Bubbling phenomena for prescribed curvature - ETH E

Diss. ETH No. 23396
Bubbling phenomena for prescribed curvature
problems in conformal geometry
A dissertation submitted to
ETH ZURICH
for the degree of
DOCTOR OF SCIENCES of ETH ZURICH
(Dr. sc. ETH Zurich)
presented by
LUCA GALIMBERTI
MSc Milano-Bicocca Mathematics
born June 22, 1982
citizen of Italy
accepted on the recommendation of
Prof. Dr. Michael Struwe, examiner
Prof. Dr. Tristan Rivière, co-examiner
Prof. Dr. Andrea Malchiodi, co-examiner
2016
Abstract
In this thesis, we describe some closely related results about some prescription problems arising
in conformal geometry, which we obtained during the last couple of years.
In Chapter 2, we study the Gauss curvature equation on a closed Riemann surface (M, g0 ) of
genus γ(M) > 1, in regard to some properties of its set of solutions, such as stability, compactness and multiplicity. We consider a smooth, non-constant function f0 with max p∈M f0 (p) = 0,
all of whose maximum points are non-degenerate. Then, as shown in A note on the prescribing Gaussian curvature on surfaces by W. Ding and J. Liu, for sufficiently small λ > 0 there
λ
exist at least two distinct conformal metrics gλ = e2uλ g0 , gλ = e2u g0 of Gauss curvature
Kgλ = Kgλ = f0 + λ, where uλ is a relative minimizer of the associated variational integral
and where uλ is a further critical point not of mimimum type. Here, by means of a more refined
mountain-pass technique we obtain additional estimates for the “large” solutions uλ that enable
us to characterize their “bubbling behavior” as λ ↓ 0 suitably. These results have been achieved
in collaboration with Franziska Borer and Michael Struwe.
In Chapter 3, we investigate the structure of the set of solutions to the Gauss curvature equation on the two dimensional Torus. We consider again a smooth, non-constant function f0 with
max p∈M f0 (p) = 0, all of whose maximum points are non-degenerate. The paper Curvature
functions for compact 2-manifolds by J. Kazdan and F. Warner provides necessary and sufficient
conditions in order that a given function f arises as the Gauss curvature of a metric conformal to
the background metric g0 . Motivated by that, we study the behaviour of the conformal metrics
gλ of prescribed Gauss curvature Kgλ = f0 + λ, when the parameter λ tends to one of the boundary points of the interval of existence of gλ , and, as in Chapter 2, we characterize their “bubbling
behavior”.
In Chapter 4, we are givenR a compact and connected four dimensional smooth Riemannian
manifold (M, g0 ) with kP := M Qg0 dVg0 < 0 and once more a function f0 as above. We assume
that the Paneitz operator is nonnegative and with kernel consisting of constants. Then, we show
that for sufficiently small λ > 0 there are at least two distinct conformal metrics gλ = e2uλ g0
λ
and gλ = e2u g0 of Q-curvature Qgλ = Qgλ = f0 + λ. Moreover, by means of the “monotonicity
trick” in a way similar to Chapter 2, we deduce useful estimates for the “large” solutions uλ
which permit us, by performing a bubbling analysis, to characterize the “limit” geometry of the
manifold (M, gλ ) when the parameter λ tends to zero.
Zusammenfassung
In dieser Arbeit beschreiben wir einige eng verwandte Resultate über Vorschriftsprobleme, die
aus konformer Geometrie entstehen und die wir im Verlauf der letzen Jahre gefunden haben.
In Kapitel 2 untersuchen wir die Gausssche Krümmungsgleichung auf einer geschlossenen
Riemannschen Fläche (M, g0 ) mit Genus γ(M) > 1 hinsichtlich einigen Eigenschaften ihrer Lösungsmengen, wie Stabilität, Kompaktheit und Vielfachheit. Wir betrachten eine glatte, nicht
konstante Funktion f0 mit max p∈M f0 (p) = 0, deren Maximalstellen alle nicht degeneriert sind.
Wie im Artikel A note on the prescribing Gaussian curvature on surfaces von W. Ding und J.
Liu gezeigt, existieren dann für alle genügend kleinen λ > 0 wenigstens zwei verschiedene konλ
forme Metriken gλ = e2uλ g0 , gλ = e2u g0 mit Gaussscher Krümmung Kgλ = Kgλ = f0 + λ. Hier
bezeichnet uλ ein lokales Minimum des zugehörigen Variationsintegrals und uλ ist ein weiterer
kritischer Punkt, der kein Minimum ist. Durch eine raffiniertere Mountain-Pass-Methode erhalten wir hier weitere Abschätzungen für die “grossen” Lösungen uλ , welche uns erlauben, das
“bubbling”-Verhalten für λ ↓ 0 zu beschreiben. Diese Resultate stammen aus einem gemeinsamen Projekt mit Franziska Borer und Michael Struwe.
In Kapitel 3 diskutieren wir die Struktur der Lösungsmengen der Gaussschen Krümmungsgleichung auf dem zwei-dimensionalen Torus. Wieder betrachten wir eine glatte, nicht konstante
Funktion f0 mit max p∈M f0 (p) = 0, deren Maximalstellen alle nicht degeneriert sind. Der Artikel
Curvature functions for compact 2-manifolds von J. Kazdan und F. Warner liefert notwendige
und hinreichende Bedingungen, damit eine festgelegte Funktion f als die Gausssche Krümmung einer Metrik konform zu der Hintergrundmetrik g0 entsteht. Inspiriert vom diesem Resultat untersuchen wir das Verhalten der konformen Metriken gλ mit vorgeschriebener Gaussschen
Krümmung Kgλ = f0 + λ, wenn der Parameter λ gegen einen der Randpunkte des Existenzintervalls von gλ strebt. Wie in Kapitel 2 beschreiben wir ihr “bubbling”-Verhalten.
In Kapitel 4 betrachten wir eine kompakte und zusammenhängende
vier-dimensionale glatte
R
Riemannsche Mannigfaltigkeit (M, g0 ) mit kP := M Qg0 dVg0 < 0 und eine Funktion f0 wie
oben. Wir nehmen an, dass der Paneitzsche Operator nicht negativ ist und sein Kern nur aus den
konstanten Funktionen besteht. Dann zeigen wir, dass für alle genügend kleinen λ > 0 wenigsλ
tens zwei verschiedene konforme Metriken gλ = e2uλ g0 und gλ = e2u g0 mit Q-Krümmung
Qgλ = Qgλ = f0 + λ existieren. Ausserdem erhalten wir durch den “monotonicity trick” in genau
der gleichen Art wie in Kapitel 2 nützliche Abschätzungen für die “grossen” Lösungen uλ , die
uns erlauben, mittels einer “bubbling”-Analyse die Limesgeometrie der Mannigfaltigkeit (M, gλ )
für λ ↓ 0 zu beschreiben.

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