Typische Prüfungsfragen

Fakultät für Mathematik
Dr. M. Weise
Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen, WS 2015/16
Typische Prüfungsfragen
Die folgenden Fragen dienen lediglich der Orientierung und müssen nicht den tatsächlichen Prüfungsfragen entsprechen. Für eine gute Prüfungsleistung werden auch
Kenntnisse über die zugehörigen Beweise bzw. Beweisideen vorausgesetzt. Auch Erkenntnisse aus den Übungen und Hausaufgaben können Bestandteil der Prüfung sein.
Überblick, Kapitel 0: Einführung und Motivation
(1) Nennen Sie die Grundaufgabe der Vorlesung.
(2) Welche Klassen von Verfahren wurden in der Vorlesung behandelt? Gehen Sie
auf Gemeinsamkeiten und Unterschiede ein.
(3) Man unterscheidet explizite und implizite Verfahren. Erklären Sie den Unterschied. Was sind Vor- und Nachteile dieser Klassen von Verfahren?
Kapitel 1: Numerische Lösung von AWP
(4) Geben Sie das einfachste numerische Verfahren zur Lösung von AWP an.
(5) Definieren Sie den Begriff Einschrittverfahren.
(6) Was ist der Konsistenzfehler von Einschrittverfahren?
(7) Wie ist die Konvergenzordnung eines ESV definiert?
(8) Wie beweist man die Konvergenz eines ESV? Wie sieht dabei die Fehlerabschätzung aus? Welcher Zusammenhang besteht zwischen Konsistenz- und Konvergenzordnung?
(9) Welchen Einfluss können Rundungsfehler bei der praktischen Rechnung haben?
(10) Was ist bei nicht-glatter rechter Seite f zu beachten?
(11) Definieren Sie ein allgemeines Runge-Kutta-Verfahren und geben Sie einige Beispiele an.
(12) Was bedeutet der Begriff Autonomie-Invarianz? Mit welchen Bedingungen an
RKV kann man Autonomie-Invarianz sicherstellen?
(13) Welche Art von Gleichungen treten bei impliziten RKV i. A. auf und mit welchen
Verfahren kann man diese lösen? Sind die Gleichungen immer lösbar?
(14) Welche Ordnungen kann man mit expliziten bzw. impliziten RKV erreichen?
(15) Welche Verfahrensklasse stellt einen Kompromiss zwischen expliziten und impliziten RKV dar? Skizzieren Sie die Konstruktion eines solchen Verfahrens.
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(16) Definieren Sie die Begriffe Stabilitätsfunktion und Stabilitätsgebiet von ESV.
Was bedeutet die A-Stabilität?
(17) Was sind steife Differentialgleichungen? Welche Anforderungen stellen sie an
ESV?
(18) Erläutern Sie die Idee der Schrittweitensteuerung. Mit welchen zwei Ideen kann
man den lokalen Fehler schätzen?
(19) Was sind eingebettete RKV?
(20) Was sind RKV mit dichter Ausgabe?
(21) Wie geht man bei Dgl zweiter Ordnung vor?
(22) Was ist die Besonderheit bei symplektischen RKV?
(23) Was ist die Idee bei Mehrschrittverfahren? Welche Konstruktionsprinzipien gibt
es?
(24) Definieren Sie für ein lineares MSV das erste und zweite assoziierte Polynom.
(25) Was ist der Konsistenzfehler solcher Verfahren?
(26) Wie kann man die Konsistenzordnung eines MSV mit Hilfe der assoziierten Polynome ausdrücken?
(27) Erklären Sie den Begriff der Nullstabilität von MSV. Welche Bedeutung hat er für
das praktische Verfahren eines MSV?
(28) Wie ist die Konvergenzordnung eines MSV definiert?
(29) Wie beweist man die Konvergenz eines MSV? Wie sieht dabei die Fehlerabschätzung aus? Welcher Zusammenhang besteht zwischen Konsistenz- und Konvergenzordnung?
(30) Welche Probleme treten bei MSV mit fehlender Nullstabilität auf?
(31) Definieren Sie die Begriffe Stabilitätspolynom und Stabilitätsgebiet von MSV.
Was bedeutet die A-Stabilität?
(32) Gibt es noch andere Stabilitätsbegriffe bei MSV?
(33) Wie sind Prädiktor-Korrektor-Verfahren konstruiert? Welche Konvergenzordnung besitzen sie?
(34) Was versteht man unter exponentiellen Integratoren? Was sind Vor- und Nachteile dieser?
(35) Nennen Sie die Variationsformulierung eines Anfangswertproblems.
(36) Was versteht man unter einem Discontinuous-Galerkin-Verfahren?
Kapitel 2: Weiterführende Themen
(37) Was ist ein Randwertproblem für gewöhnliche Differentialgleichungen?
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(38) Wie kann man ein RWP numerisch lösen?
(39) Nennen Sie ein Beispiel für eine differentiell-algebraische Gleichung.
(40) Definieren Sie ein allgemeines lineares DAE-System mit konstanten Koeffizienten.
(41) Was sind singuläre Matrixpaare? Welche Bedeutung haben sie für lineare DAESysteme?
(42) Wie kann man lineare DAE-Systeme numerisch behandeln?
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