Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Kapitel III: Das Planetensystem 1 Tycho Brahe (1546-1601) Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Letzter großer Astronom ohne Fernrohr Außergewöhnlich sorgfältig und systematischer Beobachter erster moderner Wissenschaftler Brahesches Weltbild: Erde im Zentrum, Planeten umkreisen die Sonne Detaillierte Vermessung der Marsbahn über 30 Jahre Er bestimmte die Parallaxe von Kometen Kometen ziehen ihre Bahnen jenseits des Mondes Er beobachtete eine Supernova [“neuer Stern”] im Sternbild Kassiopeia, konnte aber keine Parallaxe messen Supernova ist Teil der Himmelssphäre Seine Beobachtungen erschütterte die Aristotelische Idee eines ewigen und unveränderlichen Himmels 2 Johannes Kepler (1571-1630) Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Tycho Brahes Nachfolger in Prag Er fand heraus, dass weder das Ptolemäische noch das Brahesche noch das heliozentrische Modell die Beobachtungen mit hinreichender Genauigkeit reproduzieren kann. Schluss: Planeten bewegen sich auf Ellipsen, nicht auf Kreisen 3 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Keplers drei Gesetze der Planetenbewegung 1. Keplersches Gesetz: Die Planeten umlaufen die Sonne auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. 4 Ellipsen - Kegelschnitte =SC/AC = eccentricity Kegelschnitte Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem =0: 0 < < 1: =1: >1: Kreis Ellipse Parabel Hyperbel 5 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Keplers drei Gesetze der Planetenbewegung 2. Keplersches Gesetz: Der Radiusvektor von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen 6 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Keplers drei Gesetze der Planetenbewegung 3. Keplersches Gesetz: Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der großen Halbachsen 2 1 2 2 3 1 3 2 P a P a 7 3. Keplersches Gesetz Beispiel: Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Abstand der Erde zur Sonne: RE = 1AU Umlaufzeit: PE = 1a Umlaufzeit des Mars: PM = 1.88a Die große Halbachse der Marsbahn um die Sonne kann berechnet werden: 3 RM 3 RE 2 PM 2 PE 2/3 RM = 1.88 AU = 1.52 AU Immer noch die wichtigste Methode in der Astronomie, um die Ausdehnung astronomischer Systeme zu vermessen 8 Weiteres Beispiel Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 1781: Herschel entdeckt Uranus Abstand Erde zur Sonne: RE = 1AU Umlaufzeit der Erde: PE = 1a Über Parallaxen: RU = 19.2 AU Die Umlaufzeit von Uranus um die Sonne kann berechnet werden: 3 RM RE3 PM2 PE2 3/2 PU = 19.2 yr = 84 yr 9 Galileo Galilei (1564-1642) Er war nicht der Erfinder des Fernrohrs ! Aber er war der erste, der es gen Himmel richtete Er entwickelte Test für die Aristotelische Physik und verwarf daraufhin letztere Berühmt für seinen Ketzerei-Prozess 1633 vom Vatikan rehabilitiert 1980 ! Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 10 Beispiel: Fallgesetze Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Fällt ein Hammer schneller als eine Feder? Aristoteles: ja, Hammer besteht mehr aus Erde, Feder mehr aus Luft Galileo: nein, beide fallen (im luftleeren Raum) gleich schnell Apollo 15: beide fallen gleich schnell 11 Galileis astronomische Entdeckungen Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Berge auf dem Mond ähnlich denen auf der Erde keine perfekt Kugelgestalt Sterne punktartig, Planeten: Sphären Entdeckung der Phasen der Venus Ptolemäischen Weltmodell Entdeckung der Monde des Jupiter Miniatur-Sonnensystem Entdeckung(?)/Interpretation der Sonnenflecken Himmel ist unveränderlich Milchstraße = Zillionen von Sternen 12 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Die Phasen der Venus heliozentrisch geozentrisch 13 Der Prozess des Galileo Galilei Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Schwieriger Charakter, sehr arrogantes Auftreten Er hielt Vorlesungen für die Öffentlichkeit. Herausragender Redner und Lehrer Er publizierte auf italienisch. 1632 berühmtes Buch “Dialog über die beiden hauptsächlichen Weltsysteme“. Das Ptolemäische Weltbild wurde von Simplicio verteidigt, einem offensichtlichen Dummkopf Weiteres, noch extremeres Beispiel: Giordano Bruno 14 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Die drei Newtonschen Bewegungsgesetze 1. Newtonsches Gesetz: Ein Körper beharrt im Zustand der Ruhe oder bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Geraden, sofern er nicht einer äußeren Kraft unterworfen wird. 15 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Die drei Newtonschen Bewegungsgesetze 2. Newtonsches Gesetz Die zeitliche Änderung des Impulses eines Körpers ist proportional der Größe der äußeren Kraft, die auf ihn wirkt. F=ma 16 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Die drei Newtonschen Bewegungsgesetze 3. Newtonsches Gesetz Die Kräfte, die zwei Körper aufeinander ausüben, sind ihrer Größe nach gleich und entgegengesetzt gerichtet. 17 Keplers Gesetze und Newtons Gesetze Worin besteht der Unterschied ? Kepler: empirische Gesetze, beschreiben Zusammenhänge in der Natur Newton: Axiome, auf denen das physikalische Gesamtmodell beruht Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 18 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Das Newtonsche Gravitationsgesetz Mm F G 2 r Gravitationskonstante schwere und träge Masse G = 6.6725910-8 dyne cm2 g-2 Trägheit: Resistenz der Masse mT ihren Bewegungszustand zu ändern ist proportional zu mT Schwerkraft: die Masse mS übt eine Anziehung aus, die proportional zu mS ist beide Massen sind proportional zueinander Im Experiment: Unterschied kleiner als 10-12 Zur Bequemlichkeit: mT=mS 19 Das Newtonsche Gravitationsgesetz Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Warum ein r-2 Gesetz? Kepler III: T kr 2 3 k: eine Konstante Aus Geometrie Kreisbahn 4 r T 2 v 2 2 2 Zentripetalkraft Fc v 4 m Fc m 2 r kr 2 2 Da Fc=FG gilt, muss, um Kepler III zu erhalten, 1 FG 2 r 20 Das Newtonsche Gravitationsgesetz Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Kraft einer Punktmasse i der Masse mi bei Position ri auf Testteilchen m bei r G mi m Fi ( r ) 3 ri r ri r Kraft eines Systems von N Teilchen N G mi m F ( r ) 3 ri r i 1 ri r Kontinuumslimit mi m V ( r) 3 F ( r ) Gm d r 3 r r r r V 21 Das Newtonsche Gravitationsgesetz Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem ( r) 3 F ( r ) Gm d r 3 r r r r V Mathematisch identisch zum Coulomb-Gesetz, allerdings gilt für die Gravitation immer ≥ 0 Gravitation sättigt nicht (Elektrostatik: Ladungsneutralität für hinreichend große Volumina) zum Teil schwierig korrigierbare Singularitäten Deutliche Vereinfachungen für sphärische Symmetrie 22 Theorem Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Eine homogene Kugelschale vom Radius r, von der Dicke r und der Masse M übt keinerlei Kraft auf einen beliebigen Punkt im Innern der Schale aus. Außerhalb der Schale ist die Kraft äquivalent zu der einer Punktmasse M am Schwerpunkt der Schale. Beweis: nicht offensichtlich (r ) 3 Methode 1: Berechne Integral G d r 3 r r r r aufreibend und langweilig V Carrol and Ostlie Methode 2: etwas Vektoranalysis 23 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Beweis Kraft auf Teilchen m: F mG ) ( r Gravitatio nsfeld : G G d 3r 3 r r r r V M für Einzel teilchen M : G G 3 r r G r V × M n cos dA r 2d d ∂V GM Gravitatio nsfeld von M in Richtung n: G n dA 2 cos dA r GM d 24 Beweis n1 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem G1 r1 × G2 rM 2 n2 G1 dA1 dA2 d1 2 2 r1 r2 d 2 d r1 d V G2 ∂V × M n1 d n2 r2 V ∂V Betrachte zwei gegenüberliegende Punkte auf ∂V G1 n1 dA1 G2 n2 dA2 G1 n1 dA1 G2 n2 dA2 GMd GMd GMd GMd 2GMd 0 25 Beweis n1 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem G1 r1 × G2 rM 2 n2 G1 dA1 dA2 d1 2 2 r1 r2 d 2 d r1 d V ∂V G2 × M n1 d n2 r2 V ∂V Integriere über Halbkugel jeweils gegenüberliegende Paare auf ∂V dA G n G d M V 4 4 GM dA G1 n1 0 V 26 Beweis dA G n Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem V -4GM für M innerhalb von V 0 für M außerhalb von V unabhängig von der genauen Lage von M innerhalb/außerhalb von S Für ein Vielteilchensystem von N Teilchen: dA G n 4G Mi i V V für Kontinuum: 3 3 dA G n d r G 4G d r (r ) V V G 4G V 27 Beweis Für homogene Kugelschale mit Radius R, Dicke R und Masse M=4R2R: Integriere über Kugeloberfläche mit Radius r Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem R R r<R 2 dA G n G 4 r 0 r V G 0 F 0 28 Beweis R Für homogene Kugelschale mit Radius R, Dicke R und Masse M=4R2R: Integriere über Kugeloberfläche mit Radius r Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem R r>R 2 dA G n G 4 r 4GM r V GM GMm G 2 F 3 r r r q.e.d 29 Zur Erinnerung: wesentliche Annahmen Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem r-2-Kraftgesetz G n dA GM d unabhänging von r Gilt z.B. nicht für Kernkräfte Lineare Superposition der Massen Zentralkraft r GG r sphärische Symmetrie dA G n G 4 r 2 V 30 Newton ⇨ Kepler I. Motivation Bereits gezeigt: r-2-Kraftgesetz Kepler III (für Kreisbahn) Betrachte Kreisbahn, gleichförmige Bewegung Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem In t überstrichene Fläche: A dA 1 1 A 2 r vt 2 rv t dt A r v Drehimpulserhaltung: rv const. Kepler II aber gilt das auch für nicht-zirkulare Bahnen? Kepler I ??? 31 Newton ⇨ Kepler I. Motivation zeige, dass allgemein gilt P2 a3 dA/dt = const. Kegelschnitt: Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem a 1 2 r ( ) 1 cos p 1 cos p 32 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Newton ⇨ Kepler II. Überblick Zweikörperproblem ⇨ Einkörperproblem Aufstellen der Bewegungsgleichung Lösung der Bewegungsgleichung Ableitung der Keplerschen Gesetze Einkörperproblem ⇨ Zweikörperproblem 33 Zweikörperproblem ⇨ Einkörperproblem Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem r1 1 × Schwerpunkt r2 r 2 r r1 r2 Schwerpunkt: m1r1 m2 r2 0 m1r1 m2 r2 m1 r1 r r1 r2 1 M: Gesamtmasse m 2 m1 m2 m1 m2 r1 F1 m1r1 G 3 r m2 34 Zweikörperproblem ⇨ Einkörperproblem Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem r1 1 × Schwerpunkt r2 r 2 r r1 r2 Beschleunigungen: m1m2 r G M r m1 m2 m1m2 M 1 3 1 m1 m2 r r G M r =-1: reduzierte Masse 2 3 2 r r r r GM r Gm1m2 m1 m2 r F 1 2 3 3 r r m1m2 35 Zweikörperproblem ⇨ Einkörperproblem Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Beschleunigung: G M r 3 r r Ergebnis Das gekoppelte Zweikörperproblem reduziert sich zu der Bewegung einer Testmasse im Zentralfeld der gemeinsamen Masse M im Schwerpunkt. M m1 m2 1 1 1 m1 m2 36 Bewegungsgleichung Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem In mitbewegten Zylinderkoordinaten (r,,z) dr v rer r e zez dt In Zylinderkoordinaten hängen er und e von der Zeit ab ! e er er e Beschleunigung dv 2 a r r er ( r 2r ) e zez dt e er 37 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Bewegungsgleichung Fr r r 2 F r 2r 0 3 Fz z G M 2 2 r z 1 2 G M 2 2 r z r r z 2 2 z r z 2 38 2 Lösung der Bewegungsgleichung Gleichung (3) Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Wähle Anfangsbedingungen so, dass z 0, z 0 z 0 Bewegung bleibt in der durch er und e zu t=0 aufgespannten Ebene Gleichung (2) × r d 2 d r rv 0 dt dt l rv r v const r 2rr 2 Spezifischer Drehimpuls l ist erhalten 39 Lösung der Bewegungsgleichung Gleichung (1) 2 GM l r r 2 r 3 r r 2 GM l r 2 3 r r Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 2 Gravitationskraft zieht an mit d 1 2 2 r rr dt Zentrifugalkraft stößt ab Ziel: Umschreiben als totales Differential in r 2 d 1 2 GM l dr 2 3 2 r dt r dt r 40 Lösung der Bewegungsgleichung Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem eff 2 GM l 2 GM l dr 2 3 2 r r 2r r effektives Potential Gravitationspotential Zentrifugalpotential d 1 2 d dr d eff eff 2 r dt dr dt dt Energie ist erhalten 12 r2 eff E const. 41 Lösung der Bewegungsgleichung Anmerkungen r 0 Zentrifugalpotential wächst schneller als Gravitationspotential Objekte fallen nicht zum Zentrum Minimum des r 0 effektiven Potentials r 0 Kreisbahn Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 42 Lösung der Bewegungsgleichung Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem 1 2 r2 eff dr r dt t 2 G M l 12 r2 2 E r 2r 2GM l 2 2 r r 2E rmax rmin dr 2GM l 2 2 r r const. 2E 43 Lösung der Bewegungsgleichung d l 2 dt r rmin Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem rmax umax 1 mit u r umin l dr 2 r const . 2 2 E 2GM l 2 r r du const . 2 E 2GM 2 u u l 2 l2 44 Lösung der Bewegungsgleichung Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem dx a bx cx 2 1 b 2cx arccos 2 c b 4ac 2E 2GM a 2 ; b 2 ; c 1 l l Wähle Integrationskonstante so, dass r = rmin bei = 0 1 GM 2 r ( ) l 2 2 El 1 1 cos 2 2 G M 45 Ableitung der Keplerschen Gesetze Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Vergleiche l2 GM r ( ) 2 El 2 1 1 cos 2 2 G M mit Gleichung für Kegelschnitt r ( ) p 1 cos Kepler I !!! mit 2 2 l 2 El p a(1 2 ) ; 2 1 GM G 2 M 2 46 Ableitung der Keplerschen Gesetze Überstrichene Fläche Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem r dF dr( rd ) 0 1 2 dF 1 2 d l r d r const . 2 dt 2 dt 2 Kepler II !!! Gesamtfläche: P P dF l lP F dt dt dt 2 0 2 0 l2 1 GMa 2 Geometrie F ab a 2 1 2 2 F 2a 2 1 2 2a 3 / 2 P 2 4 2 P 3 l l a GM GM Kepler III !!! 47 Ableitung der Keplerschen Gesetze Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Bahnenergie 1 2 1 l 2 GM E r 2 2 2 r r im Perizentrum l2 1 r ; r 0 GM 1 1 2 G2M 2 G2M 2 2 1 2 1 E l 4 2 l l 1 G2M 2 1 GM 2 1 2 2 l 2 a alle Bahnen der großen Halbachse a haben 48 dieselbe Energie, unabhängig von Ableitung der Keplerschen Gesetze Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Bahnenergie 1 2 1 l 2 GM E r 2 2 2 r r im Perizentrum l2 1 r ; r 0 GM 1 1 2 G2M 2 G2M 2 2 1 2 1 E l 4 2 l l 1 G2M 2 1 GM 2 1 2 2 l 2 a alle Bahnen der großen Halbachse a haben 49 dieselbe Energie, unabhängig von Ableitung der Keplerschen Gesetze Bahngeschwindigkeit: Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Über Energieerhaltung GM 1 2 GM v a 2 r 2 1 2 v GM r a E Bahnform E<0, <1: Ellipse E=0, =1: Parabel E>0, >1: Hyperbel Coulomb, Gravitation anziehend nur Coulomb, abstoßend 50 Einkörperproblem ⇨ Zweikörperproblem Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem a 1 2 r er 1 cos m2 m1 m2 r a1 a; a2 a r1 m1 m2 m1 m2 m1 m2 zwei Ellipsen mit gleicher Exzentrizität Beispiel Erde-Mond-System: a=384400 km a1=4700km a2=379700km 51 N-Körperproblem allgemein für N>2 nicht streng mathematisch lösbar Interessante Spezialfälle Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Librationspunkte (3 Körper) Störungsrechnung Virialtheorem 52 Störungsrechnung, ein Beispiel Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Zweikörperproblem 1 d 1 dr 1 GM d 2u GM 2 u 2 ; 2 3 2 2 2 2 r d r d r l r d l 1 mit u u A cos B r Führe nun eine Störterm der Form d 2u l 2 C 2 GM 2 u 2 2 d l l C 3 r ein l2 C Ansatz u A cos B l2 a (1 2 ) Rosettenbahnen, r 1 cos präzessierende Ellipsen 53 Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Störungsrechnung, ein Beispiel 54 Das Virialtheorem Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Für das Zweikörperproblem war GM E Ekin Epot 2a für eine Kreisbahn ist somit 1 E Epot 2 Ekin Epot 2 für elliptische Bahnen kinetische und potentielle Energie variieren Mittelwerte ? 55 Das Virialtheorem Mittelwert der potentiellen Energie 1 GM 1 dt T 0 r (t ) T Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem T Epot l 1 2 Epot r T 2 GM 0 d r( ) 1 2 GMa (1 2 ) 0 d 1 cos 2 1 2 mit 0 d 1 cos 1 2 Gilt im Zeitmittel auch GM Epot 2 Ekin für elliptische Bahnen a 56 Das Virialtheorem Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Allgemein für N Teilchen, definiere N N Q : pi ri mi vi ri i 1 i 1 N N Q pi ri pi ri i 1 i 1 d N d N d 1 2 1 d 2 I mi ri ri 2 mi ri dt i 1 dt i 1 dt 2 dt 2 2 mit I : mi ri Trägheitsmoment N i 1 (Achtung, etwas andere Definition als beim Kreisel) 57 Das Virialtheorem Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Allgemein für N Teilchen, definiere N N Q : pi ri mi vi ri i 1 i 1 N N Q pi ri pi ri i 1 i 1 N 1 2 pi ri 2 mi vi 2 Ekin N i 1 i 1 58 Das Virialtheorem Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Allgemein für N Teilchen, definiere N N Q : pi ri mi vi ri i 1 i 1 N N Q pi ri pi ri i 1 i 1 Fi ri (derVirial ) Fij ri N N i 1 N i 1 j 1 1 N N 1 N N Fij F ji ri Fij ri rj 2 i 1 j 1 2 i 1 j 1 59 Das Virialtheorem Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Allgemein für N Teilchen, definiere N N Q : pi ri mi vi ri i 1 i 1 N N Q pi ri pi ri i 1 i 1 1 N N Gmi m j 2 3 ri rj Epot 2 i 1 j 1 ri rj 60 Das Virialtheorem Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Allgemein gilt für ein System aus N Teilchen 2 1d I Epot 2 Ekin 2 2 dt Im stationären Zustand verschwinden die Zeitableitungen zeitgemittelter globaler Größen, folglich T d d I d d 2I dt 2 0 2 dt dt dt 0 dt 2 2 Ekin Epot 61 Das Virialtheorem Einführung in die Astronomie und Astrophysik I Kapitel III: Das Planetensystem Für große Teilchenzahlen N ist die Mittelung über die Zeit äquivalent zu einer über verschiedene Ensembles (Teilbereiche können als unabhängig voneinander angesehen werden), d.h. es gilt auch instantan für stationäre Systeme 2 Ekin Epot 62
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