Ausarbeitung

Viktor Levandovskyy
Sebastian Thomas
RWTH Aachen, SS 2016
21.04.2016
Lineare Algebra für Informatiker
Addendum zur Konstruktion von F4
Um eine Formel für das (multiplikative) Inverse eines Elements (a0 , a1 ) ∈ (F2 × F2 ) \ {0F2 ×F2 } mit der
in der Tutoraufgabe angegebenen Multiplikation zu bestimmen, machen wir eine Analyse. Wir nehmen an,
dass (b0 , b1 ) ∈ F2 × F2 das Inverse zu (a0 , a1 ) ist, d.h. wir nehmen an, dass
(a0 , a1 )(b0 , b1 ) = 1F2 ×F2
gilt. Nach Definition der Multiplikation und dem zuvor gefundenen Einselement folgt
(a0 b0 + a1 b1 , a0 b1 + a1 b0 + a1 b1 ) = (1, 0)
in F2 × F2 , also
a0 b0 + a1 b1 = 1,
a1 b0 + (a0 + a1 )b1 = 0
in F2 . Somit ist (b0 , b1 ) eine Lösung des linearen Gleichungssystems zur erweiterten Koeffizientenmatrix
1
a0
a1
.
a1 a0 + a1 0
Im Folgenden wenden wir elementare Zeilenoperationen an. Hierfür nehmen wir an, dass a0 ∈ F2 ×
×
und a0 + a1 − a1 a−1
gilt.
0 a1 ∈ F2
a0
a1
1
1 add2,1,−a1 a−1
0
7−−−−−−−−−→
−1
0
0 a0 + a1 − a1 a−1
0 a1 −a1 a0
add1,2,−a (a +a −a a−1 a )−1 −1
a0
0
1 + a1 (a0 + a1 − a1 a−1
a1 a−1
1 0
1
1
1
0 a1 )
0
7−−−−−−−−−−−−−−−0−−−−→
0 a0 + a1 − a1 a−1
−a1 a−1
0 a1
0
mul2,(a +a −a a−1 a )−1 ◦mul1,a−1 −1
−1
−1
−1
1 0 a0 + a0 a1 (a0 + a1 − a1 a0 a1 ) a1 a−1
0
1
1 0
1
0
0
7−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−
→
−1
0 1
−(a0 + a1 − a1 a−1
a1 a−1
0 a1 )
0
a0
a1
a1
a0 + a1
Folglich ist
−1
−1
−1
−2
−1 2 −1 2
−1
b0 = a−1
a1 a−1
a1
0 + a0 a1 (a0 + a1 − a1 a0 a1 )
0 = a0 + a0 (a0 + a1 − a0 a1 )
−1
−1 2 −1 2
−1 2
2 −1 2
= a−1
a1 = a−1
a1
0 + a0 (a0 (a0 + a1 − a0 a1 ))
0 + a0 (a0 + a0 a1 − a1 )
2
2 −1 2
= a−1
(a0 + a0 a1 − a21 ) + (a0 (a20 + a0 a1 − a21 ))−1 a21
0 (a0 + a0 a1 − a1 )
2
2 −1 2
2
2 −1 2
= a−1
(a0 + a0 a1 − a21 + a21 ) = a−1
(a0 + a0 a1 )
0 (a0 + a0 a1 − a1 )
0 (a0 + a0 a1 − a1 )
2
2 −1
= a−1
a0 (a0 + a1 ) = (a20 + a0 a1 − a21 )−1 (a0 + a1 )
0 (a0 + a0 a1 − a1 )
−1
−1
−1
−1
−1
b1 = −(a0 + a1 − a1 a−1
a1 a−1
a1 = −(a0 (a0 + a1 − a1 a−1
a1
0 a1 )
0 = −a0 (a0 + a1 − a1 a0 a1 )
0 a1 ))
= −(a20 + a0 a1 − a21 )−1 a1 .
Für x ∈ F2 gilt x ∈ F2 × genau dann, wenn x = 1 ist. Wir erhalten
b0 = (a20 + a0 a1 − a21 )−1 (a0 + a1 ) = a0 + a1 ,
b1 = −(a20 + a0 a1 − a21 )−1 a1 = a1 .
Somit haben wir unter den getroffenen Annahmen gezeigt, dass
(a0 , a1 )−1 = (b0 , b1 ) = (a0 + a1 , a1 )
ist.
Um zu zeigen, dass für (a0 , a1 ) ∈ (F2 × F2 ) \ {0F2 ×F2 } stets (a0 , a1 )−1 = (a0 + a1 , a1 ) gilt, verifizieren wir die
definierende Eigenschaft einer Inversen. Für (a0 , a1 ) ∈ (F2 × F2 ) \ {0F2 ×F2 } gilt stets
a20 + a0 a1 + a21 = 1
und damit
(a0 + a1 , a1 )(a0 , a1 ) = ((a0 + a1 )a0 + a1 a1 , (a0 + a1 )a1 + a1 a0 + a1 a1 )
= (a20 + a0 a1 + a21 , a0 a1 + a21 + a0 a1 + a21 ) = (1, 0).
Mit der Kommutativität der Multiplikation folgt, dass für (a0 , a1 ) ∈ F2 × F2 stets
(a0 + a1 , a1 )
das zu (a0 , a1 ) inverse Element ist.

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