Spatprodukt mit Lösung

Spatprodukt
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1. Die Punkte A2 | 1 | 1, B6 | 3 | 2, D − 2 | − 1 | 2 und E3 | 2 | 5 sind die Ecken eines

 
 



Spats ABCDEFGH.
Berechnen Sie seinen Rauminhalt.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Die Punkte A3 | 1 | 1, B4 | 5 | − 1 und D − 2 | 1 | 1 sind die Eckpunkte eines Spats

 



ABCDEFGH.
Der Eckpunkt E liegt auf der x3-Acse und der Rauminalt des Quaders beträgt 24 VE.
Bestimme die Koordinaten von E.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Gegeben ist eine dreiseitige Pyramide mit den Ecken A3 | − 6 | 1, B − 2 | − 2 | 13

 





C 6 | − 2 | 5 und der Spitze D − 6 | 12 | 1 .




Berechne das Volumen der Pyramide.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Eine Pyramide hat die Eckpunkte A4 | 0 | 0, B0 | 6 | 0, C0 | 0 | 0 und D0 | 0 | 3.

 
 



a) Stelle die Pyramide in einem Koordinatensystem dar und berechne das Volumen der
Pyramide.
b) Berechne die Oberfläche der Pyramide.
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Lösungen
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 


 
4
 −4 
1
1. AB = B − A =  2 , AD = D − A =  − 2  und AE = E − A =  1 
1
 1 
4
 


 
  
 

4   −4   4 
AB × AD =  2  ×  − 2  =  − 8 
1  1   0 
  
 


  
 4  1


AB × AD ⋅ AE =  − 8  ⋅  1  = − 4 ⇒ VSpat = 4
 0  4



  
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Ansatz: E0 | 0 | e








 1 
 −5 
 −3 
AB = B − A =  4 , AD = D − A =  0  und AE = E − A =  − 1 
 −2 
 0 
 e−1 







 
 

 1   −5   0 
AB × AD =  4  ×  0  =  10 
 − 2   0   20 

 
 

  

 0   − 2 
Bedingung: 10 ⋅  − 1  = 24 ⇔ |20e − 20| = 24 ⇒ e = 2,4 ∨ e = − 0,2
  

20 e − 1


-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Das Volumen der Pyramide ist gleich einem Sechstel des Volumen des Spats mit den
Ecken A, B, C und D.
VABCD = 216
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------4.Volumen und Oberfläche lassen sich elementar berechnen.
VABCD = 12 QABCD = 27 + 3 29
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