物理学演習 III
［その場演習 No. 5］
(量子力学)
2016. 5. 17
周りの人と相談して以下の問題を解いても構いません
【３次元調和振動子（前半）】
３次元調和振動子のハミルトニアン
H=
p̂2i
mω 2 x̂2i
+
2m
2
において、生成・消滅演算子
√
(
)
mω
i
âi =
x̂i +
p̂i ,
2h̄
mω
(i = x, y, z) ,
√
â†i
=
mω
2h̄
(
)
i
x̂i −
p̂i ,
mω
を使って、エネルギー固有値と固有状態を求めることを考える。
(1) 生成・消滅演算子 â†i , âi が
[
âi , â†j
]
= δij ,
を満たすことを示しなさい。また、ハミルトニアンがこれらの演算子によって
(
)
3
†
H = h̄ω âi âi +
,
2
と表されることを示しなさい。
(2) この物理系の最低エネルギー状態 |0⟩ は
âi | 0 ⟩ = 0 ,
を満たす。振動の i 成分に注目したとき
1
| ni ⟩ = √ (â†i )ni | 0 ⟩ ,
ni !
という状態が
â†i | ni ⟩ =
√
ni + 1 | ni + 1 ⟩ ,
â†i âi | ni ⟩ = ni | ni ⟩ ,
âi | ni ⟩ =
√
ni | ni − 1 ⟩ ,
⟨ mi | ni ⟩ = δmi ,ni ,
を満たすことを示しなさい。
(3) ３次元調和振動子の固有状態が
1
(â†x )nx (â†y )ny (â†z )nz | 0 ⟩ ,
| nx , n y , n z ⟩ = √
nx !ny !nz !
となることを示しなさい。また、対応する固有値を求めなさい。

その場

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