Thema für eine Bachelorarbeit Eine Randintegralmethode für

Thema für eine Bachelorarbeit
Eine Randintegralmethode für zweidimensionale
stationäre freie Randwertprobleme
Unter Verwendung der Theorie konformer Abbildungen kann man gewisse zweidimensionale,
stationäre, freie Randwertprobleme wie ein Dammsickerproblem, ein Kanalsickerproblem oder ein
Problem der elektrochemischen Oberflächenbearbeitung auf die Lösung von Integralgleichungen
zurückführen.
y
A(h,H)
H
free boundary S
seepage region
L(l,0)
O(0,0)
h
B(b,0)
drain
x
Dammsickerproblem
In den Arbeiten [4, 6, 5] wird die Methodik für die genannten Probleme beschrieben. Die Arbeiten
[1, 2, 3] sind der numerischen Lösung der entsprechenden Integralgleichungen gewidmet.
Die Arbeit sollte sich auf folgende Inhalte konzentrieren:
1. Zusammenstellung der wesentlichen Fakten aus der Literatur (exakte Formulierung der Voraussetzungen und Aussagen), die für die Begründung der zu betrachtenden Randintegralgleichungsmethode erforderlich sind. Dazu gehören
(a) Satz über konforme Abbildungen mit stetiger Randzuordnung
(b) Formeln von Sochozki-Plemelj für die Randwerte eines Cauchy’schen Integrals
Z
u(x) dx
, z ∈C\Γ
Γ x−z
(c) Lösungsdarstellung Riemann-Hilbert’scher Randwertprobleme mittels Cauchy’scher Integrale
(d) Christoffel’sche Formel für die konforme Abbildung der oberen Halbebene auf ein Polygon
y
A(0,H)
B(b,H)
free boundary S
free boundary S 2
1
seepage region
D(d,0)
C(c,0)
x
drain
Kanalsickerproblem
B−
B+
tool feed
electrolyte
insulation
C
c
free boundary
tool face
h
0
ell
y
A
x
ECM-Problem
2. Beschreibung der Randintegralmethode für gegenüber den obigen Beispielen leicht modifizierte Situationen, z.B.
y
A(0,H)
B(b,H)
free boundary S 1
free boundary S 2
seepage region
D(d,0)
drain
C(c,0)
drain
Ein modifiziertes Kanalsickerproblem
x
y
free boundary S
H1
A
B
C
H2
seepage region
L
O
h1
b
h2
x
Ein modifiziertes Dammsickerproblem
oder auch ein nicht symmetrisches ECM-Problem.
Empfehlungen: Vorlesungen zur Funktionentheorie
Prof. Peter Junghanns
Literatur
[1] Junghanns, P., Numerical solution of a free surface seepage problem from nonlinear channel,
Appl. Anal., 63 (1996), 87-110.
[2] Junghanns, P., Oestreich, D., Numerische Lösung des Staudammproblems mit Drainage, Z.
Angew. Math. Mech., 69 (1989), 83-92.
[3] Junghanns, P., Oestreich, D., Application of nonlinear singular integral equations to the numerical solution of a symmetric electrochemical machining problem, Comput. & Structures, 44
(1992), 409-417.
[4] Oestreich, D., Zum Staudammproblem mit Drainage, Z. Angew. Math. Mech., 67 (1987), 293300.
[5] Oestreich, D., Ein Problem der elektrochemischen Bearbeitung mit gekrümmter Katode, Demonstratio Math., 22 (1989), 401-412.
[6] Oestreich, D., Singular integral equations applied to free surface seepage from nonlinear channels, Math. Methods Appl. Sci., 12 (1990), 209-219.
[7] Oestreich, D., A new approach to a free boundary value problem of Miranda, Math. Nachr.,
148 (1990), 303-312.

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