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Elektrotechnik
Grundlagen
Spannungs- und Stromquellen
Andreas Zbinden
Gewerblich- Industrielle Berufsschule Bern
Inhaltsverzeichnis
1 Ideale Quellen
2
2 Reale Quellen
2
3 Quellenersatzschaltbilder
4
4 Einfacher Stromkreis mit realer Quelle
5
5 Quellenkennlinie
5
6 Abgegebene Leistung
6
7 Der Reflexionsfaktor (Leistungsverlust bei Fehlanpassung)
7
8 Zusammenschalten von Quellen
8.1 Serie- und Parallelschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Zusammenwirken mehrerer Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
8
8
9 Ersatzquellen
11
9.1 Ersatzspannungsquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
9.2 Ersatzstromquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1
1 Ideale Quellen
1 Ideale Quellen
Eine Spannungsquelle ist ideal, wenn an ihren Klemmen eine konstante Spannung besteht.
Dies unabhängig vom Strom, der über ihre Klemmen fliesst. Zwischen zwei Anschlussklemmen besteht ein idealer Leerlauf, wenn über diese Klemmen kein Strom fliesst. Dies
unabhängig von der Spannung, die zwischen diesen Klemmen besteht.
Abbildung 1: Symbol und UI-Kennlinie einer idealen Spannungsquelle
Eine Stromquelle ist ideal, wenn über ihre Klemmen ein konstanter Strom fliesst. Dies
gilt unabhängig von der Spannung, die über ihren Klemmen besteht. Zwischen zwei
Anschlussklemmen besteht ein idealer Kurzschluss, wenn zwischen diesen Klemmen keine
Spannung vorhanden ist. Dies gilt unabhängig vom Strom, der über diese Klemmen fliesst.
Abbildung 2: Symbol und UI-Kennlinie einer idealen Spannungsquelle
2 Reale Quellen
Elektrische Quellen sind Energiewandler. Zwischen den Klemmen einer realen Quelle
besteht eine Spannung UL . Wird ein Widerstand zwischen die Klemmen geschaltet, das
heisst wird die Quelle belastet, dann fliesst ein Strom IL durch diesen Widerstand RL .
Unabhängig von der praktischen Ausführung können wir bei einer realen Quelle weder
von einer Spannungsquelle, noch von einer Stromquelle sprechen.
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2 Reale Quellen
Abbildung 3: Messanordnung für UL und IL
Die grösste Spannung UL wird bei R = ∞ gemessen, das heisst, wenn die Quelle leer
läuft. Diese Spannung wird Leerlaufspannung U0 genannt.
Mit R = 0 wird der grösste Strom IK gemessen, das heisst, wenn die Quelle kurzgeschlossen wird. Dieser Strom wird Kurzschlussstrom IK genannt.
Dieses Verhalten kann nur erklärt werden, wenn in der Quelle noch ein Widerstand Ri
wirkt.
Aus den beiden Kurven nach Abbildung 3 mit der unabhängigen Variablen RL kann die
Funktion U = U(I) und I = I(U ) gebildet werden.
Abbildung 4: Widerstandskurven von realen Quellen
Die Funktion U(I) ist bei vielen Quellen über den ganzen Bereich linear und kann angeschrieben werden als:
U0
· I L + U0
IK
IK
IL = −
· UL + I K
U0
UL = −
(1)
(2)
Für die praktische Anwendung, das heisst für das Berechnen von Schaltkreisen führen
wir ein Modell der realen Quelle ein. Als Ersatzschaltbilder ergeben sich eine ideale
3
3 Quellenersatzschaltbilder
Spannungsquelle, in Serie geschaltet mit einem Widerstand und eine ideale Stromquelle,
parallel geschaltet mit einem Widerstand. Der Widerstand in beiden Ersatzschaltungen
heisst Innenwiderstand der Quelle Ri .
Der Innenwiderstand wird
Der Innenleitwert wird
U0
IK
IK
Gi =
U0
Ri =
(3)
(4)
3 Quellenersatzschaltbilder
Abbildung 5: Ersatzschaltbilder von Quellen
Von links nach rechts (Abb.5):
• Reale Quelle
• Ideale Spannungsquelle mit Seriewiderstand (hat immer gleiche Spannung).
• Ideale Stromquelle mit Parallelwiderstand (gibt immer gleichen Strom).
Mit Ri wird die Formel 1 und 2 zu:
UL = −Ri · IL + U0
(5)
IL = −Gi · UL + IK
(6)
Die beiden Ersatzschaltbilder zur realen Quelle sind identisch. Der Innenwiderstand beziehungsweise der Innenleitwert ist in beiden Ersatzschaltungen gleich gross. Der QuellenInnenwiderstand/leitwert ist mit der idealen Spannungs/Stromquelle untrennbar verbunden! Sie bilden zusammen eine Ganzheit. Dagegen sind die Spannung am Innenwiderstand/leitwert und der Strom durch den Innenwiderstand/leitwert in den beiden Ersatzschaltbildern verschieden gross. Allerdings können diese Spannung und der Strom durch
Ri bzw. Gi weder gemessen, noch getrennt von der Leerlaufspannung oder dem Kurzschlussstrom beschrieben werden.
4
4 Einfacher Stromkreis mit realer Quelle
4 Einfacher Stromkreis mit realer Quelle
Spannung und Strom durch den Lastwiderstand RL :
Abbildung 6: Reale Spannungsquelle
Spannungsteiler:
RL
Ri + RL
1
UL
= I L = U0 ·
RL
Ri + RL
UL = U0 ·
| : RL
(7)
(8)
Abbildung 7: Reale Stromquelle
Parallelschaltung von Ri und RL
Ri · RL
Ri + RL
UL
Ri
= IL = IK ·
RL
Ri + RL
UL = IK ·
| : RL
(9)
(10)
5 Quellenkennlinie
Die Darstellung nach Abbildung 8 nennen wir die Quellenkennlinie. Darin sind die Grössen UL , IK und Ri , Gi die Kenngrössen der Quelle.
Die Quellenkennlinie entsteht aus der Aufnahme von UL und IL mit einer Messanordnung nach Abbildung 3 für 0 < RL < ∞
5
6 Abgegebene Leistung
Wird die reale Quelle nacheinander mit zwei oder mehr verschiedenen Lastwiderständen
belastet, ergeben sich zwei oder mehr Arbeitspunkte, die auf der Quellekennlinie liegen.
Ri =
ULn+1 − ULn
ILn − ILn+1
(11)
Abbildung 8: Quellenkennlinien mit Arbeitspunkten
6 Abgegebene Leistung
Wir betrachten die von einer realen Quelle an einen Lastwiderstand abgegebene Leistung. Die Energie ist gleich dem Produkt aus Leistung und der Zeit, während der diese
Leistung wirksam ist. Mit der Messanordnung nach Bild 9 ermitteln wir die Leistung PL
im Lastwiderstand. Die Grösse des Lastwiderstandes sei einstellbar.
Abbildung 9: Messanordnung
PL = IL · UL
wird:
1
RL
RL
PL = U0
· U0
= U02 ·
RL + Ri
RL + Ri
(RL + Ri )2
Mit
6
(12)
(13)
7 Der Reflexionsfaktor (Leistungsverlust bei Fehlanpassung)
Für den Fall, dass RL = Ri ist d.h. für den Fall der Leistungsanpassung gelten:
UL =
U0
2
und IL =
IK
2
mit der Normierung P0 = U0 · IK
2
P0 = Ri · IK · IK = IK
· Ri
oder:
P0 =
wird:
(14)
U2
U0
· U0 = 0
Ri
Ri
(15)
Die normierte Grösse P0 ist die in der Quelle verbrauchte Leistung, wenn diese kurzgeschlossen wird.
Beispiel 6.1.
Stellen Sie Leistung P in Abhängigkeit des Lastwiderstandes RL in einem Diagramm dar
(mit Excel). Untersuchen Sie die drei Fälle
1. RL >> Ri man nennt diesen Fall Spannungsanpassung.
2. RL = Ri man nennt diesen Fall Leistungsanpassung.
3. RL << Ri man nennt diesen Fall Stromanpassung.
7 Der Reflexionsfaktor (Leistungsverlust bei Fehlanpassung)
Wir gehen von folgendem Erklärungsmodell aus:
Abbildung 10: Erklärungsmodell Reflexionsfaktor
Der reflektierte Strom Ir in unserem Denkmodell wird:
IK
Ri
IK RL − Ri
− IK
=
·
2
RL + Ri
2 RL + Ri
RL
RL − Ri
R −1
=
= Ri
L
RL + Ri
Ri + 1
Ir = IL1 − IL =
Reflexionsfaktor r =
Ir
IL1
7
(16)
(17)
8 Zusammenschalten von Quellen
8 Zusammenschalten von Quellen
8.1 Serie- und Parallelschaltung
(a)
(b)
Abbildung 11: Serie- und Parallelschaltung von realen Quellen
Serieschaltung:
U0ges = U01 + U02 + U03
(18)
Riges = Ri1 + Ri2 + Ri3
(19)
Es dürfen nur Quellen mit gleichen Urspannungen parallel geschaltet werden.
Parallelschaltung:
U0ges = U01 = U02 = U03
(20)
Riges = Ri1 //Ri2 //Ri3
(21)
8.2 Zusammenwirken mehrerer Quellen
Parallelschaltung von verschiedenen Quellen (normalerweise nicht erlaubt). Im Beispiel
werden zwei Nickel-Cadmium-Zellen mit unterschiedlichem Ladezustand parallelgeschaltet.
8
8 Zusammenschalten von Quellen
Abbildung 12: Parallelschaltung von unterschiedlichen Quellen
Berechnung:
9
8 Zusammenschalten von Quellen
Die vorherige Schaltung nach Abbildung 12 wird erweitert durch einen gemeinsamen
Lastwiderstand R3:
Abbildung 13: Parallelschaltung von Quellen mit Laswiderstand
Die Berechnung dieses Beispieles kann mit dem Überlagerungssatz (nach Helmholtz) oder
mit dem Maschen- und Knotenansatz erfolgen.
Vorgehen Helmholtz:
1. Alle Urspannungen bis auf eine, werden gedanklich kurzgeschlossen.
2. Die Teilströme berechnen.
3. Das Verfahren mit allen Quellen wiederholen.
4. Vorzeichenrichtige Addition der Teilströme.
10
9 Ersatzquellen
9 Ersatzquellen
Bei den bisher behandelten gemischten Schaltungen von Widerständen suchten wir zur
Vereinfachung stets nach einer reinen Serie- oder Parallelschaltung. Es gibt Fälle, bei
denen dieser Ansatz nicht weiterführt. Als Beispiel nehmen wir eine bekannte Brückenschaltung und erweitern sie mit einem Widerstand R5. Gesucht ist der Strom I5.
Abbildung 14: Brückenschaltung
Wir versuchen, die gegebene Schaltung (hier die Brückenschaltung) auf eine Quelle zurückzuführen. Dies wird zuerst an einer einfacheren Schaltung, nämlich an einem Spannungsteiler, demonstriert:
Abbildung 15: Spannungsteiler
Der links eingerahmte Schaltungsteil wird in eine sogenannte Ersatzquelle umgewandelt.
Diese Ersatzquelle ist rechts eingerahmt. Wir suchen also eine Quelle mit der Ersatzurspannung Uo’ und dem Ersatzinnenwiderstand Ri’, welche dasselbe Verhalten wie die
Ausgangsschaltung aufweist.
11
9 Ersatzquellen
Welche Überlegungen führen uns zur Ersatzquelle mit den unbekannten Grössen Uo’ und
Ri’ ?
Wir zeichnen von der Ausgangsschaltung eine Lastkennlinie IL = f (UL ) und bestimmen
daraus Uo’ und Ri’. Lastkennlinie der Ausgangsschaltung:
6
IL [mA]
4
2
0
0
1
2
3
UL [V]
4
5
6
Abbildung 16: Last-Kennlinie
Wir orientieren uns an der Leerlaufspannung der Ausgangsschaltung und erhalten eine
Ersatzquelle, welche als Ersatzspannungsquelle bezeichnet wird. Eine typische Anwendung ist die Berechnung unabgeglichener Brückenschaltungen (siehe erstes Beispiel).
9.1 Ersatzspannungsquelle
Abbildung 17: Ersatzspannungsquelle
Beispiel 9.1.
Lösen Sie das Beispiel nach Abbildung 14, also eine unabgeglichene Brückenschaltung,
mit Hilfe einer Ersatzspannungsquelle.
12
9 Ersatzquellen
Falls wir uns am Kurzschlussstrom der Ausgangsschaltung orientieren, erhalten wir eine
Ersatzquelle, welche als Ersatzstromquelle bezeichnet wird. Diese hat die gleiche Lastkennlinie wie die Ersatzspannungsquelle. Ersatzstromquellen werden vorzugsweise bei der
Berechnung gewisser Transistorschaltungen eingesetzt.
9.2 Ersatzstromquelle
Abbildung 18: Ersatzstromquelle
Beispiel 9.2.
Bestimmen Sie den Strom I4 mit Hilfe einer Ersatzspannungsquelle:
Beispiel 9.3.
Bestimmen Sie den Strom I6 mit Hilfe einer Ersatzspannungsquelle
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9 Ersatzquellen
Beispiel 9.4.
UL (Leerlauf) = 7,5V, UL (Last) = 6V, Gesucht: R1, R2
Beispiel 9.5.
Bei einem bestimmten Lastwiderstand RL beträgt UL wie eingezeichnet 2V und IL ist
0,6mA. Wird RL verstellt, verändern sich UL um 0,2V auf 1,8V und IL um 0,1mA auf
0,7mA. Gesucht: R1, R2
14
Literatur
Beispiel 9.6.
Literatur
15

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