2.2 Wir erhalten
1 1√
zξ = +
3+
2 2
z −1 =
Es gilt |z| =
√
zξ =
√
25
2e 12 πi =
i
−1 − i
1
i
=− −
(−1 + i)(−1 − i)
2 2
2, |ξ| = 1 und daher
√ 3
z = 2e 4 πi ,
Also
1
1√
3−
2
2
√
1
2e 12 πi ,
4
ξ = e 3 πi .
3
1
1 5
z −1 = √ e− 4 πi = √ e 4 πi .
2
2
2.3 Es gilt
2
n
n
n
X
X
X
a
b
=
a
b
·
ai b i
i i
i i
i=1
i=1
=
n
X
|ai |2 |bi |2 +
n
X
|ai |2 |bi |2 +
i=1
=
i=1
i=1
X
ai bi aj bj
i6=j
X
1≤i<j≤n
ai b i aj b j + ai b i aj b j .
Andererseits ist
|ai bj − aj bi |2 = (ai bj − aj bi )(ai bj − aj bi )
= ai ai bj bj − ai bj aj bi − aj bi ai bj + aj aj bi bi
= |ai |2 |bj |2 + |aj |2 |bi |2 − ai bi aj bj − ai bi aj bj .
P
2.4 Wegen Re an > 0, ist
Re an auch absolut konvergent. Es gilt
tan arg z =
für an mit arg z ≤ α <
π
2
Im z
,
Re z
daher
|Im an | ≤ tan α Re an .
Damit ist auch
hauptung.
P
|Im an | konvergent. Wegen |an | ≤ |Re an | + |Im an | folgt die Be-
2.5 In der Vorlesung hatten wir gesehen, dass für f = u + iv die Funktionalmatrix
von (u, v)T von der Form
α −β
∂1 u ∂2 u
, f ′ (z) = α + iβ,
=
β α
∂1 v ∂2 v
ist. Ist f ′ 6= 0, so sind daher grad u, grad v 6= 0. Wir können daher Aufgabe 1.1
sowohl für die Höhenlinien von u als auch von v anwenden. Demnach zeigt der Tangentenvektor einer Höhenlinien in Richtung (uy , −ux )T bzw. (vy , −vx )T = (ux , uy )T .
Damit stehen die Tangentenvektoren senkrecht aufeinander.