (z) + q(z)u 0 (z) + p(z)u(z) = 0 hat bei z = a einen regulären singulären Punkt, wenn q/r einen Pol höchstens erster und p/r einen Pol höchstens zweiter Ordnung bei z = a haben. In einem regulären singulären Punkt a wird das Verhalten der Lösungen u durch die charakteristische Gleichung ϕ(λ) = λ(λ − 1) + q0 λ + p0 = 0 bestimmt, wobei q0 und p0 die führenden Koeffizienten von q/r bzw. p/r sind, d.h. q0 + q1 (z − a) + · · · q(z) = , r (z) z −a p(z) p0 + p1 (z − a) + · · · = . r (z) (z − a)2 Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 1-1 Ist die Differenz der Nullstellen α, β von ϕ nicht ganzzahlig, so existieren zwei linear unabhängige Lösungen (z − a)α v (z), (z − a)β w (z) , wobei v und w in einer Umgebung von a analytische Funktionen mit v (a), w (a) 6= 0 sind. Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 1-2 Ist die Differenz der Nullstellen α, β von ϕ nicht ganzzahlig, so existieren zwei linear unabhängige Lösungen (z − a)α v (z), (z − a)β w (z) , wobei v und w in einer Umgebung von a analytische Funktionen mit v (a), w (a) 6= 0 sind. Sonst existiert im Allgemeinen nur eine Lösung dieses Typs zu dem Exponenten α mit dem größten Realteil. Eine zweite Lösung kann dann durch Variation der Konstanten, d.h. mit dem Ansatz u(z) = c(z)(z − a)α v (z) bestimmt werden. Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 1-3 Beweis: formale Rechtfertigung des Lösungstyps, o.B.d.A. a = 0, r (z) = 1 Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 2-1 Beweis: formale Rechtfertigung des Lösungstyps, o.B.d.A. a = 0, r (z) = 1 Ansatz u(z) = z λ (u0 + u1 z + · · · ) Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 2-2 Beweis: formale Rechtfertigung des Lösungstyps, o.B.d.A. a = 0, r (z) = 1 Ansatz u(z) = z λ (u0 + u1 z + · · · ) Einsetzen in die Differentialgleichung u 00 (z) = λ(λ − 1)u0 z λ−2 + (λ + 1)λu1 z λ−1 + · · · 1 0 u (z)q(z) = λu0 z λ−2 + (λ + 1)u1 z λ−1 + · · · (q0 + q1 z + · · · ) z 1 λ−2 λ−1 u(z)p(z) = u z + u z + · · · (p0 + p1 z + · · · ) 0 1 z2 Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 2-3 Beweis: formale Rechtfertigung des Lösungstyps, o.B.d.A. a = 0, r (z) = 1 Ansatz u(z) = z λ (u0 + u1 z + · · · ) Einsetzen in die Differentialgleichung u 00 (z) = λ(λ − 1)u0 z λ−2 + (λ + 1)λu1 z λ−1 + · · · 1 0 u (z)q(z) = λu0 z λ−2 + (λ + 1)u1 z λ−1 + · · · (q0 + q1 z + · · · ) z 1 λ−2 λ−1 u(z)p(z) = u z + u z + · · · (p0 + p1 z + · · · ) 0 1 z2 Vergleich der Koeffizienten von z λ−2 charakteristische Gleichung ϕ(λ)u0 = 0 Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 2-4 Nullstellen λ von ϕ nicht triviale Lösungen (u0 6= 0) Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 2-5 Nullstellen λ von ϕ nicht triviale Lösungen (u0 6= 0) Vergleich der Koeffizienten von z λ−2+k Rekursion ϕ(λ + k)uk = ψ(u0 , . . . , uk−1 ) , k > 0, mit ψ(u0 , . . . , uk−1 ) = −(λqk u0 + (λ + 1)qk−1 u1 + · · · + (λ + k − 1)q1 uk−1 ) −(pk u0 + pk−1 u1 + · · · + p1 uk−1 ) Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 2-6 Nullstellen λ von ϕ nicht triviale Lösungen (u0 6= 0) Vergleich der Koeffizienten von z λ−2+k Rekursion ϕ(λ + k)uk = ψ(u0 , . . . , uk−1 ) , k > 0, mit ψ(u0 , . . . , uk−1 ) = −(λqk u0 + (λ + 1)qk−1 u1 + · · · + (λ + k − 1)q1 uk−1 ) −(pk u0 + pk−1 u1 + · · · + p1 uk−1 ) qν uk−ν , pν uk−ν : Summe der Indizes = k z ν z k−ν+λ−2 = z λ−2+k =⇒ Koeffizient von Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 2-7 Nullstellen λ von ϕ nicht triviale Lösungen (u0 6= 0) Vergleich der Koeffizienten von z λ−2+k Rekursion ϕ(λ + k)uk = ψ(u0 , . . . , uk−1 ) , k > 0, mit ψ(u0 , . . . , uk−1 ) = −(λqk u0 + (λ + 1)qk−1 u1 + · · · + (λ + k − 1)q1 uk−1 ) −(pk u0 + pk−1 u1 + · · · + p1 uk−1 ) qν uk−ν , pν uk−ν : Summe der Indizes = k =⇒ Koeffizient von z ν z k−ν+λ−2 = z λ−2+k Koeffizienten sukzessive bestimmbar, falls ϕ(λ + k) 6= 0 ∀ k Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 2-8 Nullstellen λ von ϕ nicht triviale Lösungen (u0 6= 0) Vergleich der Koeffizienten von z λ−2+k Rekursion ϕ(λ + k)uk = ψ(u0 , . . . , uk−1 ) , k > 0, mit ψ(u0 , . . . , uk−1 ) = −(λqk u0 + (λ + 1)qk−1 u1 + · · · + (λ + k − 1)q1 uk−1 ) −(pk u0 + pk−1 u1 + · · · + p1 uk−1 ) qν uk−ν , pν uk−ν : Summe der Indizes = k =⇒ Koeffizient von z ν z k−ν+λ−2 = z λ−2+k Koeffizienten sukzessive bestimmbar, falls ϕ(λ + k) 6= 0 ∀ k Bei ganzzahliger Differenz der Nullstellen α, β von ϕ, α = β + m mit m ∈ N ist dies nur für den Exponenten α mit größerem Realteil möglich. Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 2-9 Nullstellen λ von ϕ nicht triviale Lösungen (u0 6= 0) Vergleich der Koeffizienten von z λ−2+k Rekursion ϕ(λ + k)uk = ψ(u0 , . . . , uk−1 ) , k > 0, mit ψ(u0 , . . . , uk−1 ) = −(λqk u0 + (λ + 1)qk−1 u1 + · · · + (λ + k − 1)q1 uk−1 ) −(pk u0 + pk−1 u1 + · · · + p1 uk−1 ) qν uk−ν , pν uk−ν : Summe der Indizes = k =⇒ Koeffizient von z ν z k−ν+λ−2 = z λ−2+k Koeffizienten sukzessive bestimmbar, falls ϕ(λ + k) 6= 0 ∀ k Bei ganzzahliger Differenz der Nullstellen α, β von ϕ, α = β + m mit m ∈ N ist dies nur für den Exponenten α mit größerem Realteil möglich. Für den anderen Exponenten β ist die Rekursionsgleichung ϕ(β + m)um = ψ(u0 , . . . , um−1 nur erfüllbar, falls die rechte Seite ebenfalls null ist. Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 2-10 Beispiel: Euler-Differentialgleichung z 2 u 00 (z) + qz u 0 (z) + p u(z) = 0 Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-1 Beispiel: Euler-Differentialgleichung z 2 u 00 (z) + qz u 0 (z) + p u(z) = 0 z = 0: regulärer singulärer Punkt Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-2 Beispiel: Euler-Differentialgleichung z 2 u 00 (z) + qz u 0 (z) + p u(z) = 0 z = 0: regulärer singulärer Punkt Ansatz u(z) = z λ Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-3 Beispiel: Euler-Differentialgleichung z 2 u 00 (z) + qz u 0 (z) + p u(z) = 0 z = 0: regulärer singulärer Punkt Ansatz u(z) = z λ Einsetzen charakteristische Gleichung ϕ(λ) = λ(λ − 1) + qλ + p = λ2 + (q − 1)λ + p = 0 Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-4 Beispiel: Euler-Differentialgleichung z 2 u 00 (z) + qz u 0 (z) + p u(z) = 0 z = 0: regulärer singulärer Punkt Ansatz u(z) = z λ Einsetzen charakteristische Gleichung ϕ(λ) = λ(λ − 1) + qλ + p = λ2 + (q − 1)λ + p = 0 drei qualitativ verschiedene Fälle je nach Typ der Nullstellung von ϕ Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-5 (i) Verschiedene Exponenten λ1 6= λ2 : Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-6 (i) Verschiedene Exponenten λ1 6= λ2 : z.B. q = 0, p = −6, d.h. ϕ(λ) = λ2 − λ − 6 mit den Nullstellen λ1 = −2, λ2 = 3 Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-7 (i) Verschiedene Exponenten λ1 6= λ2 : z.B. q = 0, p = −6, d.h. ϕ(λ) = λ2 − λ − 6 mit den Nullstellen λ1 = −2, λ2 = 3 Lösung u(z) = c1 frac1z 2 + c2 z 3 Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-8 (i) Verschiedene Exponenten λ1 6= λ2 : z.B. q = 0, p = −6, d.h. ϕ(λ) = λ2 − λ − 6 mit den Nullstellen λ1 = −2, λ2 = 3 Lösung u(z) = c1 frac1z 2 + c2 z 3 Probe: z 2 u 00 − 6u = z 2 c1 (6/z 4 ) + c2 (6z) − 6 c1 /z 2 + c2 z 3 Singulärer Punkt einer Differentialgleichung X 3-9 (ii) Ein Exponent λ1 = λ2 : Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-10 (ii) Ein Exponent λ1 = λ2 : z.B. q = −1 und p = 1, d.h. ϕ(λ) = λ2 − 2λ + 1 mit der Nullstelle λ = 1 und der Lösung u(z) = c z Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-11 (ii) Ein Exponent λ1 = λ2 : z.B. q = −1 und p = 1, d.h. ϕ(λ) = λ2 − 2λ + 1 mit der Nullstelle λ = 1 und der Lösung u(z) = c z zweite Lösung durch Variation der Konstanten: Ansatz u(z) = c(z)z z 2 (c z)00 − z(c z)0 + c z = 0 und nach Vereinfachung 0 = c 00 z + c 0 = (c 0 z)0 mit der Lösung c(z) = c1 + c2 Ln z d.h. u(z) = (c1 + c2 Ln z) z Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-12 (iii) Komplex konjugierte Exponenten: Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-13 (iii) Komplex konjugierte Exponenten: z.B. q = 0, p = 5/4, d.h. ϕ(λ) = λ2 − λ + 5/4 mit den Nullstellen λ1,2 = 1 ±i 2 Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-14 (iii) Komplex konjugierte Exponenten: z.B. q = 0, p = 5/4, d.h. ϕ(λ) = λ2 − λ + 5/4 mit den Nullstellen λ1,2 = 1 ±i 2 Lösung u(z) = c1 z 1/2+i + c2 z 1/2−i = √ z c1 z i + c2 z −i Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-15 (iii) Komplex konjugierte Exponenten: z.B. q = 0, p = 5/4, d.h. ϕ(λ) = λ2 − λ + 5/4 mit den Nullstellen λ1,2 = 1 ±i 2 Lösung u(z) = c1 z 1/2+i + c2 z 1/2−i = √ z c1 z i + c2 z −i reelle Lösung für reelles z > 0 mit Hilfe der Formel von Euler-Moivre: z ±i = e±i Ln z = cos (Ln z) ± i sin (Ln z) Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-16 (iii) Komplex konjugierte Exponenten: z.B. q = 0, p = 5/4, d.h. ϕ(λ) = λ2 − λ + 5/4 mit den Nullstellen λ1,2 = 1 ±i 2 Lösung u(z) = c1 z 1/2+i + c2 z 1/2−i = √ z c1 z i + c2 z −i reelle Lösung für reelles z > 0 mit Hilfe der Formel von Euler-Moivre: z ±i = e±i Ln z = cos (Ln z) ± i sin (Ln z) c1 = c2 = 1/2 bzw. c1 = −c2 = 1/(2i) linear unabhängige Lösungen √ √ z cos (Ln z) , z sin (Ln z) Singulärer Punkt einer Differentialgleichung 3-17
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