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正方形 ABCD を底面，点 P を頂点とする正四角錐 PABCD に内接する球について考える．ただ
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x = 1 で定義された関数
し ，正四角錐とは，頂点と底面の正方形の中心を結ぶ直線が底面と垂直になる角錐である．線
log x
x2
f(x) =
分 AB の中点を M とし，線分 AM および線分 PM の長さをそれぞれ a; b とする．次の問に答
えよ．
について，以下の問いに答えよ．
(1) 内接する球の半径を a; b を用いて表せ．
内接する球の表面積
b
を x で表わし，その最大値を求めよ．
(2) x =
と定めるとき，
a
正四角錐 PABCD の表面積
(3) (2) で最大値をとるときの正四角錐 PABCD の体積を a を用いて表せ．
（ 早稲田大学 2016 ）
(1) x = 1 における f(x) の最大値とそのときの x の値を求めよ．
(2) (1) で求めた x の値を a とする．曲線 y = f(x) と 2 直線 y = 0，x = a で囲まれた図形を D
とする．D の面積を求めよ．
(3) (2) の図形 D を y 軸の周りに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ．
（ 熊本大学 2016 ）
2
次の問いに答えよ．
p
p
(1) 関数 f(u) = log( u ¡ 1) ¡ log( u + 1) の導関数 f0 (u) を求めよ．
B
B
(2) 関数 F(x) = log( e2x + 1 ¡ 1) ¡ log( e2x + 1 + 1) の導関数 F0 (x) を求めよ．
Z C
C
e2x
1
(3) 等式 e2x + 1 = B
+ B
を用いて，不定積分
e2x + 1 dx を求めよ．
2x
2x
e +1
e +1
1
1
x
(4) 曲線 y = e # log 8 5 x 5
log 24; の長さを求めよ．
2
2
5
次の問に答えよ．
1
を利用して，不定積分
(1) 1 + tan x =
cos2 x
2
Z
tan2 x dx を求めよ．
3
¼
¼
;，y = cos x #0 5 x 5
; と x 軸で囲まれた図形
tan x #0 5 x <
2
2
2
を，x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の体積を求めよ．
(2) 2 つの曲線 y =
（ 同志社大学 2016 ）
3
（ 佐賀大学 2016 ）
実数 a; b は a = 0，b = 0，a2 + b2 = 1 を満たしているとする．このとき，次の問に答えよ．
関数 y = e¡x で表される曲線を C とする．また，t は 0 < t < 2 をみたす実数とし ，x = t に
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おける曲線 C の接線を ` とする．以下の問いに答えよ．
(1) 定積分
(1) 接線 ` の方程式を求めよ．
(2) y 軸，曲線 C および接線 ` で囲まれた部分の面積を S1 (t)，x 軸，直線 x = 3，曲線 C および
接線 ` で囲まれた部分の面積を S2 (t) とする．S1 (t) + S2 (t) を求めよ．
(3) (2) で求めた S1 (t) + S2 (t) の最小値を求めよ．
S=
Z
0
¼
2
a sin x ¡ b cos x dx
を a; b を用いて表せ．
(2) S の最大値，最小値とそのときの a; b の値をそれぞれ求めよ．
（ 公立はこだて未来大学 2016 ）
（ 佐賀大学 2016 ）
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10 以下の問いに答えよ．
次の問いに答えよ．
(1) 自然数 n に対して
Z
2
n
1
n
(1) 関数
1
dx を求めよ．
x
x2
(2) x > 0 のとき，不等式 x ¡
< log(1 + x) < x が成り立つことを示せ．
2
Z 2
n
1
(3) 極限 lim 1
dx を求めよ．
n!1
x
+
log(1
+ x)
n
（ 琉球大学 2016 ）
y=
ex ¡ e¡x
ex + e¡x
の増減を調べ，y のとり得る値の範囲を求めよ．また，この関数の逆関数を求めよ．
(2) 定積分
In =
Z
0
¼
4
tann x dx
について，I1 ; I2 ; I3 を求めよ．
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関数 f(x) = (log x)2 ¡ log x (x > 0) を考える．次の各問いに答えよ．
(3) 関数
f(x) =
(1) f(x) = 0 を満たす x をすべて求めよ．
1 + log x
x
(x > 0)
(2) 導関数 f0 (x) および 2 次導関数 f00 (x) をそれぞれ求めよ．また関数 y = f(x) のグラフの概
形を描け．ただし関数 y = f(x) の増減，凹凸，極限 lim f(x)， lim f(x) を明示すること．
x!0
x!1
軸で囲まれた図形の面積 S を求めよ．
(3) 曲線 y = f(x) と x 軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
（ 鹿児島大学 2016 ）
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がある．曲線 C : y = f(x) の変曲点を P(a; f(a)) とする．曲線 C と直線 x = a，および x
a は正の定数とする．関数 f(x) = ax ¡ x log x の最大値が 1 であるとする．次の問いに答えよ．
(1) a の値を求めよ．
1
であるものを求めよ．
2
(3) 曲線 y = f(x) と x 軸および (2) で求めた接線によって囲まれる部分の面積を求めよ．
(2) 曲線 y = f(x) の接線のうち，傾きが ¡
（ 福岡教育大学 2016 ）
（ 長崎大学 2016 ）

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