Scheiben und Träger

Scheiben und Träger
Vertiefung und Ergänzungen zu Stahlbeton II
30.12.2015
ETH Zürich | Prof. Dr. W. Kaufmann | Vorlesung Stahlbeton III
1
Spannungsfelder
Einleitende Bemerkungen zu Fachwerkmodellen und Spannungsfeldern
•
Ursprünglich wurde primär der globale Kraftfluss verfolgt, die Ausdehnung der
Druckstreben war dabei sekundär (“Stabwerkmodelle”, z. B. Schlaich et al., 1984 resp.
1987)
•
Seit etwa 1975 werden Fachwerkmodelle in Verbindung mit der Annahme einer endlichen
Betondruckfestigkeit fc angewendet; die Abmessungen der Druckstreben und Knoten
ergeben sich aus der Annahme von fc.
•
Die resultierenden Fachwerkmodelle sind statisch zulässige (diskontinuierliche)
Spannungsfelder im Rahmen der statischen Methode der Plastizitätstheorie und beruhen
somit auf einer klaren theoretischen Grundlage.
•
An verschiedenen Hochschulen sind computergestützte Methoden für die Entwicklung von
Spannungsfeldern in Entwicklung, den Weg in die Praxis haben sie aber bisher (leider)
kaum gefunden
30.12.2015
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Spannungsfelder
z
0
V
V
Vk
=n
H
Last
H
0
0
Vi
( =) 0
=m
Vj
(S) 0
kleinster oberer
Grenzwert 0
Möglicher Bereich
der Traglast
grösster unterer
Grenzwert
• Die Anwendung von Spannungsfeldern basiert auf der Plastizitätstheorie.
• Die ETH Zürich spielte bei deren Entwicklung eine zentrale Rolle – namentlich die
Professoren Bruno Thürlimann und Peter Marti.
• International ist dies als «Zürcher Schule» bekannt. Sie basiert auf konsistenten
mechanischen Modellen und deren Überprüfung mit Grossversuchen.
30.12.2015
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4
Spannungsfelder
Frühe Fachwerkmodelle (anschaulich)
K. W. Ritter, «Die Bauweise Hennebique»
(1899)
E. Mörsch, «Der Eisenbetonbau»
(1908)
E. Mörsch, «Der Eisenbetonbau»
(1922)
Elastische Bemessung mit Hauptzugspannungen (semi-empirisch)
E. Mörsch, «Der Eisenbetonbau»
(1908)
30.12.2015
M. Ritter, «Vorlesung Massivbau» (ca.
1940)
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P. Lardy, «Vorlesung Massivbau»
(1951)
5
Spannungsfelder
Frühe Fachwerkmodelle (anschaulich)
K. W. Ritter, «Die Bauweise Hennebique»
(1899)
E. Mörsch, «Der Eisenbetonbau»
(1908)
E. Mörsch, «Der Eisenbetonbau»
(1922)
Heutige Fachwerkmodelle / Spannungsfelder: Plastizitätstheorie = konsistente Grundlage
30.12.2015
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6
Betonbau an der ETH – ehemalige Professoren
Karl Culmann
1821-1881
Prof. 1855-1881
(o Ritter)
Karl Wilhelm Ritter
1847-1906
Prof. 1882-1904
(o Mörsch)
Emil Mörsch
1872-1950
Prof. 1904-1908
(o A. Rohn)
Arthur Rohn
1878-1956
Prof.1908-26/48
(o Ritter – Beton
Karner – Stahl)
Max Ritter
1884-1946
Prof. 1927-1946
(o Lardy)
Pierre Lardy
1903-1958
Prof. 1946-1958
(o Thürlimann)
Bruno Thürlimann
1923-2008
Prof. 1960-1990
(o Marti)
Hugo Bachmann
1935
Prof. 1969-2000
(o Stojadinovic)
Christian Menn
1927
Prof. 1971-1992
(o Vogel)
Peter Marti
1949
Prof. 1990-2014
(o Kaufmann)
Betonbau an der ETH – ehemalige Professoren
Karl Culmann
1821-1881
Prof. 1855-1881
(o Ritter)
Karl Wilhelm Ritter
Emil Mörsch
1847-1906
1872-1950
Prof. 1882-1904
Prof. 1904-1908
Führende
Rolle bei
(o Mörsch)
(o A. Rohn)
Arthur Rohn
Max Ritter
1878-1956
1884-1946
Prof.1908-26/48
Prof. 1927-1946
der
Anwendung
der
(o Ritter – Beton
(o Lardy)
Karner
–
Stahl)
Plastizitätstheorie im Stahlbetonbau
Pierre Lardy
1903-1958
Prof. 1946-1958
(o Thürlimann)
Bruno Thürlimann
1923-2008
Prof. 1960-1990
(o Marti)
Hugo Bachmann
1935
Prof. 1969-2000
(o Stojadinovic)
Christian Menn
1927
Prof. 1971-1992
(o Vogel)
Peter Marti
1949
Prof. 1990-2014
(o Kaufmann)
Spannungsfelder
Bachmann / Thürlimann
(1965)
Maier / Thürlimann
(1985)
Stoffel / Marti
(1995)
Sigrist / Marti
(1992)
Kaufmann / Marti
(1995)
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Spannungsfelder
Grundsätze bei der Entwicklung von Spannungsfeldern
Bei der Bemessung gibt es in der Regel mehrere mögliche Lösungen für die gleiche
Problemstellung. Der Ingenieur wählt das am besten geeignete Spannungsfeld und
konstruiert die Bewehrung entsprechend.
Die Beachtung folgender Grundsätze führen in der Regel zu einer wirtschaftlichen
Bemessung (Forderung nach Steifigkeit folgt zudem aus dem Prinzip vom Minimum der
Komplementärenergie):
•
Einfachheit (in der Regel orthogonale Bewehrung)
•
Steifigkeit (z. B. kurze Zugstreben)
•
Effizienz (Mindestbewehrung ausnützen)
Sehr zu empfehlen ist die massstäbliche Zeichnung der Modelle.
In jedem Fall sollte eine ausreichende Mindestbewehrung angeordnet werden
(U = 0.1…0.3%, je nach Anwendung).
Besondere Beachtung ist der Wahl der effektiven Betondruckfestigkeit zu schenken, da diese
die Fachwerkgeometrie massgeblich beeinflusst und sich Beton ja eigentlich keineswegs ideal
plastisch verhält (siehe separates Kapitel).
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Spannungsfelder
Spannungsdiskontinuitätslinien
Vt
Spannungszustand -
Wnt
Vn
Vn
Vt
Wnt
Spannungszustand +
t
n
Unterer Grenzwertsatz der Plastizitätstheorie: Gleichgewicht muss erfüllt sein
o Normalspannungen parallel zur Diskontinuitätslinie dürfen einen Sprung aufweisen
(ߪ௧ି ് ߪ௧ା ist zulässig)
o Normalspannungen senkrecht zur Diskontinuitätslinie und Schubspannungen müssen
ା
ି
kontinuierlich verlaufen (ߪ௡ି ൌ ߪ௡ା und ߬௡௧
ൌ ߬௡௧
müssen erfüllt sein)
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Spannungsfelder
Einfaches Modell (Strebe und Knoten)
Gleichgewicht:
Fc
bwcf c
As f sy
Ft
c
Qa bwcf c (h c)
h
h 2 Qa
2
4 bw f c
As bw d Z U( f sy f c )
f
bwc c
f sy
As
U
Q
bw f c h 2 Z 1 Z 2
2
a
1 Z 2 §
¨Z d
©
2·
¸
3¹
Q
bw f c h 2
4a
§
¨Z t
©
2·
¸
3¹
a
F
H
Q
E
Fc
c
b
Q
bw f c
c
Zd , Z
D
d h
h 2c
A
Ft
B
Q
Fc
c
Ft
As f sy
bw df c
Zdbw f c
G
C
bw
b
ab
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Spannungsfelder
Fächer- und Bogentragwirkung / verteilte Belastung (siehe auch [5], p. 58ff)
Bild zeigt 4 mögliche Modelle für die
gleiche Problemstellung. Einstellung
von Fächer- oder Bogenwirkung ist
u.a. abhängig von:
- Schlankheit der Scheibe
- Bewehrungsgehalt
- Belastungsgeschichte
E
D
D
A
A
B
B
C
Die Strebengeometrie und die
Abmessungen der Lager sind in allen
Beispielen so gewählt, dass im
Knotenbereich ABC ein biaxialer
Druckspannungszustand
Vc1 = Vc3 = -fc herrscht
A
o Punkte A bis E sind in den vier
Modellen identisch, unt. GW der
B
C
Traglast ebenfalls.
NB: Elastisch stellt sich das steifste
Modell ein (Minimum der
Komplementärenergie, d.h. U * ³ H (V )dV o min)
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E
C
E
E
D
D
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A
B
C
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Spannungsfelder
Da die Punkte A…E in allen vier Modellen identisch sind, kann die Geometrie an einem
beliebigen davon ermittelt werden, oder auch an einem noch einfacheren Modell:
a 2
a 2
Geometrischer/ mechanischer
Bewehrungsgehalt:
qa
E
D
Fc
Zd
h 2Zd
U
As
bw d
Z U
fc
B
qa
Zdbw f c d 1 Z 2 Zd
Ft
C
bw
qa bw f c fc
h
d 1 Z 2 z d h
Gleichgewicht:
A
fy
qa 2 §
q ·
1
¨
¸
2 © bw f c ¹
Lösung der quadratischen Gleichung, die aus der Gleichgewichtsbedingung folgt:
q
bw f c §
8h 2 Z 1 Z 2 ·
¨1 1 2
¸
a 1 Z 2 2 ¸
2 ¨
©
¹
für Z d 2 3
q
bw f c §
2h 2
¨1 1 2
2 ¨©
a
für Z t 2 3
·
¸
¸
¹
Alternativ kann eine Beziehung für den erforderlichen mechanischen Bewehrungsgehalt zur
Aufnahme einer Belastung q formuliert werden (siehe [4]).
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Spannungsfelder
Der genaue Verlauf der Fächerberandungen wird in der Praxis selten benötigt. Bei Bedarf
kann, mit Hilfe einer Gleichgewichtsbedingung an einem differentiellen Fächerelement, eine
Differentialgleichung für diese Kurven formuliert werden.
z
Für den Verlauf der unteren Fächerberandung AC folgt daraus:
fc q
x2
2qd 1 Z / 2 Die obere Fächerberandung DF ist ebenfalls eine quadratische Parabel.
a
q
E
F
Zd
Fc
D
d
h 2Zd
A
x
Zd
Ft
B
z
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h
qa
C
qa bw f c G
bw
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Spannungsfelder
q
x'
q
dx '
dz '
Zd
fc
fc
h 2Zd
x
dz
fc
x
h Zd
§ Z·
d ¨1 ¸
© 2¹
Zd
dx
fc
z
Gleichgewicht:
dxf c
dzf c
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dx ' f c
dx q
dz ' f c o ( z z ') konstant (affin)
dx ' q;
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Spannungsfelder
Gleichgewicht:
dxf c
dzf c
dz
dx
d 2z
dx 2
dx ' f c
dx q
dz ' f c o ( z z ') konstant (affin)
dx ' q;
x ' x
§ Z·
d ¨1 ¸
© 2¹
dx '
1
dx
§ Z·
d ¨1 ¸
© 2¹
½
0 °
¾
x 0
z ( x 0) 0 ¿°
dz
dx
30.12.2015
fc
1
q
§ Z·
d ¨1 ¸
© 2¹
fc
1
q
z
x2
§ Z·
2d ¨ 1 ¸
© 2¹
fc q
x2
§ Z·
2qd ¨1 ¸
© 2¹
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Spannungsfelder
Bemerkungen zur direkten Abstützung
Die in den Beispielen gezeigten Spannungsfelder sind gegenüber der Wirklichkeit stark
idealisiert:
•
Das Zugband wirkt wie eine Bewehrung ohne Verbund, jedoch mit einer Endverankerung.
Verbundkräfte führen in Wirklichkeit zu sukzessiver Rissbildung, und erst mit zunehmender
Belastung stellt sich eine die Streben-Zugbandwirkung ein.
•
Falls keine Mindestbewehrung angeordnet wird besteht die Gefahr, dass ein diagonaler
Riss weit in die Druckzone vordringt und die Struktur versagt, bevor die angestrebte
Tragwirkung erreicht wird. Dies ist mit einem Sprödbruch verbunden (Massstabseffekt!).
Eine Verbesserung ergibt sich durch Vorspannung des Zugbandes, womit die StrebenZugbandwirkung erzwungen wird.
Eine Lastabtragung durch direkte Abstützung auf die Lager (ohne Vorspannung) ist ohnehin
nur bei gedrungenen Scheiben sinnvoll; bei schlankeren Scheiben werden die
Knotenabmessungen sehr gross, und die Verankerung der Bewehrung wird problematisch, da
die gesamte Biegezugkraft hinter dem Auflager verankert werden muss!
Durch die Anordnung einer vertikalen Bewehrung (respektive die Ausnutzung der vertikalen
Mindestbewehrung, die immer anzuordnen ist) kann diesen Problemen begegnet werden.
Mögliche Modelle siehe ab Folie 28.
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Spannungsfelder
G.N.J. Kani (“The Riddle of Shear Failure and
its Solution”, 1964): Resultate Versuche ohne
Bügel
100% = Biegewiderstand erreicht
o Modell «direkter Abstützung» ok
P
Fachwerkmodell
Versagensarten für 0.5 < a/d < 2.0
P
a
2
a
3 5
d
M CR M FL [%]
1
Druckstrebe 1,2
Verankerung 3
Biegebruch 4
Auflagerversagen 5
4
4
Versagensarten für 1.5 < a/d < 2.5
«Kani-Schubtal»
2
1
100
Verankerung 1
Biegedruckzone 2
80
Diagonale Schubrisse für a/d > 2.5
60
40
a d
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Geneigter BiegeSchubriss
Zweitriss
6.0
a/d (a: «Schubspannweite»)
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Erster Biegeriss
[nach Sherwood 2008]
20
Spannungsfelder
h = 4.00
d = 3.84
Versuch PLS 4000, University of Toronto (2015)
bw = 0.25
7.00
12.00
(mit Schubbewehrung)
(Phase 1 ohne Schubbewehrung, Phase 2 externe Bügel)
a/d = 1.823
a/d = 3.125
M CR M FL [%]
100
80
60
40
a d
1.0
30.12.2015
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
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Spannungsfelder
Phase 1 – Biegerisse / Biegeschubrisse
© Colllins, Bentz & Quach, University of Toronto
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Spannungsfelder
Phase 1 – Kritischer (Biege-)Schubriss = Maximallast (P = 685 kN)
© Colllins, Bentz & Quach, University of Toronto
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Spannungsfelder
Phase 1 – Wiederbelastung (keine Laststeigerung)
© Colllins, Bentz & Quach, University of Toronto
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Spannungsfelder
Verstärkung mit externen Bügeln
© Colllins, Bentz & Quach, University of Toronto
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Spannungsfelder
Phase 2 – Maximallast (P = 2162 kN)
© Colllins, Bentz & Quach, University of Toronto
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Spannungsfelder
Q
(a)
Lastaufhängung
F
E
D
Durch eine Lastaufhängung kann die
vertikale Mindestbewehrung (Bügel)
aktiviert werden, und es ist nur ein Teil
A
der Biegezugkraft hinter dem Auflager zu
B
verankern.
In allen 4 Modellen sind die Lager- und
Lasteinleitplatten (B-C, E-F) identisch,
somit auch der untere Grenzwert der
Traglast.
Der Verlauf der Kraft im Zuggurt (unterste
Reihe) und die hinter dem Auflager zu
verankernde Kraft resultieren eindeutig
aus dem jeweiligen Spannungsfeld.
F
Fc
Ft
C
A
Fc
Ft
C
Q
Q
Q
(c)
F
Q
(d)
E
D
F
Fc
A
E
D
Fc
A
Ft
B
C
Ft
B
C
Q
Q
(f)
(e)
x
x
(a)
(b)
(c)
Ft
30.12.2015
E
D
B
Die Spannungsfelder (rechts) lassen sich
aus den einfachen Strebenmodellen
(links) ableiten.
Es kann die gesamte Last aufgehängt
werden (obere Modelle) oder nur ein Teil
davon (untere Modelle).
Q
(b)
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(d)
Ft
27
Spannungsfelder
Lastaufhängung
Q
(a)
F
(a,b): Ganze Last Q aufgehängt
-
mehr Bügel, dafür weniger
Längszugkraft zu verankern
grösserer Hebelarm, somit
kleinere Fc und Ft in Mitte als
in Modellen (c, d)
-
Weniger Bügel, dafür mehr
Längszugkraft zu verankern
kleinerer Hebelarm (*), somit
grössere Fc und Ft in Mitte als
in Modellen (a, b)
E
D
Fc
A
Ft
B
-
(a,c) abgetreppt, (b,d) stetig
Fta Ftb < Ftd Ftd auch in
Mitte
Ft in allen Fällen kleiner als
bei direkter Abstützung
30.12.2015
Fc
d
ca
A
Ft
B
C
Q
bw
Punkte A, D / Werte d, Z , Fc, Ft verschieden
Q
(c)
F
Q
(d)
E
D
Fc
F
Zd
E
D
Fc
d
h Zd ca
A
A
B
ca
C
Ft
B
C
Q
Gurtkraftverlauf Ft
E
D
C
Ft
(*) da Knoten ABC höher ist
F
Zd
h Zd ca
Q
(c,d): Teil der Last Q aufgehängt
Q
(b)
Q
(f)
(e)
x
(b)
(c)
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Fächerberandungen und
Verlauf von Ft hyperbolisch
x
(a)
Ft
bw
(d)
Ft
28
Spannungsfelder
Lastaufhängung (Detail Modell b)
a
Q
Fc ,1
Fächerberandung
und Verlauf von Ft
hyperbolisch
Q
Quadratische Parabeln
siehe direkte Abstützung
c1
Fc ,2
c2
asw f y
h (c1 c2 ca )
Ft ,a
Q
Ft
Ft ,a
b Q bw f c 30.12.2015
b e
ca
Bügelbewehrung
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Spannungsfelder
Lastaufhängung
Weitere mögliche Spannungsfelder (konzentrierte Bügelbewehrung, gemischtes
Spannungsfeld für direkte Abstützung und Lastaufhängung)
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30
Spannungsfelder
Knotenbereiche
(a)
(a) Allgemeiner Knoten: Streben
FA
mit VA z VB z VC
(Kräfte im Gleichgewicht!)
o Druckspannung im Knoten
V2 < min(VA, VB, VC), ausser
Knotenberandung steht Aauf
entspr. Strebe
o Verbindungslinie der Pole der
Mohrschen Kreise der
Spannungszustände auf beiden
Seiten einer Diskontinuitätslinie
// Spannungsdiskontinuitätslinie
(b)
bA
B
bB
FB
QA
A
2
VB
30.12.2015
FA
A
C
B
1
FA
SB
Q
VC bC
FC
FB
V A bA
(c)
(c) Knoten mit VA VB VC
(praxisrelevant)
o Knotenberandung Azu
Streben, Knotengeometrie affin
zum Polygon der Strebenkräfte
(Gleichgewicht)
o “hydrostatischer”
Spannungszustand V1 V2 fc
(streng genommen nicht
hydrostatisch, da V3 = 0)
SA
VC
V
V2 1
VA
C
FC
bC
V B bB
O
QB
SC
QC
(d)
bA
fc
C
B
fc
QA
- fc
fc fc
bB f c
FB
FC
bC
FC
FA
O
SA =SB =SC =Q
A
QB
f c bC
f c bA
FB
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f c bB
QC
31
Spannungsfelder
Knotenbereiche
(e) Ersatz einer Strebe (C)
durch stat. äquivalente
Streben (D, E)
o Nur der Verlauf der
Knotenberandung innerhalb
ersetzter Strebe ändert,
übrige Knotenpunkte bleiben
erhalten
o Nützlich bei Betrachtung von
fächerartigen
Spannungsfeldern
(Knotenabmessungen anhand
der Resultierenden = am
einfachen Fachwerkmodell
festlegen/überprüfen, genauer
Verlauf Berandung unwichtig)
(f) Behandlung von Zugkräften
o Verankerung hinter Knoten,
Behandlung wie Druckkraft
(konstruktive Lösung: nächste
Folie)
(c)
FA
(e)
bA
fc
C
B
fc
FB
FC
bC
B
FA
C
A
FC
FA
fc
f c bC
FB
f c bA
fc
D
fc
fc
fc
fc fc
bB f c
FE
fc
A
FE
FD
FB
FB
f c bB
FD
FA
(f)
FC
B
fc
FA
C
fc
A
FC
FB
FB
FA
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32
Spannungsfelder
Knotenbereiche (siehe [4] p. 64)
•
Sorgfältige konstruktive Durchbildung wichtig!
•
Ankerplatten sind unüblich, zur Verankerung grosser Zugkräfte manchmal aber unabdingbar
•
Alternative 1: Steckbügel resp. “Haarnadeln” anzuordnen, siehe Bilder unten. Lokales
Spannungsfeld o Überdeckungsbeton nur durch Zugfestigkeit Beton aktivierbar
•
Alternative 2: Bewehrungsstäbe mit Verankerungsköpfen (d | 3Ø), experimentell verifizierte
Verankerung auf sehr kurzer Länge (< 10Ø) o Achtung, Spreizkräfte beachten!
•
Alternative 3: Spannungsfelder mit kontinuierlichen Aufbau der Zugkraft durch
Verbundschubspannungen. Benötigt aber grössere Knotenabmessungen.
30.12.2015
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33
Spannungsfelder
Dimensionierung der Knotenbereiche (siehe [4] p. 70 ff)
o Betondruckspannung in der Spitze
der (Punkt-)zentrierten Fächer wäre
unendlich gross
o (e) Ungünstig: Allgemeine zentrierte
Fächer. Druckspannungen am
unteren Ende der flachsten
Trajektorie sind bei starken
Neigungswechseln wesentlich
grösser als in angrenzenden
parallelen Druckbändern, da
zugleich flachste Neigung,
d.h. (1+ cot2D) maximal, und
grösste Bügelkraft fw
(e)
Fsup
Fachwerkmodell
Spannungsfeld
q
x
Fsup
f wl
z
f wr
Finf
a
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b
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Spannungsfelder
Dimensionierung der Knotenbereiche (siehe [4] p. 70 ff)
Zentrierter
Zentrierter
o (f) Übliche Lösung:
(g)
(f)
Fächer (O)
Fächer (O)
Fsup
Fsup
Nicht-zentrierte Fächer
mit Knotenbereich,
Nicht-zentrierter
Nicht-zentrierter
siehe Spannungsfelder
Fächer mit Knoten x
Fächer mit Knoten x
für Scheiben mit
q
q
Fsup
Rechteckquerschnitt (im
Fsup
Knoten -Vc3 fc o
Abmessungen der
Lagerplatte entsprechend
z
z
festlegen)
fw
O
fw
O
o (g) Weniger geeignet:
Finf
Finf
Nicht-zentrierte Fächer
ohne Knotenbereich
e
(braucht bei gleichem fc
a0
b
b
a0
grössere Länge, Verbund
muss überprüft werden)
o Gurtkraftverlauf Fsup im Fächerbereich kann konservativ am zentrierten Fächer überprüft
werden, sofern die Höhe des Knotenbereichs gemäss (f) im Flansch liegt (Kontrolle mit Finf
aus zentriertem Fächer). Andernfalls ist der Hebelarm der inneren Kräfte (iterativ) zu
reduzieren.
30.12.2015
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35
Spannungsfelder
Druckspannungen im allgemeinen (zentrierten) Fächer
Numerisches Beispiel
o Betondruckspannungen
variieren bei markanten
Wechseln von D sehr stark
o Unterschied zu Knoten bei
Auflager: kein Querdruck
(vertikal) durch
Auflagerkraft und keine
Querbehinderung
(horizontal) durch
Lagerplatte resp. Fächer
der angrenzenden
Spannweite
qr
z
f w,l
D ( x, z )
z
f w, r
x
a
b
c
Vc 3 [MPa]
o Starke Wechsel der
Neigungen sind sehr
ungünstig und zu
vermeiden!
bw
[aus Marti und Stoffel 1999]
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Spannungsfelder
Betondruckspannungen in Fächern
2
Reduktion der
Druckfestigkeit bei
plastischer
Gurtverformung (kc
V c 3 d ca. 1.25 f c
H x sup max
dxsup
V c 3 d ca. 1.6 f c
Hx
3
fc
H x sup o
q
Vc 3
xsupy
f w dxsup
T
H x sup
2
H x sup
0.4)
3
H xn
Vc 3
x
x
T
x
dzn
Vcn
dxn
Versuchsresultate:
z
2
V c 3 d ca. 2.7 f c
H xn
3
z
z
Nachweis im Auflagerknoten mit erhöhter Druckfestigkeit infolge
Querdruck, kc 1.0 (mit Umschnürung u.U. noch höher)
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Spannungsfelder
Betondruckspannungen in Fächern
o Betondruckspannungen variieren entlang der Trajektorien hyperbolisch
o Verzerrungszustand variiert ebenfalls, Betondruckfestigkeit somit auch
SIA 262: kc
1
d 0.65,
1, 2 55H1
H1 H x H x 0, 002 cot 2 a
o Nachweis der Betondruckfestigkeit im Fächer aufwändig / komplex
o Für übliche Verhältnisse tritt kein Versagen im Fächer auf, solange die Gurtbewehrung nicht fliesst
o Nachweis durch Kontrolle der Druckspannungen im Knoten (mit durch Querbehinderung resp. Querdruck
erhöhter Festigkeit) sowie im an den Fächer grenzenden parallelen Druckfeld (bei Fliessen der
Gurtbewehrung im betrachteten Bereich = inkl. Fächer mit reduzierter Festigkeit)
o SIA 262: Querschnittsbetrachtung = nomineller
Nachweis im Schnitt z·cotD vom Auflager,
entspricht Nachweis im an den Fächer
angrenzenden Druckfeld
o Näherung ohne Untersuchung
des Verzerrungszustandes
kc = 0.55, bei Fliessen
der Gurtbewehrung im
betrachteten Bereich
= inkl. Fächer:
Reduktion auf
kc = 0.4)
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Spannungsfelder
Betondruckfestigkeit und Schubwiderstand in Funktion des Verzerrungszustandes
Versuche zeigen, dass die Druckfestigkeit in Scheiben durch
(aufgezwungene) Querdehnungen
beeinträchtigt wird.
1
Vecchio und Colins schlugen 1986
vor, die Druckfestigkeit um den Faktor
1 / (0.8 170 H1 ) zu reduzieren (wobei sie
von «mittleren» Spannungen ausgingen).
Damit werden auch andere Effekte
implizite berücksichtigt.
V
30.12.2015
V3
3
V3
V3
Vc 3
c3
Kaufmann schlug 1998 vor, zusätzlich
fc
die (schon zuvor bekannte) unterproportionale Druckfestigkeitszunahme
mit der Zylinderdruckfestigkeit zu
berücksichtigen:
H1 , H 2
f c2/3
,cyl
f ce
0.4 30 H1
Auf Basis dieser und weiterer Arbeiten
wurde in der SIA 262 der folgende
Beiwert eingeführt:
1
kc
d 0.65
1, 2 55H1
V1
N1
Vc 3
B
1
A
H3
Hco
H2
B
H3
H1
A
H1
H1
H2
H3
QH3
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B
V1
H3
A
H1
Vs
2H sy
A
U
f sy
2H sy H3
H3
Vs o 0
(U o f)
B
H3
39
Spannungsfelder
Maximaler Schubwiderstand in Funktion der Druckfeldneigung (Stegdruckbruch)
Vc 3d
VEd
cot D tan D d kc f cd
bw z
o
VRdc
bw z kc f cd
cot D tan D
0.6
5.0
0.5
4.0
0.4
3.0
0.3
2.0
0.2
1.0
0.0
1.0
Vc 3d
bw z
VEd
1.5
2.0
cot D tan D 2.5
cot D
3.0
3.5
0.1
4.0
0.0
1.0
VRdc
bw z kc f cd
1.5
2.0
1
cot D tan D
2.5
3.0
3.5
4.0
cot D
o Betondruckspannungen nehmen bei flachen Neigungen stark zu
o Abhängigkeit der Druckfestigkeit von der Neigung in diesen Diagrammen nicht erkennbar
30.12.2015
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Spannungsfelder
Betondruckfestigkeit und Schubwiderstand in Funktion des Verzerrungszustandes
k c (H x , D )
1
d 0.65
1.2 55 H1
H x H x 0.002 cot D H1
2
Annahme H3 = -0.002
70
D 15q
JJ/2
2
20q
X
50
H1 [‰]
25q
30q
30
35q
H x H3
45q
DD
3
D
10
H1
10
( H x H3 ) cot 2 D
2
0
2
1 H
( H x H3 ) cot D
H x H x 0.002 cot 2 D
4
6
8
10
Q
Hx [‰]
30.12.2015
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Spannungsfelder
Betondruckfestigkeit und Schubwiderstand in Funktion des
Verzerrungszustandes
0.75
kc
0.65
0.75
1
1.2 55 H1
Hx
45q
35q
30q
0.35
D 15q
0
2
6
Hx
0.004
0.010
0.25
20q
4
0.000
0.001
0.45
0.35
25q
0.25
0.15
2
0.001
0.55
kc [-]
kc [-]
0.55
0.45
0.002
0.65
8
10
0.15
1
1.5
Hx [‰]
2
2.5
3
3.5
4
cotD
o kc·fc wird durch flache Druckfeldneigungen und plastische Gurtverlängerungen stark reduziert
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Spannungsfelder
Betondruckfestigkeit und Schubwiderstand in Funktion des Verzerrungszustandes
0.4
VRd ,c
bw z f cd
0.4
kc
cot D tan D
bw z f cd
D
0.2
25q
0
2
kc
cot D tan D
0.3
45q
35q
30q
20q
D 15q
0
WcRd/fcd [-]
kc [-]
0.3
0.1
VRd ,c
Hx
0.2
0.1
Hx
2
4
6
8
10
0
1
1.5
Hx [‰]
0.002
0.001
0.000
0.004 0.001
0.004
2
2.5
3
3.5
4
Hx [‰]
o kc·fc wird durch flache Druckfeldneigungen und plastische Gurtverlängerungen stark reduziert
o Betondruckspannungen nehmen bei flachen Neigungen stark zu (siehe vorne)
o Zu flache Neigungen bei Bemessung nicht sinnvoll (bei Nachrechnung älterer Brücken oft erforderlich)
o Vorsicht bei plastischen Schnittkraftumlagerungen vom Auflager ( grosse Querkraft) ins Feld
30.12.2015
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Spannungsfelder
Bemerkungen zur praktischen Anwendung
•
Spannungsfelder mit kombinierter Tragwirkung (Bogen und Fächer oder Streben und
Fächer) sind bei der Bemessung von untergeordneter Bedeutung (wertvoll für
Nachrechnungen bestehender Bauwerke).
•
Druckzonen mit veränderlicher Druckzonenhöhe, die auftreten, wenn die Kräfte des
Druckstringers nicht in angrenzende Tragwerksteile wie Druckplatten ausgebreitet werden
können (Rechteckquerschnitte), komplizieren die Entwicklung von Spannungsfeldern.
•
Einfachheitshalber kann die Druckzone auch bei fehlender Druckplatte auf einen geraden
Druckgurt reduziert werden, dessen Lage (o statische Höhe) konservativ festzulegen ist,
um ungenügende Betonabmessungen zu vermeiden (theoretisch korrekt: Resultierende
des entsprechenden Fächerknoten(teils)).
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Spannungsfelder
Bemerkungen zur praktischen Anwendung
•
In der praktischen Anwendung ist die vollständige Bestimmung des Spannungszustands
einschliesslich aller Finessen (Fächerränder, Knotenbereiche, exakte Spannungs- und
Gurtkraftverläufe bei Fächern …) nie erforderlich.
•
Geeignetes Vorgehen in der Praxis («Konstruieren»):
1. Spannungsfeld unter Verwendung massstäblicher Zeichnungen grob entwerfen
(ggf. mit vereinfachenden Annahmen wie zentrierte Fächer, siehe hinten)
Wichtigste Grundlage: Erfahrung, Gefühl für Kraftfluss, «engineering judgement»
2. Auf dieser Grundlage ausreichend zutreffende Gurtkraftverläufe, Bügelbewehrung und
Betondruckspannungen an kritischen Stellen ermitteln
3. Wichtige konstruktive Details durch Ausarbeiten der Knotenbereiche festlegen
30.12.2015
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45
Spannungsfelder
Tragwerkselemente mit statischen / geometrischen Diskontinuitäten
Rahmenecken unter reiner Biegung
o (a) schliessendes, (b) öffnendes Moment
o vor allem öffnende Rahmenecken heikel und konstruktiv sehr anspruchsvoll
o diagonale Bewehrung (c) ist vorteilhaft für Verankerung der Bewehrungskräfte (aber Kräfte
grösser als in (b), Hebelarm!)
o Biegewiderstand der angeschlossenen Bauteile in Regel nicht voll ausnutzbar, da
Verankerung / Umlenkung der Kräfte im Eckbereich Reduktion des Hebelarms im Vergleich
mit (a), (b) bewirkt
(a)
(b)
(c)
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Spannungsfelder
Tragwerkselemente mit statischen / geometrischen Diskontinuitäten
Rahmenecken unter reiner Biegung
o Versuche von
Nilsson (1973)
bestätigen die
gemachten
Aussagen
o Bewehrungsstäbe
mit Verankerungsköpfen für
Rahmenecken gut
geeignet
o Beispiele für
Rahmenecken mit
verteilter
Bewehrung,
kombinierter
Beanspruchung etc.
siehe z. Bsp. [5]
30.12.2015
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Spannungsfelder
Tragwerkselemente mit statischen / geometrischen Diskontinuitäten
Ausgeklinkte Träger (d), (e)
o (d), (e) mögliche Streben-Stab-Modelle
o Diagonalbewehrung analog wie bei den
Rahmenecken günstig, Überlagerung der
Modelle (Anteil der Last wählbar)
Konsolen (f)
o (f) Grundfall
o Verschiedene andere Modelle möglich,
siehe z. Bsp. [5]
(d)
(f)
Generelle Bemerkungen
o Spannungsfelder für Tragwerkselemente
mit statischen / geometrischen
Diskontinuitäten optimal geeignet
(e)
o Illustration hier nur an einfachen
Streben-Stab-Modellen
o Verfeinerung durch Einführung von
Fächern, Bogen, Zug-/Druckbändern
etc. ermöglicht Erfassung der flächigen
Tragwirkung des Betons und der
verteilten Bewehrung
30.12.2015
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48
Spannungsfelder
Tragwerkselemente mit statischen / geometrischen Diskontinuitäten
Ausgeklinkte Träger (dapped-end
beams)
o Service Limit State (SLS): Durability
problems due to concentrated
diagonal cracking in the corner. SIA262:2013 specifications for crack
controlling not valid for these
elements.
o Stress Fields focused in Ultimate
Limit State (ULS): It is not possible
to calculate the distribution between
the orthogonal mechanism and the
diagonal mechanism at SLS
(important for calculating crack width)
o Alternative Æ Elastisch-plastische
Spannungsfelder (An der ETH
Lausanne durch Prof. Aurelio Muttoni
und M. Fernández-Ruiz entwickelt)
► Concorde overpass (Quebéc. Canada. 2004)
© Gouvernement du Québec, 2007
► Pedestrian bridge (Canada)
© Herzinger, 2008
30.12.2015
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► Overpass road CV-500 (Valencia, Spain)
© Mata-Falcón, Miguel, Pallarés, 2015
► Aparcamiento (Pittsburg. USA)
© Nanni, 1999
49
Spannungsfelder
Alternative zu Handrechnungen: Elastisch-plastische Spannungsfelder (EPSF)
EPSF - Implementation of stress fields
hypothesis into finite element model
Advantages:
o Direct link to rigid-plastic stress fields (Spannungsfelder)
o Easy and fast way to calculate stress fields. Specially
interesting for complex regions that require tedious hand
calculations
o Reduction factor due to the transversal strain (kc) is
automatically calculated
o Detailing reinforcement part of the load-carrying
mechanism Æ Interesting for assessment
o Gives information (with limitations) about service load
behaviour
o Freely available at: http://i-concrete.epfl.ch/ (Limited
support by IBK, Dr. Mata Falcón)
Limitations (due to ↑↑ simplifications):
o Valid for elements with minimum transversal reinforc. that
avoids crack localization or…
o …for elements without transversal reinforcement a/d ≤ 2.5
(see «Kani-Schubtal»)
o Excessive deformability for service loads (the model does
not consider tension stiffening)
30.12.2015
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50
Spannungsfelder
Alternative zu Handrechnungen: Elastisch-plastische Spannungsfelder (EPSF)
Brittleness of concrete (ηfc):
SIA-262 (2013)
Influence of transverse cracking on the strength of the compression field (kc):
- Automatically calculated in EPSF based on Vecchio & Collins proposal
- Other formulations kc factor are available (see previous slides)
Vecchio & Collins
30.12.2015
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Spannungsfelder
Alternative zu Handrechnungen: Elastisch-plastische Spannungsfelder (EPSF)
Info for applet version of jConc (implements EPSF) Æ http://i-concrete.epfl.ch/
Java configuration:
o Java config > Security > Edit site list > Add exception http://i-concrete.epfl.ch
o Java config > Advanced > Show console + Place Java icon in system tray
Applet iMesh:
o Auxiliary applet for generating FEM mesh and input file for iConc (not mandatory for using
iConc; it does not have all the materials; other notation…)
o Useful HELP
o Units not specified in the program Æ Consistent units (e.g.: MPa, MN, m…)
o Geometry:
i) Concrete – width
≡ As
ii) Rebars – equivalent diameter
o Materials:
i) <mat. #>, <type: concrete|steel>, <max.stress>, <modulus of elasticity>
ii) Other properties (e.g. hardening) or materials Æ input directly in iConc
Applet iConc:
o
o
o
o
Is the applet version of program jConc
Definition of iterations (200~300 iterations for accurate results)
Calculation for a certain load (behaviour for other loads requires recalculate)
No definition of maximum strains Æ User has to control the error (residual loads)
30.12.2015
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Spannungsfelder
Alternative zu Handrechnungen: Elastisch-plastische Spannungsfelder (EPSF)
Examples EPSF
Deep beams:
Real crack pattern
Elastic-Plastic Stress
fields (EPSF)
Stress fields
The program automatically
calculates the stiffest mechanism
Æ Arch mechanism if the load is
suspended
30.12.2015
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53
Spannungsfelder
Alternative zu Handrechnungen: Elastisch-plastische Spannungsfelder (EPSF)
Examples EPSF
Ausgeklinkte Träger (dapped-end beams):
Information for service loads: distribution
between different resistant mechanisms
with different stiffness
Diagonal mechanism
stiffer than orthogonal
Redistribution after
yielding of
diagonal reinf.
80% Ultimate load
(Diagonal reinforcement yielded)
30.12.2015
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54
Spannungsfelder
Träger – Beispiel 1 (siehe [4] p. 66 ff)
Träger mit Belastung, erwartetes Rissbild
o Idealisierung als ebenes Element
o Ober-/Untergurt auf Schwerpunktsachsen
reduziert: “Stringer”
o Steg als ebene Scheibe modelliert
200 kN m
200
100 700
200
8000
Mögliches Fachwerkmodell
o Obergurt und Diagonalen (Beton) =
Druckkräfte
o Untergurt (Längsbewehrung) und Pfosten
(Bügel) = Zugkräfte
o verteilte Belastung auf statisch äquivalente
Einzellasten in den Knoten des Obergurts
reduziert
o korrekte Fachwerkgeometrie: Knoten so,
dass zur Belastung statisch äquivalente
Knotenkräfte angesetzt werden können
(daher erste Druckdiagonale steiler!)
o Fachwerkmodelle können bei Bedarf zu
Spannungsfeldern verfeinert werden
30.12.2015
5 200
q = 200 kN/m
(Kräfte in kN, Abmessungen in mm)
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55
Spannungsfelder
Träger – Beispiel 1 (siehe [4] p. 66 ff)
Verschiedene mögliche Fachwerkmodelle
o Unterschiedliche Neigungen der Betondruckdiagonalen
o Flachere Druckdiagonalen:
- mehr Längsbewehrung, dafür
- weniger Bügelbewehrung
o Einfluss der Betondruckdiagonalenneigung auf
gesamtes Bewehrungsvolumen gering
NB:
o Nachrechnung bestehender Brücken, die nach
früheren Normen (schiefe Hauptzugspannungen)
bemessen wurden: Tragsicherheitsnachweis oft nur
mit sehr flachen Neigungen möglich
o Sehr flache Neigungen führen zu grossen vertikalen
Verzerrungen im Steg o Betondruckfestigkeit
beeinträchtigt, Bügel können frühzeitig reissen
1
o SIA 262:
kc
d 0.65
1, 2 55H1
30.12.2015
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56
Spannungsfelder
Träger – Beispiel 1 (siehe [4] p. 66 ff)
Fachwerkmodell und entsprechendes Spannungsfeld
o Gestrichelte Linien = Wirkungslinien der
Spannungsresultierenden der einzelnen Elemente
des Spannungsfelds = Fachwerkstäbe
o Spannungsresultierende des Spannungsfelds
= Beträge der Fachwerk-Stabkräfte
o Zug- und Druckstringer AF und GM, Fächer CEGI, im
Auflagerpunkt A zentrierter Fächer AKM, paralleles
Druckband ACIK, vertikale Zugbänder CEIK und ACKM
o Ermittlung der Gurtkräfte = Stringerkräfte: Gleichgewicht
der entlang der Gurtachsen wirkenden Belastung und
der in den einzelnen Elementen auftretenden Kräfte
o Verlauf entlang Fächerrändern CE, GI und KM
parabolisch, entlang Druckbandrändern AC und IK
linear (siehe Beispiel 2)
o Vertikale Zugbänder CEIK und ACKM: gleichmässig
verteilte Kräfte (100 kNm-1 resp. 300 kNm-1)
o Gurtkräfte aus Spannungsfeld und Fachwerkmodell in
Schnitten CK und EI identisch (Abstufung Bügelkräfte =
Diskontinuitätslinien der vertikalen Zugbänder)
30.12.2015
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Finf
Fsup
57
Spannungsfelder
Träger – Beispiel 1 (siehe [4] p. 66 ff)
Ausbreitung der Druckstringerkraft in den Oberflansch
o Einfaches 45º-Fachwerkmodell (kann zu
Spannungsfeld verfeinert werden)
o Eingeleitete Längskraft = Gradient Längskraftverlauf im
Druckstringer = Horizontalkomponente der Druckkräfte
in Fächern und parallelem Druckband entlang GM
o Eingeleitete Längskraft stützt sich über geneigte
Druckstreben auf in den Schwerpunktsachsen der
Oberflanschhälften angeordneten Druckstringer ab
o Es resultieren Querzugkräfte o entsprechende
Verbügelung der Flanschplatte
o Berücksichtigung der Stegbreite = 200 mm im
Fachwerkmodell = Einsparung Flanschbügelbewehrung
Ausbreitung der Zugstringerkraft in den Unterflansch
o Untersuchung analog (Ausbreitung auf im Flansch
verteilte Längsbewehrungsstäbe, Verbügelung)
o Ausbreitung bei Auflager A erfordert Lagerüberstand (in
der Grössenordnung der halben Flanschbreite mit
aktivierter Zugbewehrung)
30.12.2015
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Fsup
dFsup
dx
58
Spannungsfelder
Träger – Beispiel 2 (siehe [4] p. 66 ff)
z
0.9m
30.12.2015
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59
Spannungsfelder
Träger – Beispiel 2 (siehe [4] p. 66 ff)
Konstruktion und Elemente des Spannungsfelds
o Querkraftnullpunkte 4 m ab Auflager A, Auflager B, Balkenende C
o Unterteilung der resultierenden Abschnitte in gleiche Unterabschnitte o Neigung der parallelen
Druckbänder (Druckfelder) von tan-1(0.9/1.0) 42.0°, tan-1(0.9/1.2) 36.9° und tan-1(0.9/0.9) 45.0°
o zentrierte Fächer (Trajektorien schneiden sich in einem Punkt) bei konzentrierten Lasten
o Zug- und Druckstringer, vertikale Zugbänder (Bügelbewehrung)
30.12.2015
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60
Spannungsfelder
Träger – Beispiel 2 (siehe [4] p. 66 ff)
Bestimmung der Kräfte im Spannungsfeld
o Bügelkräfte fw (pro
Einheitslänge) folgen
direkt aus diagonalen
Schnitten entlang
Grenzen der
Parallelfelder resp.
Fächer; sie sind entlang
dieser Grenzen konstant
o Bügelkräfte sind
abschnittsweise
f w [kN m]
konstant; da die
Belastung oben angreift
ist das Produkt f w z cot D
dem Querkraftdiagramm
einbeschrieben
Fsup [kN]
(sogenannter
«staggering effect»)
Spannungsfeld
Fachwerkmodell
o Belastung qinf unterhalb Obergurt ist durch vertikale Bewehrung zusätzlich aufzuhängen, 'fw = qinf
o Gurtkräfte gemäss Spannungsfeld und Fachwerkmodell stimmen an Stellen überein (Punkte mit
Zahlenwerten), wo die vertikalen, abschnittsweise gleichmässig verteilten Bügelkräfte abgestuft sind.
30.12.2015
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61
Spannungsfelder
Träger – Beispiel 2 (siehe [4] p. 66 ff)
Bestimmung der Kräfte im
Spannungsfeld
o Verlauf der Gurtkräfte Fsup, Finf
und der Betondruckspannungen
(Gurtränder):
D
Fsup [kN]
Spannungsfeld
Fachwerkmodell
Vc 3bwdx sin D
dFsup
dx
Vc 3
(q f w )cot D
Finf [kN]
(q f w )(1 cot 2 D)
bw
(entlang Untergurt analog, aber mit q 0)
o Für konstante Belastung q sind die Gurtkräfte Fsup, Finf entlang paralleler Druckbänder linear (fw und cotD
konstant), entlang zentrierter Fächer parabolisch (fw konstant, cotD linear)
o Betondruckspannungen sind in parallelen Druckbändern konstant (entlang Trajektorien und über Breite
des Druckbandes), entlang der (geraden) Trajektorien der Fächer variieren sie hyperbolisch.
30.12.2015
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62
Spannungsfelder
Gurtkraftverlauf in zentriertem
Fächer mit Vorspannung
Abstützung nur
auf Spannglied
Abstützung auf Spannglied
und Gurtbewehrung
Zy
o Aufteilung der Gurtkräfte auf schlaffe
Gurtbewehrung (Z) und Spannglied
(P) ist aus Gleichgewicht nicht
eindeutig bestimmt
o Plausible Annahme über Kraftverlauf
treffen, Beispiel siehe rechts; Lage
der Punkte E, Q und fw folgen aus
qu f w2 xQ Pf z ' xE qu f w2 qu f w xQ
2
2
qu
2 z0
Q
qu
Z < Asfsd
P∞ ApVp∞
z xE z0
fw
A
P Z z
y
y
Abstützung auf Spannglied
und Gurtbewehrung
Zy
x
0
Z < Asfsd
Asfsd Apfpd
Zy
o Variante: fiktiver Fächer für Ermittlung
der Zuggurtkraft (parabolisch), P und
Z über ganzen Fächer variabel
o In der Regel ist die Annahme von P∞
am Fächerrand vernünftig (Zuwachs
der Spannkraft nur im Fächerbereich)
30.12.2015
E
Asfsd Apfpd
L
2
Pf ª¬ z ' xE xE z xE º¼
xQ 2 xE 2
x
P∞ ApVp∞
z xE z0
fw
A
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[aus Marti und Stoffel 1999]
63
Spannungsfelder
Träger – «Querschnittsbetrachtung» (parallele Gurte)
Fsup
Md
Md
Fcw
Nd
Vd
Nd
Vd
Vc 3
Vd
Vd cot D
bw,nom
z cot D
o Bemessung mittels «Querschnittsbetrachtung» möglich,
sofern alle statischen und geometrischen Grössen entlang
der Trägerachse nur allmählich variieren (und nicht
sprungartig)
o Schnittgrössen (M,N) auf Schwerachse bezogen,
Berücksichtigung Vorspannung siehe gevoutete Träger
o Neigung des Betondruckfelds theoretisch frei wählbar;
Einschränkungen, um frühzeitiges Versagen durch Reissen
der Bügel resp. Versagen der Rissverzahnung zu vermeiden
(SIA 262: Normalfall 30…45°)
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Finf
Fsup
M d N d e N d Vd cot D
z
2
2
Finf
M d N d e N d Vd cot D
z
2
2
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Spannungsfelder
Träger – «Querschnittsbetrachtung» (parallele Gurte)
Fsup
Md
Md
Nd
Nd
Vd
Vd
Gleichgewicht am Schnittkörperdiagramm rechts oben
o Kraft in der Bewehrung f wd :
f wd Vd ( z cot D) d asw f sd
•
Gleichgewicht am differentiellen Element rechts unten
o Betondruckspannung Vc3 im Steg:
Vc 3d
•
•
Vd (bw,nom z ) (tan D cot D) d kc f cd
mit
bw,nom
Vd
Vd cot D
Vc 3
Finf
z cot D
f wdx
f wd dx
bw,nom
•
Fcw
f wd
Vc V
dx sin D
3bcw3,b
nom
w dx sin D
D
bw k H ¦ Ø H
dx
Hüllrohre im Steg beeinträchtigen das Druckspannungsfeld o Stegbreite reduzieren (siehe oben), wobei
für injizierte Hüllrohre kH 0.5 (Stahl) resp. kH 0.8 (Kunststoff) gilt, für nicht injizierte Hüllrohre kH 1.2
Druckspannungen sind für Neigung 45° minimal, bei flachen Neigungen nehmen sie progressiv zu und
die Betondruckfestigkeit (kc) sinkt ab.
NB: Eigentlich keine Querschnittsbemessung, da Bügel für eine bestimmte Länge ermittelt werden
(«staggering effect»); eine Querschnittsbemessung für Querkraft ist streng genommen gar nicht möglich.
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Spannungsfelder
Träger – «Querschnittsbetrachtung» (parallele Gurte)
Geneigte Bügel
Fsup
Md
Md
Fcw
Nd
E
Vd
bw,nom
D
Nd
E
Vd
Vc 3
Fsw
s
Finf
z cot D
Fsup
M d N d e N d Vd cot D cot E z
2
2
Fcw
Vd
Finf
M d N d e N d Vd cot D cot E z
2
2
Fsw
Vd cot D cot E Vd cot E
Vd cot D
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Spannungsfelder
Träger – «Querschnittsbetrachtung» (parallele Gurte)
Geneigte Bügel
Md
Md
Fcw,E
Nd
bw,nom
Vd
Vc 3
z cot D
s
Vd
E
z cot E
Widerstand der Bügelbewehrung:
VRd ,s
•
D
Nd
E
Vd
•
Asw
f sd z cot D cot E s
Asw
§
f sd z cot D cot E sin E ¨
s
©
Asw
·
f sd z cot D ¸
s
¹
Fcw,E
Vd
Widerstand des Betondruckfelds:
VRd ,c
bw kc f cd z cot D cot E sin 2 D
Vertikale Bügel: E
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bw kc f cd z sin D cos D S
2
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Vd cot D
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Spannungsfelder – praktische Anwendung
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Spannungsfelder
Träger – «Querschnittsbetrachtung» (gevoutete Träger mit geneigter Vorspannung)
N do
G
Vdo
Nd
N do cos G Vdo sin G
z
2
Vd
N do sin G Vdo cos G
Md
M do
e
z
2
Nd
Ft Fcw cos D Fp cos G p Fc cos Ginf
Fcw sin D Fp sin G p Fc sin Ginf
Fp G p e p
z
2
Vd
Md
Ft ( z 2 e) Fcw cos D e Fp cos G p (e p e) ...
Vd
D
G
ep
Nd
G
M do
e
z
2
Md
Ft
Fcw
D
Fc Ginf
... Fc cos Ginf ( z 2 e)
'
o Schritt 1: Umrechnung der Beanspruchungen aus der Stabstatikberechnung (Md0,Nd0,Vd0) auf das
Bezugssystem des Spannungsfeldes (Md,Nd,Vd)
o Schritt 2: Gleichgewicht am vertikalen Schnitt formulieren
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Spannungsfelder
Träger – «Querschnittsbetrachtung» (gevoutete Träger mit geneigter Vorspannung)
N do
G
Vdo
Nd
G
M do
Vd
Md
e
z
2
ep
z
2
Fcw
ª M
§ 2e
§ 2e ·
2 Vd Fp sin G p tan Ginf « 2 d N d ¨1 ¸ Fp cos G p ¨1 p
z ¹
z
©
©
¬ z
1 k sin D
und
2k
D
G
Ft
e
z
2
Fp G p e p
z
2
Fcw
D
Fc Ginf
'
Ft
§ 2ke p ·
Md
§ 2ke · Vd Fp sin G p
N d ¨1 Fp cos G p ¨1 ¸
¸
z
z ¹
tan D
z ¹
©
©
1 k
und
2
Fc
§ 2e ·
Md
§ 2e · V Fp sin G p
N d ¨1 ¸ d
Fp cos G p ¨1 p ¸
tan D
z
z ¹
z ¹
©
©
1 k cos Ginf
mit
k 1
tan Ginf
tan D
o Schritt 3: Ermittlung der Beanspruchungen im Spannungsgeld und Bemessung der Elemente
o Quelle: Marti, P. «Schubbemessung von Voutenträgern mit geneigten Spanngliedern», Vorgespannter
Beton in der Schweiz, FIP Schweizer-Gruppe, Zürich 1994, pp. 16-19
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70
·º
¸»
¹¼
Spannungsfelder
Träger – «Querschnittsbetrachtung» (gevoutete Träger mit geneigter Vorspannung)
Fcw sinD (Fc,n sinGinf,n Fc,n+1 sinGinf,n+1)
Fcw
(Fc, Ginf)n+1
(Fc, Ginf)n
fw
Vc3 Fcw
bw dv cosD
≤ kc fc
o Die Bügelkräfte resultieren aus Gleichgewicht am dargestellten Schnittkörper (etwas kleiner als FcwsinD,
günstige Wirkung der Umlenkkräfte des gekrümmten Untergurts)
o Umlenkkräfte gekrümmter Spannglieder führen zu über die Steghöhe veränderlicher
Bügelbeanspruchung, dies kann aber in der Regel vernachlässigt werden
o Überprüfung der Betondruckspannung resp. Festlegung der Stegbreite mit der angegebenen Beziehung
o Verlauf der Bügel- und Stegbetonbeanspruchung kann mit der Geometrie des Untergurts gesteuert
werden («richtige Geometrie»: möglichst gleichmässige Beanspruchung über die ganze Länge)
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Spannungsfelder – praktische Anwendung
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