Diss. ETH No. 23396 Bubbling phenomena for prescribed curvature problems in conformal geometry A dissertation submitted to ETH ZURICH for the degree of DOCTOR OF SCIENCES of ETH ZURICH (Dr. sc. ETH Zurich) presented by LUCA GALIMBERTI MSc Milano-Bicocca Mathematics born June 22, 1982 citizen of Italy accepted on the recommendation of Prof. Dr. Michael Struwe, examiner Prof. Dr. Tristan Rivière, co-examiner Prof. Dr. Andrea Malchiodi, co-examiner 2016 Abstract In this thesis, we describe some closely related results about some prescription problems arising in conformal geometry, which we obtained during the last couple of years. In Chapter 2, we study the Gauss curvature equation on a closed Riemann surface (M, g0 ) of genus γ(M) > 1, in regard to some properties of its set of solutions, such as stability, compactness and multiplicity. We consider a smooth, non-constant function f0 with max p∈M f0 (p) = 0, all of whose maximum points are non-degenerate. Then, as shown in A note on the prescribing Gaussian curvature on surfaces by W. Ding and J. Liu, for sufficiently small λ > 0 there λ exist at least two distinct conformal metrics gλ = e2uλ g0 , gλ = e2u g0 of Gauss curvature Kgλ = Kgλ = f0 + λ, where uλ is a relative minimizer of the associated variational integral and where uλ is a further critical point not of mimimum type. Here, by means of a more refined mountain-pass technique we obtain additional estimates for the “large” solutions uλ that enable us to characterize their “bubbling behavior” as λ ↓ 0 suitably. These results have been achieved in collaboration with Franziska Borer and Michael Struwe. In Chapter 3, we investigate the structure of the set of solutions to the Gauss curvature equation on the two dimensional Torus. We consider again a smooth, non-constant function f0 with max p∈M f0 (p) = 0, all of whose maximum points are non-degenerate. The paper Curvature functions for compact 2-manifolds by J. Kazdan and F. Warner provides necessary and sufficient conditions in order that a given function f arises as the Gauss curvature of a metric conformal to the background metric g0 . Motivated by that, we study the behaviour of the conformal metrics gλ of prescribed Gauss curvature Kgλ = f0 + λ, when the parameter λ tends to one of the boundary points of the interval of existence of gλ , and, as in Chapter 2, we characterize their “bubbling behavior”. In Chapter 4, we are givenR a compact and connected four dimensional smooth Riemannian manifold (M, g0 ) with kP := M Qg0 dVg0 < 0 and once more a function f0 as above. We assume that the Paneitz operator is nonnegative and with kernel consisting of constants. Then, we show that for sufficiently small λ > 0 there are at least two distinct conformal metrics gλ = e2uλ g0 λ and gλ = e2u g0 of Q-curvature Qgλ = Qgλ = f0 + λ. Moreover, by means of the “monotonicity trick” in a way similar to Chapter 2, we deduce useful estimates for the “large” solutions uλ which permit us, by performing a bubbling analysis, to characterize the “limit” geometry of the manifold (M, gλ ) when the parameter λ tends to zero. Zusammenfassung In dieser Arbeit beschreiben wir einige eng verwandte Resultate über Vorschriftsprobleme, die aus konformer Geometrie entstehen und die wir im Verlauf der letzen Jahre gefunden haben. In Kapitel 2 untersuchen wir die Gausssche Krümmungsgleichung auf einer geschlossenen Riemannschen Fläche (M, g0 ) mit Genus γ(M) > 1 hinsichtlich einigen Eigenschaften ihrer Lösungsmengen, wie Stabilität, Kompaktheit und Vielfachheit. Wir betrachten eine glatte, nicht konstante Funktion f0 mit max p∈M f0 (p) = 0, deren Maximalstellen alle nicht degeneriert sind. Wie im Artikel A note on the prescribing Gaussian curvature on surfaces von W. Ding und J. Liu gezeigt, existieren dann für alle genügend kleinen λ > 0 wenigstens zwei verschiedene konλ forme Metriken gλ = e2uλ g0 , gλ = e2u g0 mit Gaussscher Krümmung Kgλ = Kgλ = f0 + λ. Hier bezeichnet uλ ein lokales Minimum des zugehörigen Variationsintegrals und uλ ist ein weiterer kritischer Punkt, der kein Minimum ist. Durch eine raffiniertere Mountain-Pass-Methode erhalten wir hier weitere Abschätzungen für die “grossen” Lösungen uλ , welche uns erlauben, das “bubbling”-Verhalten für λ ↓ 0 zu beschreiben. Diese Resultate stammen aus einem gemeinsamen Projekt mit Franziska Borer und Michael Struwe. In Kapitel 3 diskutieren wir die Struktur der Lösungsmengen der Gaussschen Krümmungsgleichung auf dem zwei-dimensionalen Torus. Wieder betrachten wir eine glatte, nicht konstante Funktion f0 mit max p∈M f0 (p) = 0, deren Maximalstellen alle nicht degeneriert sind. Der Artikel Curvature functions for compact 2-manifolds von J. Kazdan und F. Warner liefert notwendige und hinreichende Bedingungen, damit eine festgelegte Funktion f als die Gausssche Krümmung einer Metrik konform zu der Hintergrundmetrik g0 entsteht. Inspiriert vom diesem Resultat untersuchen wir das Verhalten der konformen Metriken gλ mit vorgeschriebener Gaussschen Krümmung Kgλ = f0 + λ, wenn der Parameter λ gegen einen der Randpunkte des Existenzintervalls von gλ strebt. Wie in Kapitel 2 beschreiben wir ihr “bubbling”-Verhalten. In Kapitel 4 betrachten wir eine kompakte und zusammenhängende vier-dimensionale glatte R Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g0 ) mit kP := M Qg0 dVg0 < 0 und eine Funktion f0 wie oben. Wir nehmen an, dass der Paneitzsche Operator nicht negativ ist und sein Kern nur aus den konstanten Funktionen besteht. Dann zeigen wir, dass für alle genügend kleinen λ > 0 wenigsλ tens zwei verschiedene konforme Metriken gλ = e2uλ g0 und gλ = e2u g0 mit Q-Krümmung Qgλ = Qgλ = f0 + λ existieren. Ausserdem erhalten wir durch den “monotonicity trick” in genau der gleichen Art wie in Kapitel 2 nützliche Abschätzungen für die “grossen” Lösungen uλ , die uns erlauben, mittels einer “bubbling”-Analyse die Limesgeometrie der Mannigfaltigkeit (M, gλ ) für λ ↓ 0 zu beschreiben.
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