!"#%$&'
( %)*+&#
,-$/.10324%
( %) *651%7,
8:9<;>=@?BADCEAFG?6HJILKFHMKONQPRK1STAD?+U7VWK1XZYKONT[]\^AD?6S_K`aNbEcMK1Ud\eCEADfB[
KUlK`aNbMcMKONnmdKONKTADf
gihkj
o4paqrptsvuw
~ = ~0
E
x_y{z}|~e|4{
>Dz:{Zr_3rxzt>y>'{z-y<Z|
y{>'~>z7x-
El ¡%¢t£¤#M¡%¢@¥v¦-¢D§¡%¨l©¨v¡ª§«+W£©£a¡%¬®
~ = −µ
E
~ = −µ
E
º
©
-
~ =
∇
ϕ
D¡%¹©
-
ϕ(~r) ⇐⇒
I
#¯ª°±'£¤#M¡%¢²¡%¬®¡%¥
©®§³D¡ª§1´D¡%¬®
~ r) = 0
d~r · E(~
-
(F~ (~r) = −µ
~ =−
E
F~ (~r)
V (~r)
£¤#l¬¬®¡
µ
¡ª§³#¬®¦§§¡%¢D¡%¢@¡
¢²#¡%M·¸¡ª³l¢#¥
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
~e1 +
~e2 +
~e3
∂x1
∂x2
∂x3
~ r)
E(~
µ
µ
¡%¯¡%
µ
©¶
¡
)
~
= ∇ϕ
∂
∂x1
∂ ¢}#¡%«¦
¦-'¢l©¡%¢DDl§©¡%¬¬»#¢ ±/¼M #¬®#¡%¢]½¡%©¯ª©
µ
∂x2
∂
∂x3
~ ×∇
~¶
∇
~e1
~e2
~e3 ∂
∂
∂ ~ ×∇
~ = ∇
∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂
∂ ∂
∂x1
∂x2
∂x3
∂2
∂2
∂2
∂2
∂2
∂2
= ~e1
−
+~e2
−
+~e3
−
∂x2 ∂x3 ∂x3 ∂x2
∂x3 ∂x1 ∂x1 ∂x3
∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x1
|
|
|
{z
}
{z
}
{z
}
=0
=0
´_¤#¡%¢D¡@¯ª°J¡% º l
¬B§©¡%©
'¾¡%¡%¢#¯ª®¡% l¡¿´#»#¢#¥
©®¦-¢
¬©Àl¬®§¦
~ ×
∇
µ
µ
±>±D¦-© -
§®¡%D¡Â#®¡%¯ª»¸l»D³}Ã1 D§³#¢#©©BÄ'±ÆÅr£Ç±'
~ = ~0 Á
µ
= ~0 Á
∇
±>±¦-©
¡%l¬©¡%¢
~ × ∇)ϕ
~
~
~
~ := ∇
~ ×E
~ =
= ~0 Á
∇ × (−∇ϕ) = −(∇
E
| {z }
~
E
~0 ®§©È¡%¢iÉÊËÌOÍÉ/Î-ÏÐÍÑÒ«+©¡%» º
ÕÖ¬®¡%¥
©¦§©l©¥±
o4p®×TpØ
Ý/®¡%¬Þ¶#¦-©
£Z¤#ÓD-§È¡%¬®¡%¥
©®§³D¡}´D¡%¬®¼¢Ô#¡%
=0
(c)
∆x2
(d)
(b)
(a)
∆x1
^ÙÖ~4_ÚzlÛÙÖxÜ
~
E
l¬®§+ßÏZÉDàÍ%Ïáß#ÍÉ/ÎÍÑe«+©¡%» º
ã#ä7å ¼ ¡%©-³©¡%¢^¡%¢ÀæZ¢'çD¢#©¡ª§ º
I
êëìíªîÞëì ï
~ r) =
d~r · E(~
£¤#M§©l©®§³D¡ª§1¡%¬®¡%¥â©®§³D¡ª§´¡%¬®±
l¬®¡ª§Çè1¡ª³â©¡ª³¥Â¢#¡%
Z
x1 +∆x1
x1
+
+
+
Z
1é 2
ÕÖ ¡%¢D¡æ§±ªÃ1 # #¬®'»#¢
dx01 E1 (x01 , x2 , x3 )
x2 +∆x2
Zx2x1
1
Zx1x+∆x
2
x2 +∆x2
dx02 E2 (x1 + ∆x1 , x02 , x3 )
µ
Ç»#¢D ¡%¡ª³#¢D¡%¢
(a)
(b)
dx01 E1 (x01 , x2 + ∆x2 , x3 )
(c)
dx02 E2 (x1 , x02 , x3 ) .
(d)
ð7ñ
!"#%$&'
( %)*+&#
,-$/.10324%
( %) *651%7,
£a-§§¡%¢
(a)
¡%¢© l¬¡ª³#¢»#¢
I
µ
£¤#
»#¢D
¡%]ââ°O¡%¢D'»#¢
¯ª»D§
Z
x1 +∆x1
x1
∂E1 0
(x , x̄2 , x3 )
dx01 ∆x2
∂x2 1
¢©¡ µ
#¡ª§Ò·}©©¡%¬°O¡%©§l©¯¡ª§
µ
¡%¢@»#¢D@¡%l¬©¡%¢
#¡%
+
Z
l¬¡ª³#¢â»#¢
©M#¡ º
º:º
º
(c) Á (b)
(d)
x̄1 ∈ (x1 , x1 + ∆x1 ), x̄2 ∈ (x2 , x2 + ∆x2 )
~ r) = −
d~r · E(~
êëìíªîÞëì ï
»#¢D
·²©©¡%¬°J¡%©§l©¯^#¡% B¾¡
x2 +∆x2
dx02 ∆x1
x2
µ
¡%
µ
#©§®³
∂E2
(x̄1 , x02 , x3 ) .
∂x1
£¤#
¯1 ∈ (x1 , x1 +
x̄
∆x1 ), x̄¯2 ∈ (x2 , x2 + ∆x2 )
I
~ r ) = − ∂E1 (x¯1 , x̄2 , x3 )∆x2 ∆x1 + ∂E2 (x̄1 , x¯2 , x3 )∆x1 ∆x2 .
d~r · E(~
∂x2
∂x1
êëìíîÞëì ï
Ã1»'£
»#¢D
µ
â©¡%© µ ¥v¡%©e#¡%eà #¬®¡%©»#¢ µ ¡%¢ ¥
-¢#¢D¡%¢
'®¡B¾¡%¡%¢â© l¬®¡^l¬®§'©©¡3«¦ º
−→ 0
#¡%
∆x1 , ∆x2
B¬®¡%®³â»#¢
°E^¢
'± ð º
µ
¦-¢D¡%¢©¡6#¡%è¦-©l©®¦-¢²¨v¦-¢
°E¡%l¬©¡%¢
I
~ r) =
d~r · E(~
êëìíîÞëì ï
±>±D¡ª§
µ
∂E1 ∂E2
−
+
∂x2
∂x1
∆x1 ∆x2 = (
¦-©
é
æ '± ð Ç
B¡%¢#¯ª¤# ¡% µ
£Z¤#
µ
®#¡%¢©çD¯ª®¡%¡%¢¿»#¢D
~
E
l¢
~ 3 ∆x1 ∆x2 ,
E)
©
H
êëìíîÞëì ï
lim
+¡ª¦
∆x1 ,∆x2 →0
~ r)
d~r · E(~
∆x1 ∆x2
=(
¦-©
~ 3
E)
l¬®§M´_¬ -³D¡ º ©´_¬ -³D¡%¢¨v¡%¥
©¦-
¢â©¡% ¡%©®¡%¡%¢>±
º ¡%©®§³²¥ -¢#¢D¡%¢@°E
∆x1 ∆x2
∆x1 ∆x2 ~e3
¡%D¡%¢]½¡%©¯ª©M¨v¦ º
B º ¡%¢D§®¦-¢l¬®¡%¢¸¯ª» º
B º ¡%¢D§®¦-¢l¬®¡%¢¸¤# ¡%± J¡%r¡%¢©
µ
é
2é
3é
§ ¡ª³D¡%¢D#¡%¯ ¥â¬®§³D¡% 4¡%©l»D§³»#¢
æ ð Å
Å
/ð Ç ¡%l¬©¡%¢}°E1l¢l¬®¦
.................................
.......
...... ~
µ
⇒
⇒
µ
.....
........v
....
......
'®¡¡%§©¡+»#¢D@¯ª°O¡%©¡3«1¦ º
¦-¢D¡%¢â©¡¨v¦-¢@¦-©
±
...
.
...
..
...
~
.
.
E
BÍÍà "!âÉâÐ$#%&! ')(*ÍÉ,+-EÊË.(vËÏÊ-É0/2143]d ¡%©-³â©¡%¢ '®¡ «+¡%®§§©5
¥v¦-¢D§©l¢â©±6+
¡%ûD§'»D³¥
~v (~r) = ω
~ × ~r Á ω
~
A ¡% ¡%¢#¡ª³#¢â»#¢ µ ¶
1
1~
∇ × ~v (~r)
2
=
ω
7.=8:9<;>=@?
=
1~
∇ × (~ω × ~r)
2
1 ~
~ ~r)
(~ω ∇ · ~r − ω
~ ·∇
2
1
(~ω 3 − ω
~ 1) = ω
~
2
B
JKB®¡L4¡%¥â©¦-l¬ µ
∂
∂
∂
∂x1 , ∂x2 , ∂x3
º
»#¢
µ
x1
x2 = 3 Á
x3
∂
1
∂x∂ 1
0
∂x2 (x1 , x2 , x3 ) =
∂
0
æ·¸∂x
l©3¯¡%¢ º »#¬© ¬¥-l©®¦-¢/Ç
¡ª§³#¡% #©3'®¡è¦-©l©®¦-¢#¡ª§Â ¡%¬®§7± 4¦-§®³â©3 ¡%4#¡%ââ°O¡%¢D'»#¢
ω
~
⊗ r
..
..
...
..
...
....
.
...
...
..
...
...
....
..
.
...
.
...
...
.... ....
...
... ...
....
.....
......
......
.......
..................................
0 0
1 0
0 1
&C
#¡ª§ B-§§ º l¢#¢ §³D¡%¢ ÕÖ¢â©
µ
é
¡% #®§©4§¦+¯ª»]¨v¡%°J¡%¢D#¡%¢ Dl¹3#¡% 1¾¡%¡%¢
µ
µ
Á
é
© l¬®¦ ¡%l©¦-
º:º ¡%¨v¦-3#¡ º
¯ » '¾¡%¡%¢#¯ª®¡%¡%¢D#¡%¢RûD§'»D³¥¸¯ª» §©¡%D¡%¢¥v¦ º:º ©Èæal¢D#¡%¡%¢'£al¬¬®§
ª
~
∇
» ¹ º l¢²'®¡ B¾¡%¡%¢â© l©®¦-¢}'»#³
£a¡%¬®¡
#¡%»#©¬®³ º -³D¡%¢/DZ
º #
°E®³¥
¬»#¢
>D@ ÃFE EJÃGIH §§l©¯¡ª§Bæ
)
è¡
¡%¬GÇ
ON
y
ð Ä
M
!"#%$&'
( %)*+&#
,-$/.10324%
( %) *651%7,
ã
äWå
H ¡%°O¡%®§ Èæ 4¦-¬¬®§© l¢D'
æZGÇ
H
µ
¡%
~ r) =
d~r · E(~
$& %') (!ë+"a*ë#Wë
ë aì í
D@
I
L
Z
, .-ìílë!/0(1!#
*2%034'65#87Wë î
¡%°O¡%®§M¢}#¡% 4¡%¥â©¦-l¢l¬ '§®§
~
~ r ) = dA
~ · ¦-© E
d~r · E(~
B¡%®¡ª³¥v¡7Ç
¢©¡ µ
¡%
~·
dA
Á
¦-©
~
E
J
£a¦-#¡%©M¨
®¡%¬ 4¦-l ¡%© DZ
l©®¦-¢Ó¤# ¡%T ¡%¬®¡% #
¡
µ
Á
¢'çD¢#©¡ª§ º
l¬®¡
Á
:
¡% ¡%¢D¡´_¬ -³D¡%¢ÒæZ¯v± +±
¡%©-³©¡%¢t°EEl¬®§¦^¡%¢À°E¢D#§³#®¡£¡ª§ B¡%®¡ª³¥À#¡%J´_¬ -³D¡
:9
D
∆A
º
è l» º ± ÂÓ§®³Ò ¡%4#¡% â» º:º l©®¦-¢ '®¡ Þ¢#¢D¡%¡%¢ >¢#®¡%¢
B
é
¢â©¡ l¬®¡ eD¡%l»D§D¡% ¡%¢
¥ -¢#¢D¡%¢¸°E+D-§ ¢#®¡%¢#¢©¡ l¬Ö¤# ¡%
µ
Á
µ
#¡%¢ B¡%®¡ª³¥'§l¢D
Dl§©¡%¬¬®¡%¢il¬®§t'¡% ¢#®¡%¢#¢â©¡ l¬®¡
C
µ
Ci
¤# ¡%Ö½¡¡%¢D¡ B¡%®¡ª³¥
§§¡%©¡3#¡%´_¬ -³D¡
»#¢D²¯ª°O¡%r¯ª» ¡% -
Ai
µ
é
¡Â«1¦â¦-'¢l©¡%¢-³D§¡%¢l D§³#¢#©©¡¶
H
;9
<9
6
µ
I
C
~ r) =
d~r · E(~
3 I
X
Ci
i=1
~ r) =
d~r · E(~
æZGÇÀ¡%¢D#¡%¢t°E »#¢D§J¢»#¢t¡%¢D¡%E ¡%¬®¡% #
Ã1¬¬
µ
D-§§
¡ º
C
3
X
i=1
~ i (∆A)i = (rot E)
~ · ∆A
~
(rot E)
>=
¡%¢
¡ª§³#¬®¦§§¡%¢D¡%¢@«+»#¨v¡
¯ª» ¡%¢D¡+§¦-¬®³D¡Â«+»#¨v¡B®§©J º
µ
µ
C
¡%¢D¡%¢Ò¢#®³â©3¡% ¡%¢>±·¿l¢¸¥-l¢#¢Ò§®¡:l ¡%1¢À½¡ª#¡ º
´/l¬¬ º ©Â¡%¢D¡%´_¬ -³D¡]l»D§£Z¤#¬¬®¡%¢
§¦
Á
'®¡1èBl¢D'¥â»#¨v¡B'®¡ª§¡% ´_¬ -³D¡B®§©± ¡%¬© º l¢È¢â»#¢t'®¡1´_¬ -³D¡1¢À¥â¬®¡%¢D¡B´_¬ -³D¡ª§©¤D³¥v¡
?@
A
æZ¢:#¡%Öè¡
D6@ l¢
H
N »#¬®¡%»#¢ Ç4l»'£ §¦1°E6'®¡ è1l¢D'¥
»#¨v¡J'»#³]¡%¢D¡%¢ r¦-¬
¦-¢
µ
µ
Á
µ
é
¯ª»
¦ º ®¡%©±·¸l¢Ò¥l¢#¢ÒDlD¡%°E®¡^ º
¦-#
¡%¢´/l¬¬4D-§ ¢â©¡ l¬Ö¤# ¡%Â'®¡:è1l¢D'¥
»#¨v¡
µ
µ
µ
l¬®§ â» º:º ¡6¨v¦-¢
¢©¡ l¬®¡%¢¤# ¡%Â'®¡ J¡%l¢D'»#¢
#¡%+¥
¬®¡%¢D¡%¢´_¬ -³D¡%¢D§©¤D³¥v¡]§³#¡% ¡%¢ '®¡
µ
µ
â» :
¢©¡ l¬®¡ ®§©E°E®¡ª#¡%» º
¬®¡%®³ 1»#¬¬Þ¶
º º ¡^#¡% Þ¢#¢D¡%¡%¢
µ
µ
BA
µ
¡%¬ B¡%®¡ª³¥v¡¶
C
D
O
H
I
C
OA
~ r) =
d~r · E(~
XI
Ck
~ r)
d~r · E(~
>=
CED 5 3GF îH75JILK'NMëO77ëQPë F ëEP0F ëQ$&%')(%ë>* F îO/13R%0"J75TS_ëPF ë îO/!F #477ë3U7F ë$&%')(%ëT.FÆë îO/%ëF #IV5ìí4W%)53G3Eë#Wí8-# ëE#87
a ëF #
/8705ílëFYXîO/MëO77ë ëaìí0 "aë#lë+$&%')(ëZ3[%""FÆì í\WE%+ëF #lë3^]_%#lïªî>W%0)53G3Eë#0WEF ëílë#.5"aë#`
ð
k
!"#%$&'
( %)*+&#
,-$/.10324%
( %) *651%7,
¡%©
æZGÇ
º
⩦-¥v¡ª§7¶
I
C
~ r ) = lim
d~r · E(~
n→∞
l¬®§¦:¥â»#¯
°J¦- ¡%
¦-©
l¬r¥â¬®¡%¢D¡%¢@´_¬ -³D¡%¢D§©¤D³¥v¡%¢¸¤# ¡%
n I
X
Ck
k=1
n
X
~ r ) = lim
d~r · E(~
n→∞
I
k=1
Z
~ r) =
d~r · E(~
¡ª#¡%»#©¡%©
C = ∂A H
C
Á
~ = 0 '¡%¥
©
~ r) = 0 Á
E
d~
r
·
E(~
C
-
l¬®§¦
~ · (rot E)
~
dA
φ ⇐⇒
¬©M¢²¡%¢'£Þ-³²¯ª»D§ º:º
µ
I
C
O'l©¯¨v¦-¢
§¦:¡% l¬© º
Á
~ · (∆A)
~ k=
(rot E)
C=∂A
A
D-§§
'®¡3èBl¢D'¥â»#¨v¡^#¡%1´_¬ -³D¡
E = −µ
o4pTpØ
l¢@¢â»#¢@¯ª»t¢'çD¢#©¡ª§ º
A
Z
l¢²#¡%¢
A
~ · (rot E)
~ ,
dA
¦-©
~ r ) = 0 ⇐⇒
d~r · E(~
®§©±  º ©1¡% l¬© º l¢¸l»D§
¡%¢D#¡%¢ ¡% #®¡%©¡%¢
µ
¡%¢# l¢
~ =0
E
xzÈrÚz-3DzWDÜ
A+-³#¡%TÕ4¢'£Z¤##»#¢ µ ¢#¡%TÕZA ¡% º ¡%¢â©l¬ '§¥:°O¡%#¡%¢È°ET'®¡ª§¡ª§+@ D¡ º ^l»D§£¤##¬®³D¡%T ¡%l¢ é
#¡%¬¢>±
ûD§J#¡%JÕ&A ¡% º ¡%¢©l¬ K
§¥ 4¦-¬®¡ª§»#¢
®§©O ¡%¡%©§ '®¡ B¬®¡%®³â»#¢
¡%¥l¢#¢© '®¡1'®¡G¢â©¡
é
µ
µ
Á
©®¦-¢R#¡ª§^·¿ ¢D¡%©£¡%¬®#§^¤# ¡%e¡%¢D¡
¡ª§³#¬®¦§§¡%¢D¡È«+»#¨v¡
¢ ¡%¯ª®¡%»#¢
§¡%©¯ª© º ©^#¡ º
⩦ º µ »#¹ é
µ
µ
µ
C
'»#³¸'®¡Â'»#³¸'®¡«+»#¨v¡Â ¡%l¢D#¡%©¡´_¬ ³D¡ A ¶
'l©¯]¨v¦-¢ ⩦-¥v¡ª§3¡% µ
·}©#¡ º
´_¬ -³D¡%¢
~
A
B®¡ª§¡ª§EÕÖ µ
'®¡Ã1»D§§
µ
I
)î
C
~ = µ0 I î
d~r · B
H
#©§®³
¡
¡% #¢#®§1¡% l¬© º
l¢²l»D³
(
¦-©
°J¡%¢#¢
Á
l¬©¶
C
º
~ i = lim
B)
A
~ =
d~r · B
¦-©
Z
= µ0
R
~ · ~j .
dA
~ · (¦-© B)
~ Á
»#¢DDlD¡%
A dA
µ
¬©£Z¤# ¡%¬®¡% #
µ
¡
~ = µ0~j .
B
l¢@§®³²'®¡
H
+¡çD¢#©®¦-¢@¨v¦-¢
r
Ci =∂(∆Ai ) d~
~
·B
~ = ∇×B
~
rot B
¨v¦-MÃ1»
µ
¡%¢
~
= µ0 (j)i
∆Ai →0
∆Ai
 º ©È§©¡%¬¬©À§®³¼¦-©
~ = µ0~j µ l¢#¯ l#¢#¬®³DlȰE®¡²'®¡
1»D¡%¬¬®¡%¢ µ ¬®¡%®³»#¢ µ £Z¤#'®¡ B¨v¡% µ ¡%¢#¯
B
#¡ª§Â¡%¬®¡%¥
©®§³D¡%¢´D¡%¬®#§ ¢ º ¬®³ '¨
~ = ρ(~r) ±>Ý/»D#¡ º µ ¬©+¢#¡%+Õ4¬®¡%¥â©¦§©l©¥¸¦-© E
~ = 0 ± +¡ º
E
Á
ε0
¡%¢©§ ®³©B¢@#¡%·¿ ¢D¡%©¦§©l©¥t'¨
¢ 1»D¡%¬¬®¡%¢>±
~ = 0 Á ±>±D¡ª§ µ #©M¥v¡%¢D¡ º µ ¢D¡%©®§³D¡%
µ
B
Ã1»D§
¥v¦-¢#¢â©¡%¢]°EÖ¬®¡%®³â©
¡%¡ª³#¢D¡%¢ v'®¡ª§Ö®§©r£¤#Ö#¡%¢]´l¬¬
¢#®³â©T§¦B¬®¡%®³â© º
¨
³ >¶
~ r)
~
~j − B
E(~
ρ(~r)
µ
Õ֢⩰O¡ª#¡% º l¢@° l#¬©#¡%¢@¡
#¡% 4¦-¬®¡ª§»#¢
¤# ¡%M'®¡ ¦-¡%¢©¯ª©l¢D§£a¦- º l©®¦-¢RæZ° -§§®³D¡%M¢#®³â©
µ
µ
#¡%e#®§©¦-®§³D¡%
¢ B¡%¬®¡%©»#¢
¡%¢©§ ®³©Ç ¦
#¡% º l¢ £¤##©6l¬®§6Ã1¢D§l©¯ÀD-§ 4¡%¥
©¦- ¦-©¡%¢â© l¬
~ r)
µ
Á
A(~
¡%¢
£¤#MD-§
¡%¬©¡%¢ º »#¹D¶
Á
µ
± Ö /ÇE°O¡%#¡%¢¸°EM¬®¡%©¯ª©¡%¡%¢²¡
µ
9
§
D-§
Á
¡% ¡%¢>¶D´_¤#¡%¢
EÏaÊË B( "(-à%Ë
9>¡%©¡%§©¤D³¥
~ =
dB
Ѫáß'ÍÍÑÍ%Ë
Á
¡ª§³#¡%©¡%¢>± 1®¡
µ
°O¦-¬¬®¡%¢
Á
'»#³¸D-§M#¡%
µ0 d~l × ~r
I
4π
r3
⩦
°EM½¡ª#¦
³
º
I
®¡%¹©
9&
§»#¢
ÁDµ
§³D¦-¢
µ
¬©¶
I
dl
r
Å
B
~ = rot A
~
B
¢²Ã D§³#¢#©© ð
'®¡ª§¡ª§Ö
N ¦- #¬®¡ º
#®¡%1l¢
>=
O
Bl##,@vW®%)*Â
%"v/
T5Mr( %)
9<F
KUBKBHMfkFH
*+&#
,
TW/W!D®
S_CMU7ADKJNrFGNbEcMKBH¿?^?+U-Y6F HCEADK1Hm
C
!Â`NbEcMK1UR\eCMADf"
PdKBS4AD?+UlCHMCÂX$#JNrFGN
q&%TpÞqpØ
'
>|Ü
1¨v¡% µ
El ¡%¢²'®¡
¡%¢#¯3¨v¦-¢
~
E
l¬®§ 1
»D¡%¬¬®§© l¥v¡#¡çD¢#®¡%©¶
'¨
®¡Â¦- ¡%¢@ ¡ª#¡%»#©¡%©
A = ∂V
~ = lim
E
Á
D-§§M'®¡)(1 ¡%
R
~·E
~
dA
V
A=∂V
V →0
-³D¡
A
D-§ 4¦-¬» º
¡%¢
V
¡%l¢D#¡%©±+*
(x1 + ∆x1 , x2 + ∆x2 , x3 + ∆x3 )
x3
x2
(x1 + ∆x1 , x2 + ∆x2 , x3 )
x1
(x1 , x2 , x3 )
(x1 + ∆x1 , x2 , x3 )
1¨v¡% µ ¡%¢#¯]'¨ E~ l#¢#¬®³Ò°E®¡e¦-© B~ = ∇
~ ×B
~ '»#³Ã1 #¬®¡%©»#¢ µ ¡%¢ l»D§'¤D³¥v¡%¢ Á
l
¥
©
®
§
³
D
%
¡
J
°
%
¡
®
§
Ó
¡
%
¡
D
¢
%
¡
¢
1
»
#
%
¡
t
æ
§
±
¦
#
È
¡
à # #¬®'»#¢ Ç º ©3¢'çD¢#©¡ª§ º l¬®¡ º
µ
µ
R
4¦-¬» º ¡%¢Ô»#¢D ¡%¡ª³#¢D¡%¢
¤# ¡%È'®¡ 1»-#¡%¦- ¡% ³D¡±G+
¡ ¡%¢â¤# ¡%¬®¡ ¡%¢D#¡ ¡%©¡%¢
~
~
µ
µ
dA · E(~r)
æZ#®¡%T¯ª»D¡%§©O'®¡G
¡%©¡%¢À¢] #¯ªA
°± ll¬¬®¡%¬/¯ª»# ð Å ÕÖ ¡%¢D¡7Ç4¬®¡£¡%¢Ól»'£ »#¢DÈ#¡ª§T·}©©¡%¬°O¡%©§l©¯¡ª§ #¡%
é é
µ
B¾¡%¡%¢â© l¬¡ª³#¢â»#¢ µ
¦-¬¬®¡%¢¿°EÂ'®¡
¡%©-³©¡%¢R°EeDl¯ª»
Z
x1 +∆x1
x1
°O¦- ¡%
¢»#¢
x̄3
¡%
µ
µ
Z
x1 +∆x1
B®¡ ¡%©¡%¢ -³D¡%¢
,
'¨
x2
x1 +∆x1
#©Dl¢#¢t£¤#MD-§M¦- #
±D·}©
x2 +∆x2
x1
x1
µ
Z
NÖ»#¢#¥â©O¯ª°E®§³D¡%¢
¡%¢D¡%¢
Z
l¢l¬®¦
dx01
#¡ª§
dx01
Z
dx01
µ
dx02 (−E3 (x01 , x02 , x3 ) + E3 (x01 , x02 , x3 + ∆x3 ) =
Z
»#¢D
)x+3¦ ¡
x2 +∆x2
x2
x2 +∆x2
x2
dx02
x3 + ∆x3
¡%¬¢©¡ l¬
µ
∂
E3 (x01 , x02 , x̄3 )∆x3 ,
∂x3
M ¢©¡ µ
Dl§©¡%¬¬©± +¡%O·}©©¡%¬°O¡%©§l©¯+#¡%
l¬¡ª³
dx02 (−E3 (x01 , x02 , x3 ) + E3 (x01 , x02 , x3 + ∆x3 ) =
∂
E3 (x̄1 , x̄2 , x̄3 )∆x1 ∆x2 ∆x3 .
∂x3
1»-#¡%§Â¢¸ #¯ª°±
¡% l¬© º
ll¬¬®¡%¬Ö¯ª»#ÂÅ
l¢}l¬®§¦#¶
é
é
Õ4 ¡%¢D¡:§¦7°E®¡
é
ð
é
ÕÖ ¡%¢D¡6 ¡%¡ª³#¢D¡%¢§®³
∆x1 ∆x2 ∆x3 = ∆V
R
3
E1
~·E
~
X
d
A
∂
∂
∂
∂
~ ·E
~
~ = lim A=∂V
Ei (x1 , x2 , x3 ) = (
,
) E2 = ∇
E
=
V →0
V
∂xi
∂x1 ∂x2 ∂x3
i=1
E3
î .- Æì íªî Wë
ë0/
î
î ~ 1 ë Æì íWë21
43 aìí îaî ë
53 6- ë Þë87 aìílë _ë aëî ë
D ÆF ërëE# ) ')F 7 E' D 0#0F )F !#\(1# (')
í85Pë#
`
B)i
/ >FY' F.3 P0 0#0F K0P 'Z75 3 E' Å ð
S )W IL%0#07Wë#
é
Bl##,@vW®%)*Â
%"v/
T5Mr( %)
q&%Tp ×4p
>Úzl3ÙÖxÜ
3x_
G
¡%©-³â©¡%¢}°EM¢â»#¢²¡%¢@¡%¢D'¬®³D¡ª§ 4¦-¬» º
*+&#
,
TW/W!D®
¡%¢>¶
B®¡ª§¡ª§4¦-¬» º ¡%¢²¥l¢#¢ º l¢} ¦ A' º l©¨²l»D§E¥
¬®¡%¢D¡%¢ 1»-#¡%¢²¯ª»D§ º:º
Â-§^´r¬- ³D¡%¢#¢©¡ µ l¬J¤# ¡%^'®¡]è1l¢D -³D¡ A #¡ª§e ¦ A' º ®¡%©¡%¢ 4¦-¬» º
¢â»#¢Ql¬®§Oâ
» º:º ¡Ò¤# ¡%@'®¡´_¬-³D¡%¢#¢â©¡ l¬®¡ #¡%²¥â¬®¡%¢D¡%¢ 1»-#¡% 4¦-¬» º
¢©¡ µ l©®¦-¢}¤# ¡%1'®¡+¢#¢D¡%¡%¢}´_¬- ³D¡%¢}°Eµ ®¡ª#¡%MD¡%l»D§£.l¬¬© Á ¡%l¬© º é l¢>¶
æZGÇ
æZGÇ
¡%¢D§¡%©¯¡%¢>±
¡%¢D§^§³#¡% #©
¡%©
Z
æZGÇ
A
l¢@¢â»#¢²¯ª» º
º
B¡%¢#¯ª°J¡%©
Z
A=∂V
·}©'¨
~ =
E
~ · E(~
~ r) =
dA
n Z
X
i=1
n −→ ∞
~ · E(~
~ r ) = lim
dA
n→∞
ρ(~r) ¡% l¬©
ε0
º
A=∂V
'~x_|x_y zvz²Z
~
∇
µ
¡% #¬®#¡%©¶
µ
-
'¨
~
φ = ∇φ,
ÕÖ ¡%¢D§¦
µ
¬©E¢²#¡%1·¸
µ
º
©#¡ º
@
Á
L
µ
µ
'¨
~ ∆Vi
E)
'l©¯Â¨v¦-¢ Âl»#¹D¶
#©§®³²#¡%
~ ∆Vi =
E)
∆Ai
Z
V
Âl»#¹6C §³D¡+¡ª§¡%©¯
Z
d3 r
V
3
|{z}
d r
¦-©
º
©4#¡ º
¦-©
~ =∇
~ × E,
~
E
+¡ª§¡%©¯ º l ¹ µ
~
E
ρ(~r)
.
ε0
¦-©
'¨
dV y>'{Ü/{ /zây>r
¡%¢D#¡
~ = ρ,
E
ε0
'¨
(
L
i=1
¡%¢#¯M»#¢D6'®¡Eè¦-©l©®¦-¢
~ =∇
~ · E,
~
E
~ = 0,
B
¡%¢D#¡ rl ¡%¬¬®¡M¡%¢â© l¬©T¡%¢D¡Ý/»D§ :
º º
+l #¬ -¦ ¡%l©¦-±
A
(
µ
n
X
∆Vi
¥v¡%©¡%¢}¡%l¬©¡%¢>¶
~ = 0,
E
~ =0
B
~ = µ0~j,
B
~ =0
E
B¾¡%¡%¢© l¬®¦ ¡%l©¦-
~ =∇
~ ×B
~
B
¢D¡%©¦§©l©¥¶
'¨
A+-³'£a¦-¬ µ
'®¡ B¨v¡%
´_¤#'®¡ÂÕÖ¬®¡%¥
©¦§©l©¥Ól ¡%¢²°EE£¦-¬
'¨
n Z
X
i=1
¡%
Á
~ · E(~
~ r) =
dA
Mx__Ò|
B-'®¡%¢â©¡%¢
_l ¡%¢: #®§D¡%4#¡%¢
¤# ¡%
l¢²Dl¢#¢@°E®¡ª#¡%1D-§
Z
q&%Tp4p
∆Ai
~ · E(~
~ r) ≈
dA
¢
º l¢
± ÂR'®¡
¦-©
¡%¢D§©¡%¬¬»#¢
ÅÅ
µ
#¡%4°E®³â©
µ
§©¡%¢Èè1¡ª³D¡%¢#¡
µ
1º
¡%¬¢ º
µ
l¢
µ
Bl##,@vW®%)*Â
%"v/
T5Mr( %)
*+&#
,
TW/W!D®
"!#%$&('*)+-,'.- ~ )%)+-243 57698
∇ /10
: ;2 +<.'*)('*>=+-4? ~ ; ~ @+<A--@%
ψ
U
V
=
%
φB
'8 ~ ~
+A
'
~ 2 φ = ∆φ = ∂ φ + ∂ φ + ∂ φ
φ=∇
· ∇φ =
/ ∇
∂x
∂y
∂z
*-'-
8 ~ ~
φ=0
/ ∇ × ∇φ =
8 ~ ~ ~ '
+A ~
∂ V
∂ V
/ ∇(∇ · V ) =
V = ~ex ∂∂xV + ∂x ∂y + ∂x
∂z
2
2
2
2
2
+~ey
;8
78
/
8
/ED
F8
/
8
/
E8
/
8
/HG
8
/
/
JI1 #»#¢
·}©M¡%©°J-§
∂ 2 Vx
∂x ∂y
+
∂ 2 Vy
∂y 2
+
∂ 2 Vz
∂y ∂z
+ ~ez
~ · (∇
~ × V~ ) = %AC- V
~ =0
∇
∂ 2 Vx
∂x ∂z
2
2
y
x
2
2
2
z
∂ 2 Vy
∂y ∂z
+
+
∂ 2 Vz
∂z 2
~ × (∇
~ ×V
~ ) = -- V
~ = ∇(
~ ∇
~ ·V
~)−∇
~ 2 V~ = '
%A V
~ − ∆V
~
∇
~ · (φ V~ ) = φ(∇
~ ·V
~ ) + V~ · (∇φ)
~
∇
~ × (φ V~ ) = φ(∇
~ ×V
~ ) + V~ × (∇φ)
~
∇
~ · (U
~ ×V
~)=V
~ · (∇
~ × U)
~ −U
~ · (∇
~ ×V
~)
∇
~ × (U
~ × V~ ) = (V
~ · ∇)
~ U
~ − (U
~ · ∇)
~ V
~ −V
~ (∇
~ ·U
~ ) + U(
~ ∇
~ ·V
~)
∇
~ U
~ · V~ ) = U
~ × (∇
~ × V~ ) + (U
~ · ∇)
~ V
~ +V
~ × (∇
~ ×U
~ ) + (V
~ · ∇)
~ U
~
∇(
~ · (∇
~ φ×∇
~ ψ) = 0
∇
@
¡% #¢#®§§¡^l»D§M¦- # %
¡ _l ¡%¬¬®¡¬®¡%®³©1 ¡%¡ª³#¢D¡%¢>±
µ
µ
É Íà ÉâÐ
r¼Öl ¡%¢] #®§D¡%T'®¡ Ö¦â'»#¥
©¡ %
¡ ¬l¢ ¡%° l¢D'© » º
æ½Çr¯ª»] ¡%¡ª³#¢D¡%¢
§®¡%D¡
µ
µ
Á
Á
l»D³¸Ã D§³#¢#©©1Ä'±ÆÅ ¡7DZ
K 6
!
µ
¬ -§§¡%¢@§®³²'®¡ÂÕÖ
# ! #HL 1 13
FN
¢¿¦- # µ ¡%<@_l ¡%¬¬®¡:¡%l¬©
~ + (∇
~V
~) · U
~
~ U
~ ·V
~ ) = (∇
~U
~) · V
∇(
{z
}
{z
}
|
|
MN'*POFQ
MN'.%OFQ
R )%B
l¢Ò'®¡ª§¡6´D¦- º
º
l¢°J¡%¢D#¡%©¶
Ã1¢l¬®¦
£Z¤#
&9
~ × (∇
~ ×U
~ )±
V
~ (r) = f 0 (r) ~r
• ∇f
r
•
´_¤#
l»'£
µ
~a =
³ª¦-¢D§©±
¡£Þl¹©M°E±
µ
æ«Â¡%©©¡%¢#¡
©
¢D#¡ º
º
B-§§ º
l¢Ò#¡%¢
&C §³D¡%¢Õ֢⩰E®³¥
¬»#¢
l¢#¢
µ
©©¡%¬
Á
'®¡ '»#³]¡%¢'£Þ-³D¡Eè1¡ª³#¢»#¢
§§l©¯
¤'£©_°J¡%#¡%¢
¡%¬GÇ
~ ~a · V
~ (~r) = ∇
~V
~ (~r) ·~a Á
∇
°O¦- ¡%
~V
~ (~r)
∇
l¬®§ ·¿l©¯¡%¢ º
6@
º
¤# ¡%
µ
1 0 0
~ · ~r = ( ∇
~ ) ~r = 3 Á ∇~
~ r = 0 1 0 = ∇
~ ( ~r ) ± ∇~
~ r °E D r¡%¢D§¦-
• ∇
0 0 1
»#¢D}l¬®§M·¸l©
»#¬© ¬¥l©®¦-¢¿¡%¢D¡%BÝ¡%¬®¡
©¡%¢D¡% l¬©¡¨v¡%§©l¢D#¡%¢>±
LA
µ
~ × (∇
~ ×V
~ ) = (∇
~V
~)·U
~ −U
~ ·∇
~V
~.
U
»#©¡% >¡%©¯ª© ¢D¦â³:¡%¢# ¡ °O¡%©¡%¡ 1
¬£§ º
µ
µ
¥ -¢#¢D¡%¢>¶
Ý/»
µ
Á
R )%B
Å
º
»#¬©
¦
'»#¥â©
H
µ
¬¥l©®¦-¢
¡%¢l¢#¢©
Bl##,@vW®%)*Â
%"v/
T5Mr( %)
q&%TpOp
~|-{x_y
>'~r
~|-{x_y
ã#ä7å ´_¤# ¡%¢6°E ¡%¬£Z¡%®¡ª§Ö´¡%¬®
µ
¡%¢l¢#¢©1»#¢D@¡ª§
~ = −∇·
~ ∇φ
~ = −∆φ ± ∆ °E0(
(váÍ
E
©Ö'¨
P3
∂2 ±
i=1 ∂x2i
¡%©¡%#¢¿£a¦-¬ ©B£Z¤#¡%¢¿°E ¡%¬£¡%®¡ª§Â´D¡%¬®l»#©¦ º l©®§³
µ
©¦§©l©¥t¡%l¬©¡%¢@°ED º ©1'®¡§¦ ± EÊ-ÏGÑѪÊ-É ÍÏaáß ÉâÐ
µ
µ
©
~ = −∇φ
~ £¦-¬ µ
E
*+&#
,
TW/W!D®
∆=
∆ϕ =
äWå ¢@#¡%M·¿
¢D¡%©¦§©l©¥
µ
´_¤#'®¡ª§¡%¢@Ã1¢D§l©¯Â£a¦-¬
'¨
•
¦-©
•
~
A
-³D¡%¢}°E £¦-¬
©
µ
85 ')B7%Wïî
- î-
®§©¢#®³â©@¡%¢D#¡%»#©
~ + ∇f
~ (~r)
A
µ
£a¦-#¡%¢°E4¯ª»D§ l©¯ª¬®³Ó'¨
I
¡% #¢#®§M»#¢D§¡%¡% ¡%¬®¡
µ
»#¢
~ r)
A(~
~ × ∇)
~ ·A
~=0
(∇
90
¡ª³D¡%¢D
µ
L
¬©E£¤#MD-§ 4¡%¥â©¦-
~=∇
~ ·A
~ = 0Á
A
¡%¢}¡%l¬©¡%¢²°EDl¢#¢t£a¦-¬
µ
¦-¢D¡%¢©¡Ó¨v¦-¢ B¬®¡%®³»#¢
º
µ
#¡%¡%¢
§»#¢
'»#³ â»
¡%
µDÁ
µ
!#"%$'&
:(
(
¡ª§© º:º ©
°EÈ£¤##¡%¢DlD¡%t¡%¢D¡¸§¦ ¡%¢l¢#¢©¡*JÏaáßâËà -É#Ñ%+%Ê-à
ËÏaÊ-É
µ
Á
µ
Z£ ¤##©E¯ª»t®#¡%¢â©®§³D¡ º
·¸ ¢D¡%©£a¡%¬®
~ Á #¡%¢#¢ ∇
~ × ∇f
~ = 0 æ,*JÏ á%ß-+àÍÏGß'ÍÏËÇ
µ
B
µ
*! Ê*
°J-§Jl¬®§/.ÖÊ
¡%¢D#¡
~ r ) = −∆A(~
~ r ) = µ0~j(~r)
B(~
æ ð ± ð Ç3 ¡ª§©¯ª©e'®¡
EJ¦-»#¬®¦
¦§©®¦-¢²#¡%
ϕ(~r) =
Õ֢⩧
−ρ(x1 , x2 , x3 )
ε0
©1#¡ º
=
¦-©
³â»#¢
ϕ=
~ =∇
~ ×B
~ =∇
~ × (∇
~ × A)
~ = ∇(
~ ∇
~ · A)
~ −∇
~ ·∇
~ A
~=∇
~ (∇
~ · A)
~ −∆A
~
B
| {z
}
)
°E±
3v¡ª#¡Ó«¦
¢Ò#¡%ÂÕÖ¬®¡%¥
¡%¢D#¡%¢¸Ã¢D§l©¯v¶
µ
º
~ =∇
~ × A(~
~ r)
B
(
Ã1¬®§TÕ4®³»#¢
µ
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x21 ∂x22 ∂x23
~ =∇
~ ·B
~ =∇
~ · (∇
~ × A)
~
B
'»#³>¶
Ã1¬®§MÕÖ
º
!
~ ×E
~ = −∇
~ × ∇φ
~ = ~0 ±
∇
:(ËÞÊ-à
#Íà
Z
1
4πε0
¦-©¡%¢© l¬
~ r ) = µ0
A(~
4π
Z
º
º
d3 r 0
d3 r 0
0
4¡%¥â©¦- µ
!
ÉâÐ] ¡%¯¡%®³#¢D¡%©
21ÍÏaáß
¬®¡%®³»#¢
µ
¶
æ ð ± ð Ç
N
l©D¡ º l©®§³D¡t´D¦- º
¡%¢D¡% r¦-®§§¦-¢
¦-©¡%¢© l¬®¡
¡%¢©§©¡%©¶
Q
4πε0 |~r−~r0 |
B¬®¡% é
ρ(~r0 )
|~r − ~r0 |
~j(~r0 )
,
|~r − ~r0 |
!A
~j(~r0 ) º ¢D¡%¢D'¬®³D¡%¢¸¨v¡%§³°E¢D#¡%©+»#¢D}¥v¡%¢D¡3§¦-¢D§© µ ¡%¢}è1l¢D' ¡ª'¢ µ »#¢ µ ¡%¢Ò¡ ®§©®¡%¡%¢>±´_¤#
~ =∇
~ r × A(~
~ r ) ¡%l¬©¡%¢²°EMDl¢#¢
B
!
Z
Z
0)
~
µ
1
µ0
j(~
r
0
3 0~
3 0
0
~
~
~
B =
d r ∇r ×
=
d r (−1)j(~r ) × ∇r
4π
|~r − ~r0 |
4π
|~r − ~r0 |
Z
µ0
(~r − ~r0 )
=
d3 r 0 ~j(~r0 ) ×
4π
|~r − ~r0 |3
£Þl¬¬®§
Å
é
Bl##,@vW®%)*Â
%"v/
T5Mr( %)
*+&#
,
TW/W!D®
I
~dl
A
Ã1 # #¬®'»#¢
E£Z¤##¡%¢¸'®¡
¡%¬®¡ º
¡%¢©¡
¶
d~l
R
4¦-¬»
º
¡%¢#¢©¡
d3 r 0 −→
R
µ
Å'¶ ⩦ º
'»#³
\9>¡%©¡%¡%¬®¡ º
¦§§¡%¢D¡ª§
¡%¢©
90
l©®¦-¢Ò¤# ¡%¢}¡%¢D¡3¡%¢D' º ¡%¢D§®¦-¢l¬®¡ ¢â©¡ l©®¦-¢}¤# ¡%'®¡
l¢ ¡%¢
µ
µ
é
§®¡%D¡Ã1 # #¬®'»#¢
Å'± B®¡ª§¡% #©D-§ EÏaÊË -à%Ë Ñªáß'Í ÍÑÍ%Ë
dA d~lÁ
µ
µ
µ
~ = µ0
B
4π
Z
(~r − ~r0 )
I d~l ×
|~r − ~r0 |3
Å
B( "(
W/W!#®M
39
3H ¿K1UWK bEcH
FHSMX F$+K1H
UWK bEcEA
O*0ÈW!®0D0Ó
+K1X
~ [
φ(~r) [
A
~
∇
?6H
D¡ º ¡%¢â ¡%¡%®³d®§©§¡%#» º
§¡%¢â©®¡%¡%¢²°O¦-¬¬®¡%¢>±
~
∇
µ
£Þl¢
µ
¡%®³
°O¡ª§l¬ Á
¡ º
¡%¢D¡%¢D¡e«¦
¦-'¢l©¡%¢
)AB¦- º
°O¦- ¡%'®¡
ui
§¢D@'®¡Â«1¦â¦-'¢l©¡%¢â¨v¡%¥â©¦-¡%¢
(
®¡%»#¢
1
∂~r
| ∂u
|
i
x = r sin ϑ cos ϕ,
B®¡«¦
¦-'¢l©¡%¢¨v¡%¥
©¦-¡%¢¿§¢D
º
«¦ º:º
¡
µ
µ
â¥l¬®¡%¢'£Þl¥â©¦-¡%¢
( ~ =
~eui · ∇
A1»#¢Ó£¦-¬ µ
µ
£¦- º
»#¢
µ
(∗)
¡%
µ
µ
¡ º
µ
¡
µ
~ = P3 ~ei ∂ ±
∇
i=1
∂xi
¡% ¡%¢²'»#³
æ ðð ± ð Ç
∂~r
fui = | ∂u
|
i
y = r sin ϑ sin ϕ,
¡%¡%®³â©°E±
z = r cos ϑ
cos ϑ cos ϕ
~eϑ = cos ϑ sin ϕ ,
sin ϑ
fr = 1, fϑ = r, fϕ = r sin ϑ
¡%¢}°EM¯ª»#¤D³¥Ó¯ª»²#¡%¢²l¬¬
B®¡ 1º
¡%¥
¤#¯ª©¡´-§§»#¢
¡% ¡%¢²'»#³
sin ϑ cos ϕ
~er = sin ϑ sin ϕ ,
cos ϑ
©#¡%¢
µ
∂~r
∂ui
'»#³²'®¡§¦ ± ®ÍÉ+
WËÞÊ-àÍÉ
µ
µ
æZ
®¡ª#¡%D¦-¬»#¢ Ƕ
BÍÏ Ñ /ÏÞÍ J«+» ¡%¬¥v¦
¦-'¢l©¡%¢
r, ϑ, ϕ
µ
µ
3
°E#®¡%3¢â»#^¡%¢D¡
¡%l©¦-1¢@¥l©¡ª§®§³D¡%¢}«¦
¦-'¢l©¡%¢²®§©M#¡çD¢#®¡%©+l¬®§
~eui =
F H
Z|ÛxryGy
>>¿G||d~r~Ö|~rÒx_y|<1~ ~ÖZ|x|
+¡%FB¾¡%¡%¢â© l¬®¦ ´_¤#l¬¬
KOf FZKX XFH
j
φ(~r)
S_?^?+U-Y6F HMCMADK1H
B®¡ª§¡% @
q>qpÞqp
¸?e?+UlY6FHMCEADKBH6[^N
XZ?6SrCÂXZK1H
HY
− sin ϕ
~eϕ = cos ϕ
0
±
¡%¢D¡%¢¿«¦
¦-'¢l©¡%¢
ui
±'¡
¡%¢
µ
B¬®¡%®³â»#¢
µ
æ ðð ± ð ÇJ®§©
1 X ∂xj ∂ (∗) 1 ∂
1 ∂~r ~
·∇=
=
.
fui ∂ui
f ui
∂ui ∂xj
fui ∂ui
j
#©1§®³²l»D§#¡%M«Â¡%©©¡%¢#¡
µ
¡%¬
Á
#¡%¢#¢²¡ª§
µ
©
X ∂f ∂xj
∂
f (x1 (u1 , u2 , u3 ), x2 (u1 , u2 , u3 ), x3 (u1 , u2 , u3 )) =
∂ui
∂xj ∂ui
j
©
´_¤#M»#¢D§¡%M¦- #
µ
G
¡ª§ J¡%®§
~ =
∇
®¡%¬> ¡ª#¡%»#©¡%©1'®¡ª§
3
X
~eu
i=1
i
f ui
∂
∂ui
~ = ~er ∂ + 1 ~eϑ ∂ + 1 ~eϕ ∂
∇
∂r r ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ
Å
æ ðð ±ÆÅvÇ
é
W/W!#®M
>s
q>qp ×4p
•
•
-
µ
svuw
φ
O*0ÈW!®0D0Ó
~
A
~
A
~ = P3 ~eui
φ(u1 , u2 , u3 ) = ∇φ
i=1 fu
¦-©
©
º
~ 1 , u2 , u3 ) = ∇
~ ×A
~
A(u
ðð ± ð ±
~ = P3 ~eu Au (u1 , u2 , u3 ) ±#¡
A
i
i
i=1
X ~euj ∂ui
~eu
~ i=
∇u
= i
fuj ∂uj
f ui
j
|{z}
¡%¢
µ
=δij
¥ -¢#¢D¡%¢}°E
~eui
¦-©
'»#³
~ i )fu
(∇u
i
~
A
=
]J')B7%Wïî"'Þë ë
=
X ~eu
i,j
'®¡3è¦-©l©®¦-¢@¨v¦-¢
i
f ui
~
A
×
¡%§¡%©¯¡%¢@»#¢Dt¡%l¬©¡%¢
~ ×
∇
£Z¤#Â#¡%¢
µ
3
X
i=1
4¡%°J¡%¢D#¡%¢ °EB¬®¡%®³»#¢
¥
¢#¢D¡%¢}°EE°O¡ µ ¡%¢
3
X
i=1
~ i )fu Au
(∇u
i
i
!
~ ×∇
~ u )f A − (∇u
~ i ) × ∇(f
~ u Au )
(∇
i
i
| {z } i ui ui
=0 !
B-'®¡%¢â©¡%¢»#¢DÒ'®¡:è¡%¬ l©®¦-¢
OB¡%©¡% º
l»D³@¢
~=
A
é
³#¡% â°O¡%®§¡: #¢
1
f u1 f u2 f u3
fu ~eu
1 1
∂
∂u1
f u1 A u1
fu2 ~eu2
∂
∂u2
f u2 A u2
µ
'¨
·¿l¢
'»#¢
fu3 ~eu3 ∂
∂u3 f u3 A u3 º
µ
¬©M£¤#
~ 1 ) × (∇u
~ 2 )fu fu
~eu3 = ~eu1 × ~eu2 = (∇u
2
1
~ ×∇
~ =0
∇
n
~ 2 ) × (∇u
~ 3 )fu fu Au
~ = ∇
~ · (∇u
~ 1 ) × (∇u
~ 2 )fu fu Au + (∇u
A
1
3
2
3
2
1
o
~ 3 ) × (∇u
~ 1 )fu fu Au
+(∇u
2
1
3
~ 2 ) × (∇u
~ 3 )) · ∇(f
~ u fu Au )
~ 1 ) × (∇u
~ 2 )) · ∇(f
~ u fu Au ) + ((∇u
=
((∇u
1
3
2
3
2
1
~ 3 ) × (∇u
~ 1 )) · ∇(f
~ u fu Au )
+((∇u
2
1
3
4¡%©l»D§³â»#¢
¡-³â©¡È'®¡¯ â¥
¬®§³D¡
N
#¡%^¡%¢#¯¡%¬¢D¡%¢
µ
â»
~=
A
1
f u1 f u2 f u3
&J B»#³
º:º l¢D#¡%¢
»#¢D
#¡% Ö¦â'»#¥
©¡ ¡%¬
~ · (~a × ~b) = (∇
~ ×~a) · ~b − (∇
~ × ~b) ·~a
∇
µ
µ
§®³²#¡%Ã1»D§'»D³¥±DÕ4§¡%©¯¡%¢@°EM°E®¡ª#¡%
§¦:¡%l¬©¡%¢²°E
∇ui Á
'¨
§¦
¡%¢>¶
~ 1 , u2 , u3 ) = ∇
~ ·A
~ º © A
~ = P3 ~eu Au (u1 , u2 , u3 ) ±´_¤#¡%¢²è1¡ª³â©§§:'§©¡
A(u
i
i
¡%¯
¥
¬®§³D¡%4¡%©l»D§³»#i=1
¢
µ
~eu1 , ~eu2 , ~eu3
©
Á
i,j
¢l¢â©¡%¢
'¨
»#¢D²D º
æ§±¦#± Ç
~ i = ~eu fu−1
∇u
i
i
X
~euj ∂
εijk
∂
(fui Aui ) =
~euk fuk
(fui Aui )
fuj ∂uj
f u1 f u2 f u3
∂uj
¦-©
•
∂φ §®¡%D¡ÂÃ1 D§³#¢#©©
∂ui Á
i
~ × ∇)
~ =0
(∇
'®¡Ã1¢°J¡%¢
¨v¡%¡%¢'£a-³©¡
∂
∂
∂
(fu1 fu2 Au3 ) +
(fu2 fu3 Au1 ) +
(fu fu Au )
∂u3
∂u1
∂u2 3 1 2
Å ñ
é
W/W!#®M
>s
q>qp4p
'¨
O*0ÈW!®0D0Ó
φ
&( (
&
-
:(
~ ∇φ
~ = ∆φ °E:l¬®§ váÍ -#Íà ËÞÊ-à+ ¡%¯¡%®³#¢D¡%© Á ∆ = ∂ 22 + ∂ 22 + ∂ 22 ±
φ(u1 , u2 , u3 ) = ∇·
µ
∂x1
∂x2
∂x3
¢ Ã1 D§³#¢#©© ðð ±ÆÅEl ¡%¢3°Er'®¡ 1¨v¡% ¡%¢#¯ #¡ª§ 4¡%¥
©¦- ¦-©¡%¢© l¬®§
3
¢^l¬¬ ¡ º ¡%¢D¡%¢e«1¦â¦-'¢l©¡%¢
~
A
µ
µ
P ~eui ∂φ
¡ª§© º:º ©±/´r¤#1#¡%¢²´l¬¬
1 ∂φ #¡%¢
~ = µ - φ ¡%l¬©¡%¢}°E º © µ - φ =
A
i fui ∂ui =⇒ Ai = fui ∂ui
¬ -³ª¡ (
¡%l©¦-1¢²l¬¬ ¡ º ¡%¢D¡%¢¿«¦
¦-'¢l©¡%¢>¶
é
µ
I
9 ∆φ =
'¨
µ
-
φ(u1 , u2 , u3 ) =
$ $ B®¡ â¥-l¬®¡%¢'£Þl¥â©¦-¡%¢}§¢D
µ
-
¦-©
'¨
φ(r, ϑ, ϕ) =
~ ϑ, ϕ) =
A(r,
~ ϑ, ϕ) =
A(r,
∆φ(r, ϑ, ϕ) =
=
BÍÍà "!âÉâÐK3e«+»
∂
fu1 fu2 ∂φ
fu2 fu3 ∂φ
1
∂
+
fu1 fu2 fu3 ∂u3
fu ∂u3
∂u1
fu1 ∂u1
3
∂
fu3 fu1 ∂φ
+
∂u2
fu2 ∂u2
&%
"
$ 0
fr = 1, fϑ = r, fϕ = r sin ϑ
±
1
∂φ
∂φ 1 ∂φ
+ ~eϑ
+
~eϕ
~er
∂r
r ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ
∂
∂
∂
∂
~er
(r sin ϑ Aϕ ) −
(r Aϑ ) + r ~eϑ
Ar − (r sin ϑ Aϕ )
∂ϑ
∂ϕ
∂ϕ
∂r
∂
∂
+r sin ϑ ~eϕ
(r Aϑ ) −
Ar
∂r
∂ϑ
1
∂
∂
∂ 2
(r sin ϑ Ar ) +
(r sin ϑ Aϑ ) +
(r Aϕ )
r 2 sin ϑ ∂r
∂ϑ
∂ϕ
2
∂
1
1
∂
∂
1 ∂ 1 ∂
+
+
∂r 2 r ∂ϑ r ∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ r sin ϑ ∂ϕ
2 ∂
cotϑ 1 ∂
+
φ(r, ϑ, ϕ)
+
r ∂r
r r ∂ϑ
2
2
∂
2 ∂
∂
∂
∂2
1
1
+
+ cot ϑ
φ(r, ϑ, ϕ)
+
+
∂r 2 r ∂r r 2 ∂ϑ2
∂ϑ sin2 ϑ ∂ϕ2
ON
¡%¬¥v¦â¦-'¢l©¡%¢ §¢D£¤#@'®¡
¡%l¢D'¬»#¢
£»#¢DD º ¡%¢©l¬®¡% 4¦- #¬®¡ º ¡ ¡ª§¦-¢D#¡%§
µ
µ
°E®³â© ±WÕ4¢D¡4¡% ¡%¢D§¦ °E®³© ¡Jè¦-¬¬®¡Ö§ ®¡%¬®¡%¢eÝ â¬¢D#¡%¥v¦
¦-'¢l©¡%¢ £Z¤#'®¡ l#¢#¬®³D¡T´D¦- º ¡%¬¢
¡%¬©¡%¢>±
µ
µ
Á
µ
À¡ º
£a¡%#¬®¡%¢ £¤#Ó¡%¢D¡%¢§®³D¡%¡%¢ º
l¢
À
©
#
%
¡
¢
D
¢
%
¡
D
»
%
¡
¢
J
¡
¾
%
¡
¢
¦
#
¡
%
¡
ª
¯
®
%
¡
â
#
»
¢
%
¡
¢Ô£Z¤#
º
µ
µ
µ
Á
µ
µ
Ý ¬¢D#¡%¥v¦â¦-'¢l©¡%¢¿§¡%¬ D§©E¯ª»t ¡%¡ª³#¢D¡%¢>±
ÅÄ
O
© Copyright 2026 ExpyDoc