年 番号
1
¡
!
¡
!
¡
!
a = (1; ¡2; 1)， b = (1; 0; 1)， c = (1; ¡1; 0) とする．また，実数 s; t; u に対して
¡
! ¡
!
¡
! ¡
! ¡
!
¡
!
¡
!
x = a + s b ， y = a + t b + u c とする．
¡
!
(1) x の大きさが最小となるときの s の値を求めよ．
¡
! ¡
!
(2) a と x が 120± の角をなすときの s の値を求めよ．
¡
! ¡
!
¡
!
(3) y が a にも b にも垂直となるときの t; u の値を求めよ．
4
氏名
a を正の定数とする．曲線 y = x3 ¡ ax を C とし，直線 y = b を ` とする．C と ` がちょうど
2 点を共有しているとき，以下の問いに答えよ．
(1) b を a で表せ．
(2) a = 3 で b が正のとき，C と ` で囲まれる部分の面積を求めよ．
（ 三重大学 2016 ）
（ 三重大学 2016 ）
2
0 5 x 5 2 とする．
(1) sin ¼x + cos 2¼x = 0 を満たす x の範囲を求めよ．
5
(2) (1) で求めた x の範囲に対し，
(1) y = xe¡ 2 x (¡2 5 x 5 2) の増減および極値を調べ，このグラフの概形をかけ．
Z1
1 2
(2)
xe¡ 2 x dx を求めよ．
以下の問いに答えよ．
1
log2 (3 + x) + log2 (5 ¡ x) = log2 (16 ¡ k)
2
0
（ 三重大学 2016 ）
の解がひとつだけであるような実数 k の範囲を求めよ．
（ 三重大学 2016 ）
3
数列 fxn g は
6
(n ¡ 1)xn+2 ¡ (n 2 + n ¡ 1)xn+1 + n 2 xn = 0
log x は x の自然対数とする．
(1) 2 と log 4 の大小関係を，理由をつけて述べよ．必要ならば e = 2:718Ý を用いてよい．さら
p
に x > 0 のとき x > log x を示せ．
x
(2) x > 1 のとき，y =
の増減，極値およびグラフの凹凸を調べ，このグラフの概形をかけ．
log x
1
1
(e 5 x 5 e2 )，および x = e2 で囲まれた図形を，
(e 5 x 5 e2 ) と y =
(3) y = B
log x
log x
x 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を求めよ．
(n = 1; 2; 3; Ý)
を満たすものとする．
(1) x2 を x1 で表せ．また x4 を x1 と x3 で表せ．
(2) yn = xn+2 ¡ xn+1 (n = 1; 2; 3; Ý) とおく．yn を y1 と n で表せ．
n
P
(3) 数学的帰納法で
k(k!) = (n + 1)! ¡ 1 を示せ．
（ 三重大学 2016 ）
k=1
(4) xn+2 (n = 2; 3; 4; Ý) を x1 ; x3 と n で表せ．
（ 三重大学 2016 ）
7
9
平面上の 4ABC と点 O を考える．m; n は正の実数とする．
¡! 2 ¡!
(1) 辺 AB を m : n に内分する点を M とする．このとき AB ， OM
¡! ¡!
OA ¢ OB で表せ．さらに
mn
m+n
¡!
AB
2
¡!
+ (m + n) OM
2
¡!
= n OA
2
¡!
+ m OB
2
¡! 2 ¡!
を OA ， OB
2
と内積
(1) k = 1; 2; Ý; n のとき，点 Pk¡1 と点 Pk との距離 Pk¡1 Pk に対して
1
n
2
を示せ．
(2) 辺 AB を m : n に内分する点を M1 ，辺 BC を m : n に内分する点を M2 ，辺 CA を m : n に内
¡! 2
¡! 2
¡! 2
分する点を M3 とする．このとき OA + OB + OC は
¡!
mn
2 $ AB
(m + n)
2
¡!
+ BC
2
¡! 2
¡¡!
+ CA < + OM1
2
¡¡!
+ OM2
2
¡¡!
+ OM3
(3) (2) の m; n を変化させたとき
2
¡!
+ OB
2
¡!
+ OC
2
¡¡!
¡ OM1
¡! 2 ¡! 2 ¡!
の最大値を AB ， BC ， CA
2
2
¡¡!
¡ OM2
2
¡¡!
¡ OM3
2
で表せ．
（ 三重大学 2016 ）
8
I
1+
1
#1 +
2
k
;
n
1
< Pk¡1 Pk <
n
I
1+
1
k¡1 2
;
#1 +
n
を示せ．
n
P
(2) Ln =
Pk¡1 Pk としたとき lim Ln を求めよ．
k=1
n!1
（ 三重大学 2016 ）
2
に等しいことを示せ．
¡!
OA
k
k
;; (k = 0; 1; Ý; n) を平面上の n + 1 個の点とする．
; log #1 +
n
n
ただし，log x は x の自然対数である．
n を自然数とし，Pk #
以下の a; b; c はいずれも正の実数とする．
2
(1) 「 ab が有理数ならば，(a + b) は有理数である」という主張が正しければ証明し ，誤りなら
ば反例を与えよ．
2
(2) ab; ac; bc が有理数ならば，a2 は有理数であることを示し，さらに (a + b + c) は有理数で
あることを示せ．
3
(3) ab; ac; bc が有理数で，さらに (a + b + c) が有理数となるならば，a; b; c はそれぞれ有
理数であることを示せ．
（ 三重大学 2016 ）

0 ～ 5 歳 ま で の 異 年 齢

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