Ein numerisches Modell für elektromagnetische Wellen Formelsammlung und elementare Herleitungen Adrian Haas 2016 1. Konstanten, Formeln und Grössen Magnetische Feldkonstante Elektrische Feldkonstante Lichtgeschwindigkeit Permittivität Permeabilität Ausbreitungsgeschwindigkeit elektrische Leitfähigkeit magnetische Feldstärke elektrische Feldstärke Stromdichte elektrische Flussdichte magnetische Flussdichte Raumladungsdichte µ0 = 1.256 · 10−6 H/m 0 = 8.854 · 10−12 As/V m c0 = √10 µ0 = 2.997925 · 108 m/s = 0 r µ = µ0 µr c = √1µ σ [S/m] H [A/m] E [V /m] j = σE [A/m2 ] D = E [As/m] B = µH [T ] ρ [As/m3 ] 2. Maxwellgleichungen divD = ρ (1) divB = 0 ∂B rotE = − ∂t ∂D rotH = j + ∂t (2) 1 (3) (4) 3. Herleitung der Wellengleichung für das E Feld die dritte Maxwellgleichung ∂B ∂t Anwendung des rot Operators auf beiden Seiten rotE = − rot(rotE) = rot(− rot(rotE) = −µ ∂B ) ∂t ∂ rot(H) ∂t einsetzen der vierten Maxwellgleichung rot(rotE) = −µ ∂ ∂D (j + ) ∂t ∂t da j = σE rot(rotE) = −µ ∂ ∂E (σE + ) ∂t ∂t ∂E ∂2E − µ 2 ∂t ∂t da allgemein rot(rotA) = grad(divA) − ∆A rot(rotE) = −σµ grad(divE) − ∆E = −σµ ∂2E ∂E − µ 2 ∂t ∂t einsetzen der ersten Maxwellgleichung ρ ∂E ∂2E grad( ) − ∆E = −σµ − µ 2 ∂t ∂t quellfrei ρ = 0 −∆E = −σµ − ∂E ∂2E − µ 2 ∂t ∂t 1 σ ∂E ∂ 2 E ∆E = − − 2 µ ∂t ∂t c2 ∆E = σ ∂E ∂ 2 E + 2 ∂t ∂t verlustlos σ = 0 2 (5) c2 ∆E = ∂2E ∂t2 (6) 4. Herleitung der Wellengleichung für das H Feld die vierte Maxwellgleichung rotH = j + ∂D ∂t Anwendung des rot Operators auf beiden Seiten rot(rotH) = rot(j + ∂D ) ∂t da j = σE ∂E ) ∂t ∂E rot(rotH) = σrotE + rot ∂t einsetzen der dritten Maxwellgleichung rot(rotH) = rot(σE + rot(rotH) = −σ ∂B ∂2B − 2 ∂t ∂t ∂H ∂2H − µ 2 ∂t ∂t da allgemein rot(rotA) = grad(divA) − ∆A rot(rotH) = −σµ grad(divH) − ∆H = −σµ ∂2H ∂H − µ 2 ∂t ∂t einsetzen der zweiten Maxwellgleichung grad(0) − ∆H = −σµ ∂2H ∂H − µ 2 ∂t ∂t ∂H ∂2H − µ 2 ∂t ∂t 1 σ ∂H ∂ 2 H − ∆H = − − µ ∂t ∂t2 −∆H = −σµ c2 ∆H = σ ∂H ∂ 2 H + ∂t ∂t2 3 (7) verlustlos σ = 0 c2 ∆H = ∂2H ∂t2 (8) 5. Explizite Differenzengleichung für das E Feld a) verlustlos (6) c2 (Exx + Eyy + Ezz ) = Ett mit Ei+1,j,k,n − 2Ei,j,k,n + Ei−1,j,k,n ∆x2 Ei,j+1,k,n − 2Ei,j,k,n + Ei,j−1,k,n Eyy = ∆y 2 Ei,j,k+1,n − 2Ei,j,k,n + Ei,j,k−1,n Ezz = ∆z 2 Ei,j,k,n+1 − 2Ei,j,k,n + Ei,j,k,n−1 Ett = ∆t2 für die zeitliche Iteration muss Ei,j,k,n+1 berechnet werden Exx = c2 (Exx + Eyy + Ezz ) = Ei,j,k,n+1 − 2Ei,j,k,n + Ei,j,k,n−1 ∆t2 somit Ei,j,k,n+1 = c2 ∆t2 (Exx + Eyy + Ezz ) + 2Ei,j,k,n − Ei,j,k,n−1 2 2 Ei,j,k,n+1 = c ∆t (Exx + Eyy ) + 2Ei,j,k,n − Ei,j,k,n−1 2 2 Ei,j,k,n+1 = c ∆t Exx + 2Ei,j,k,n − Ei,j,k,n−1 (9) (10) (11) wobei (9) den drei-, (10) den zwei- und (11) den eindimensionalen Fall beschreibt. b) verlustbehaftet (5) c2 (Exx + Eyy + Ezz ) = σ Et + Ett explizite Differenzengleichungen Exx = Ei+1,j,k,n − 2Ei,j,k,n + Ei−1,j,k,n ∆x2 4 Eyy = Ei,j+1,k,n − 2Ei,j,k,n + Ei,j−1,k,n ∆y 2 Ei,j,k+1,n − 2Ei,j,k,n + Ei,j,k−1,n ∆z 2 Ei,j,k,n+1 − 2Ei,j,k,n + Ei,j,k,n−1 Ett = ∆t2 Ei,j,k,n+1 − Ei,j,k,n Et = ∆t für die zeitliche Iteration muss Ei,j,k,n+1 berechnet werden Ezz = a= σ Ei,j,k,n+1 − 2Ei,j,k,n + Ei,j,k,n−1 Ei,j,k,n+1 − Ei,j,k,n +a ∆t2 ∆t a 2 a 1 1 c2 (Exx +Eyy +Ezz ) = ( 2 + )Ei,j,k,n+1 −( 2 + )Ei,j,k,n + 2 Ei,j,k,n−1 ∆t ∆t ∆t ∆t ∆t mit 1 b1 = 1 a ∆t2 + ∆t c2 (Exx + Eyy + Ezz ) = 2 a + ∆t2 ∆t 1 b3 = ∆t2 b2 = Ei,j,k,n+1 = b1 [c2 (Exx + Eyy + Ezz ) + b2 Ei,j,k,n − b3 Ei,j,k,n−1 ] 2 Ei,j,k,n+1 = b1 [c (Exx + Eyy ) + b2 Ei,j,k,n − b3 Ei,j,k,n−1 ] 2 Ei,j,k,n+1 = b1 [c Exx + b2 Ei,j,k,n − b3 Ei,j,k,n−1 ] (12) (13) (14) wobei (12) den drei-, (13) den zwei- und (14) den eindimensionalen Fall beschreibt. 6. Stabilitätskriterien Für ∆ = ∆x = ∆y = ∆z gilt ∆t = S 5 ∆ c mit Stabilitätsfaktor S. 1 S=√ d d: Dimension 1,2 oder 3. 7. Randbedingungen Mit der Bedingung Erand = 0 wird die einfallende Welle total reflektiert. Im eindimensionalen Fall kann mit folgenden Bedingungen die Welle absorbiert werden. E0,n = E1,n−1 ENx −1,n = ENx −2,n−1 wobei Nx die Länge des Gitters ist. Für zwei und drei Dimensionen werden ABC (Absorbing Boundary Conditions) verwendet wie in [3] beschrieben. Die Reflexionen verschwinden nicht ganz und betragen ein bis fünf Prozent. Ausgehend von den Engquist-Majda Einweg Wellengleichungen (Taylor Approximation zweiter Ordnung) : x=0 x = Nx 1 ∂2E c ∂2E ∂2E − + =0 2 ∂x∂t c ∂t 2 ∂y 2 1 ∂2E c ∂2E ∂2E + − =0 2 ∂x∂t c ∂t 2 ∂y 2 y=0 1 ∂2E c ∂2E ∂2E − + =0 2 ∂y∂t c ∂t 2 ∂x2 y = Ny ∂2E 1 ∂2E c ∂2E + − =0 2 ∂y∂t c ∂t 2 ∂x2 werden finite Differenzen gebildet, welche Mur ABC genannt werden. Für x=0 und ∆ = ∆x = ∆y : E0,j,n+1 = −E1,j,n−1 + + c∆t − ∆ 2∆ (E1,j,n+1 + E0,j,n−1 ) + (E0,j,n + E1,j,n ) c∆t + ∆ c∆t + ∆ (c∆t)2 (E0,j+1,n − 2E0,j,n + E0,j−1,n + E1,j+1,n − 2E1,j,n + E1,j−1,n ) 2∆(c∆t + ∆) Für x = Nx , y = 0 und y = Ny werden die Indexe gemäss den Einweggleichungen ausgetauscht. 6 Die Reflexionen an den Ecken werden mit E0,0,n = E1,1,n−2 E0,Ny−1 ,n = E1,Ny−2 ,n−2 ENx−1 ,0,n = ENx−2 ,1,n−2 ENx−1 ,Ny−1 ,n = ENx−2 ,Ny−2 ,n−2 unterdrückt. Für drei Dimensionen lauten die Einweggleichungen: x=0 x = Nx ∂2E 1 ∂2E c ∂2E c ∂2E − + + =0 2 2 ∂x∂t c ∂t 2 ∂y 2 ∂z 2 ∂2E 1 ∂2E c ∂2E c ∂2E + − − =0 2 2 ∂x∂t c ∂t 2 ∂y 2 ∂z 2 y=0 1 ∂2E c ∂2E c ∂2E ∂2E − + + =0 2 2 ∂y∂t c ∂t 2 ∂x 2 ∂z 2 y = Ny ∂2E 1 ∂2E c ∂2E c ∂2E + − − =0 ∂y∂t c ∂t2 2 ∂x2 2 ∂z 2 z=0 z = Nz 1 ∂2E c ∂2E c ∂2E ∂2E − + + =0 2 2 ∂z∂t c ∂t 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂2E 1 ∂2E c ∂2E c ∂2E + − − =0 2 2 ∂z∂t c ∂t 2 ∂x 2 ∂y 2 Für x = 0 und ∆ = ∆x = ∆y = ∆z E0,j,k,n+1 = −E1,j,k,n−1 + + c∆t − ∆ 2∆ (E1,j,k,n+1 +E0,j,k,n−1 )+ (E0,j,k.n +E1,j,k,n ) c∆t + ∆ c∆t + ∆ (c∆t)2 (E0,j+1,k,n −4E0,j,k,n +E0,j−1,k,n +E1,j+1,k,n −4E1,j,k,n +E1,j−1,k,n 2∆(c∆t + ∆) +E0,j,k+1,n + E0,j,k−1,n + E1,j,k+1,n + E1,j,k−1,n ) Für x = Nx , y = 0, y = Ny , z = 0 und z = Nz werden die Indexe gemäss den Einweggleichungen ausgetauscht. 7 Die Reflexionen an den Kanten und Ecken werden mit E0,0,k,n = E1,1,k,n−2 E0,Ny−1 ,k,n = E1,Ny−2 ,k,n−2 ENx−1 ,0,k,n = ENx−2 ,1,k,n−2 ENx−1 ,Ny−1 ,k,n = ENx−2 ,Ny−2 ,k,n−2 Ei,0,0,n = Ei,1,1,n−2 Ei,0,Nz−1 ,n = Ei,1,Nz−2 ,n−2 Ei,Ny−1 ,0,n = Ei,Ny−2 ,1,n−2 Ei,Ny−1 ,Nz−1 ,n = Ei,Ny−2 ,Nz−2 ,n−2 E0,j,0,n = E1,j,1,n−2 E0,j,Nz−1 ,n = E1,j,Nz−2 ,n−2 ENx −1,j,0,n = ENx −2,j,1,n−2 ENx−1 ,j,Nz−1 ,n = ENx−2 ,j,Nz−2 ,n−2 unterdrückt. 8.Quellen [1]Taschenbuch der Hochfrequenztechnik, Meinke Gundlach, fünfte Auflage Springer Verlag (für Abschnitt 1 bis 4) [2] Stichwort Finite Differenzen Methode (diverse Literatur) (für Abschnitt 5) [3] computational electrodynamics, the finite-difference-time-domain method, third edition, Taflove Hagness, Artech House (für Abschnitt 6 und 7) 8
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