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Kap. 7: Die quadratische Funktion –
numerisch, graphisch, theoretisch
Dr. Dankwart Vogel
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Drei Beispiele
Beispiel 1
Rohölreserven der Welt
Wann ist der Vorrat erschöpft?
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Beachte: Nimmt der Verbrauch linear zu, so nimmt der Vorrat
quadratisch ab.
Jahresverbrauch n Jahre nach 2007 in Mio. Barrel pro Tag:
vn = d + e ×n
mit
d = 85, 8...
und
e = 1, 3...
Verbleibende Erdölreserven n Jahre nach 2007 in Mrd. Barrel:
æ
n (n - 1 )ö
365
÷
ç
÷
rn = r0 - ççd ×n + e ×
×
÷
÷ 1000
çè
2
ø
= ...
= - 0, 24... ×n 2 - 31,10... ×n - 1143, 36...
Frage: Wann genau ist das Vorkommen erschöpft?
Die Antwort gibt zunächst Excel:
Numerisch:
n
Vorrat
29
41,1
30
-4,0
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Graphisch: Bereits 2037 ist das Erdölvorkommen erschöpft.
Weltölvorrat
Mrd. Barrel
1200,0
y = -0,24x2 - 31,10x + 1143,36
800,0
400,0
0,0
0
10
20
30
Jahre nach 2007
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Theoretisch
Gesucht ist die Lösung einer Gleichung der Form:
at 2 + bt + c = 0
Beachte: Wir sind zum kontinuierlichen Modell übergegangen.
Interessiert uns nicht nur, wann das Ölvorkommen auf null,
sondern wann es auf irgendeinen Wert gesunken ist, müssen wir
die Funktion
t a r (t ) = at 2 + bt + c
umkehren.
Beide Probleme
 Lösen einer (quadratischen) Gleichung und
 Umkehren einer (quadratischen) Funktion
können wir graphisch, numerisch oder algebraisch angehen.
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Graphisch
Lies am Funktionsgraph
zum gegebenen r-Wert
den zugehörigen t-Wert ab.
Numerisch
Mit TR oder Excel
Tabellenfunktion
Solver
Algebraisch
quadratische Ergänzung
p/q-Formel
Auch die Umkehrfunktion lässt sich graphisch, numerisch und
algebraisch finden.
Dabei ist jedoch zu beachten, dass die quadratische Funktion
nur für
x £ x S (bzw. x ³ x S )
umkehrbar ist.
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Beispiel
Umkehrung der quadratischen Funktion
g(x ) = 21 (x - 2 )2 + 1 in [2,¥ [
1. Durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden.
2. Durch Vertauschen von x und y und Auflösen nach x:
y = 21 (x - 2 )2 + 1
x « y
x =
1
2 (y
- 2 )2 + 1
(y - 2 )2 = 2 (x - 1 )
y = 2+
2 (x - 1 ), x ³ 1
Die zweite Lösung (negative Wurzel) entfällt, da y ³ 2
vorausgesetzt ist.
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Umkehrung der quadratischen Funktion allgemein
g(x ) = a (x - x S )2 + y S in [x S ,¥ [ bzw. in ]- ¥ , x S ]
 Durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden.
 Durch Vertauschen von x und y und Auflösen nach x:
y = a (x - x S )2 + y S
x « y
x = a (y - x S )2 + y S
1
(x - y S )
a
1
(x - y S ), x ³ y S falls a > 0,
y = xS +
a
sonst x £ yS .
(y - x S )2 =
Eine der beiden Lösungen entfällt, je nach dem welcher Ast der
Funktion g umzukehren ist.
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Formen der quadratischen Gleichung
(1) Allgemeine Form
y = ax 2 + bx + c
(2) Normalform
y = x 2 + px + q
(3) Scheitelpunktform
y = a (x - x S )2 + y S
(4) Produktdarstellung
y = a (x - x 1 )(x - x 2 )
(5) Drei-Punkte-Form
y =
(x (x A
-
)(x - xC )
yA
x B )(x A - xC )
xB
+
+
(x (x B
x A )(x - xC
)
- x A )(x B - xC
(x -
x A )(x - x B
)
)
(xC - x A )(xC - x B
)
yB
yC
Jede dieser Formen hat ihre Berechtigung.
Frage: Wann verwenden wir welche?
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Der Graph eines quadratischen Polynoms
quadratisches Polynom
Graph des Polynoms
y = x2
Normalparabel (NP)
y = ax 2
um a in y-Richtung
gestreckt
y = ax 2 + y S
zusätzlich um y S in yRichtung verschoben
y = a (x - x S )2 + y S
zusätzlich um x S in xRichtung verschoben
Satz: Der Graph des quadratischen Polynoms ist eine Parabel.
y = ax 2 + bx + c
Beweis: Da sich jedes quadratische Polynom
in die Scheitelpunktsform bringen lässt, geht sein Graph durch Strecken
und Verschieben aus der NP hervor – ist also eine Parabel.
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Was man sich merken sollte
1. Die Streckung muss der Verschiebung in y-Richtung vorausgehen,
sonst ist die Reihenfolge egal. (Warum?)
p
2. Die x-Koordinate von S ist - , denn S liegt genau in der Mitte
2
zwischen beiden Nullstellen. (Denke an die p/q-Formel!) Dies bleibt
richtig, wenn die Parabel keine oder eine Nullstelle hat.
Die y-Koordinate ergibt sich dann durch Einsetzen. So erhält man
schnell, mühelos und sicher die Scheitelpunktsform aus der
Normalform.
3. Die p/q-Formel ersetzt nicht die Methode der quadratischen
Ergänzung. (Wer dagegen die quadratische Ergänzung beherrscht,
kann die p/q-Formel jederzeit herleiten, also entbehren.)
4. Jedes quadratische Polynom lässt sich auf die Form
a (x + b)2 + c
bringen. An ihr lässt sich sofort ablesen, dass es bei x = - b sein
Minimum (bzw. Maximum) annimmt, wenn a > 0 (bzw. a < 0 ) ist.
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Aufgabe
Wie kann man allein aus dem Bild einer Parabel auf die
Vorzeichen der Koeffizienten a, b, c in y = ax 2 + bx + c
schließen?
Exploration
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Lösung
Die Parabel ist nach oben geöffnet
Þ a> 0
Der Scheitelpunkt liegt links der y- Achse
Þ
Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist oberhalb O
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(a £ 0 sonst )
b
b
> 0 ( £ 0 sonst )
a
a
Þ c > 0 (c £ 0 sonst )
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P A U S E
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