1 a を実数とし，f(x) = x3 ¡ 3ax とする．区間 3 ¡1 5 x 5 1 における f(x) の最大値を M と a; b; c を実数とし， f(x) = x3 + ax2 + bx + c する．M の最小値とそのときの a の値を求めよ． （ 一橋大学 2016 ） とおく．曲線 C : y = f(x) 上に異なる 2 点 P(s; f(s))，Q(t; f(t)) がある． (1) P における C の接線の方程式を求めよ． (2) P における C の接線と Q における C の接線が 平行になるための条件を s; t; a の関係式とし て求めよ． (3) (2) の条件のもとで，線分 PQ の中点が C 上に あることを示せ． （ 北海道大学 2016 ） 2 a を 0 でない実数とする．2 つの放物線 y = x2 ， y = ¡x2 + 2ax + 1 がある． 2a2 (1) 2 つの放物線は異なる 2 点で交わることを示し なさい． (2) 2 つの放物線の交点の x 座標を ®; ¯ (® < ¯) とするとき，¯ ¡ ® を a の式で表しなさい． (3) 2 つの放物線で囲まれた部分の面積 S を a の式 で表しなさい． 4 f(x) = x(x ¡ 2) + (x ¡ 1)(x ¡ 4) +3x¡ 10 (¡2 5 x 5 4) とおく． (1) 関数 y = f(x) のグラフをかけ．グラフと x 軸 (4) (3) で定めた面積 S の最小値を求めなさい． （ 大分大学 2016 ） との 2 つの交点の x 座標 ®，¯ (® < ¯) の値も 求めよ． (2) (1) の ®; ¯ に対して，定積分 Z ¯ ® f(x) dx の 値を求めよ． （ 北海道大学 2016 ） 5 関数 f(x) = x3 ¡ 3x2 ¡ 3x + 1 について，次 7 の問いに答えなさい． 座標平面において，x 軸上に 3 点 (0; 0)，(®; 0)， (¯; 0) (0 < ® < ¯) があり，曲線 C : y = (1) 方程式 f(x) = 0 の実数解をすべて求めなさい． x3 + ax2 + bx が x 軸とこの 3 点で交わってい (2) f(x) の増減，極値を調べ，y = f(x) のグラ るものとする．ただし，a; b は実数である．こ のとき，以下の問いに答えよ． フをかきなさい．ただし ，グラフの変曲点と凹 凸は調べなくてよい． (1) 曲線 C と x 軸で囲まれた 2 つの部分の面積の (3) a を実数の定数とする．x についての方程式 f(x) = a が，ちょうど 4 個の異なる実数解をも 和を S とする．S を ® と ¯ の式で表せ． (2) ¯ の値を固定して，0 < ® < ¯ の範囲で ® を動 つように，a の値の範囲を定めなさい． かすとき，S を最小とする ® を ¯ の式で表せ． （ 山口大学 2016 ） 6 （ 九州大学 2016 ） 関数 f(x) = 8x3 ¡ 6x ¡ 1 について，以下の問 いに答えよ． (1) f(x) = 0 を満たす実数 x の個数を求めよ． (2) a = cos 5¼ とするとき，f(a) の値を求めよ． 9 8 関数 f(x) = x2 ¡ 4 ¡ 3 について，次の問い に答えよ． (1) 方程式 f(x) = 0 の解を求めよ． (2) 関数 y = f(x) のグラフをかけ． (3) 不等式 ¡ (3) 関数 y = f(x) のグラフと x 軸とで囲まれた部 5¼ 1 1 < cos <¡ 5 9 6 分の面積を求めよ． （ 新潟大学 2016 ） を証明せよ． （ 岡山大学 2016 ） 9 a を正の定数とする．曲線 y = x3 ¡ ax を C と し ，直線 y = b を ` とする．C と ` がちょうど 2 点を共有しているとき，以下の問いに答えよ． 11 実数 a; b に対し，関数 f(x) = x4 + 2ax3 + (a2 + 1)x2 ¡ a3 + a + b (1) b を a で表せ． がただ 1 つの極値をもち，その極値が 0 以上に (2) a = 3 で b が正のとき，C と ` で囲まれる部分 なるとする．次の問いに答えよ． の面積を求めよ． (1) a; b のみたす条件を求めよ． （ 三重大学 2016 ） (2) a; b が (1) の条件をみたすとき，a ¡ 2b の最 大値を求めよ． （ 横浜国立大学 2016 ） 10 a を正の実数とし ，曲線 y = x3 を C1 ，曲線 9 ax2 を C2 とする．また，C1 と C2 の共 8 通接線で C1 と 2 点を共有するものを ` とする． y= 12 曲線 C : y = x2 と，C 上の点 P1 (¡1; 1) と P2 (3; 9) を考える．線分 P1 P2 を 1 : 3 に内分す る点を H，P1 における接線と P2 における接線 の交点を Q，線分 HQ と曲線 C との交点を R と (1) 直線 ` の方程式を求めよ． する．このとき，以下の問いに答えよ． (2) C1 と ` が囲む図形の面積 S を求めよ． (3) C2 と ` の接点の x 座標 p を求めよ．さらに Zp 9 # ax2 ¡ x3 ; dx とするとき，比 S : I I= 8 0 を最も簡単な整数比で表せ． (1) 点 H の座標を求めよ． (2) 点 Q の座標を求めよ． (3) 直線 HQ の方程式を求めよ． (4) 点 R の座標を求めよ． （ 三重大学 2016 ） (5) 線分 P2 H と線分 HR と曲線 C で囲まれた部分 の面積を求めよ． （ 信州大学 2016 ）
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