Blatt 1

Wahrscheinlichkeitstheorie II
Prof. Michael Röckner
SS 2016
Nora Müller
Blatt 1
Abgabe: Freitag 22.4.2016, 12 Uhr
(4 Punkte)
Geben Sie ein Beispiel eines dynamischen Systems (Ω, A, P, T ) (ausführlich!) an, so dass P
ergodisch, aber P nicht ergodisch bezüglich T 2 ist.
Aufgabe 1.
Aufgabe 2 (Korollar 6.3.2).
(4 Punkte)
Sei (Ω, A, P, T ) ein dynamisches System. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent
sind:
(i) P ist ergodisch
(ii) Für alle A, B ∈ A gilt
n−1
1X
P (A ∩ T −k (B)) = P (A)P (B)
lim
n→∞ n
k=0
(iii) Jede Zerlegung Ω = F ∪ F { in invariante Mengen F und F { hat die Eigenschaft, dass
P (F ) = 0 oder P (F { ) = 0.
(4 Punkte)
Sei (Ω, A, P, T ) ein dynamisches System. Sei A ∈ A eine P-f.s. invariante Menge, d.h.
Aufgabe 3.
P (A ∆ T −1 (A)) = 0
mit ∆ der symmetrischen Mengendierenz. Zeigen Sie, dass es eine Menge A0 ∈ I gibt, so dass
P (A ∆ A0 ) = 0, d.h. die Menge A0 unterscheidet sich von A nur auf einer Nullmenge.
Hinweis: Betrachten Sie
n−1
o
n
1X
1A00 (T k ω) = 1 mit
A0 = ω ∈ Ω lim
n→∞ n
k=0
00
A =
∞
\
T −k (A).
k=0
Wie sehen die Teilmengenbeziehungen zwischen A, A0 , A00 aus?
Aufgabe 4.
(4 Punkte)
Sei (Ω, A, P, T ) ein dynamisches System. Sei A ∈ A. Zeigen Sie, dass für P -f.a. ω ∈ {EA < ∞}
gilt, dass T k ω ∈ A für unendlich viele k ∈ N.

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