!"#%$&' ( %)*+&# ,-$/.10324% ( %) *651%7, 8:9<;>=@?BADCEAFG?6HJILKFHMKONQPRK1STAD?+U7VWK1XZYKONT[]\^AD?6S_K`aNbEcMK1Ud\eCEADfB[ KUlK`aNbMcMKONnmdKONKTADf gihkj o4paqrptsvuw ~ = ~0 E x_y{z}|~e|4{ >Dz:{Zr_3rxzt>y>'{z-y<Z| y{>'~>z7x- El ¡%¢t£¤#M¡%¢@¥v¦-¢D§¡%¨l©¨v¡ª§«+W£©£a¡%¬® ~ = −µ E ~ = −µ E º © - ~ = ∇ ϕ D¡%¹© - ϕ(~r) ⇐⇒ I #¯ª°±'£¤#M¡%¢²¡%¬®¡%¥ ©®§³D¡ª§1´D¡%¬® ~ r) = 0 d~r · E(~ - (F~ (~r) = −µ ~ =− E F~ (~r) V (~r) £¤#l¬¬®¡ µ ¡ª§³#¬®¦§§¡%¢D¡%¢@¡ ¢²#¡%M·¸¡ª³l¢#¥ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ~e1 + ~e2 + ~e3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ~ r) E(~ µ µ ¡%¯¡% µ ©¶ ¡ ) ~ = ∇ϕ ∂ ∂x1 ∂ ¢}#¡%«¦ ¦-'¢l©¡%¢DDl§©¡%¬¬»#¢ ±/¼M #¬®#¡%¢]½¡%©¯ª© µ ∂x2 ∂ ∂x3 ~ ×∇ ~¶ ∇ ~e1 ~e2 ~e3 ∂ ∂ ∂ ~ ×∇ ~ = ∇ ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂ ∂ ∂ ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 = ~e1 − +~e2 − +~e3 − ∂x2 ∂x3 ∂x3 ∂x2 ∂x3 ∂x1 ∂x1 ∂x3 ∂x1 ∂x2 ∂x2 ∂x1 | | | {z } {z } {z } =0 =0 ´_¤#¡%¢D¡@¯ª°J¡% º l ¬B§©¡%© '¾¡%¡%¢#¯ª®¡% l¡¿´#»#¢#¥ ©®¦-¢ ¬©Àl¬®§¦ ~ × ∇ µ µ ±>±D¦-© - §®¡%D¡Â#®¡%¯ª»¸l»D³}Ã1 D§³#¢#©©BÄ'±ÆÅr£Ç±' ~ = ~0 Á µ = ~0 Á ∇ ±>±¦-© ¡%l¬©¡%¢ ~ × ∇)ϕ ~ ~ ~ ~ := ∇ ~ ×E ~ = = ~0 Á ∇ × (−∇ϕ) = −(∇ E | {z } ~ E ~0 ®§©È¡%¢iÉÊËÌOÍÉ/Î-ÏÐÍÑÒ«+©¡%» º ÕÖ¬®¡%¥ ©¦§©l©¥± o4p®×TpØ Ý/®¡%¬Þ¶#¦-© £Z¤#ÓD-§È¡%¬®¡%¥ ©®§³D¡}´D¡%¬®¼¢Ô#¡% =0 (c) ∆x2 (d) (b) (a) ∆x1 ^ÙÖ~4_ÚzlÛÙÖxÜ ~ E l¬®§+ßÏZÉDàÍ%Ïáß#ÍÉ/ÎÍÑe«+©¡%» º ã#ä7å ¼ ¡%©-³©¡%¢^¡%¢ÀæZ¢'çD¢#©¡ª§ º I êëìíªîÞëì ï ~ r) = d~r · E(~ £¤#M§©l©®§³D¡ª§1¡%¬®¡%¥â©®§³D¡ª§´¡%¬®± l¬®¡ª§Çè1¡ª³â©¡ª³¥Â¢#¡% Z x1 +∆x1 x1 + + + Z 1é 2 ÕÖ ¡%¢D¡æ§±ªÃ1 # #¬®'»#¢ dx01 E1 (x01 , x2 , x3 ) x2 +∆x2 Zx2x1 1 Zx1x+∆x 2 x2 +∆x2 dx02 E2 (x1 + ∆x1 , x02 , x3 ) µ Ç»#¢D ¡%¡ª³#¢D¡%¢ (a) (b) dx01 E1 (x01 , x2 + ∆x2 , x3 ) (c) dx02 E2 (x1 , x02 , x3 ) . (d) ð7ñ !"#%$&' ( %)*+&# ,-$/.10324% ( %) *651%7, £a-§§¡%¢ (a) ¡%¢© l¬¡ª³#¢»#¢ I µ £¤# »#¢D ¡%]ââ°O¡%¢D'»#¢ ¯ª»D§ Z x1 +∆x1 x1 ∂E1 0 (x , x̄2 , x3 ) dx01 ∆x2 ∂x2 1 ¢©¡ µ #¡ª§Ò·}©©¡%¬°O¡%©§l©¯¡ª§ µ ¡%¢@»#¢D@¡%l¬©¡%¢ #¡% + Z l¬¡ª³#¢â»#¢ ©M#¡ º º:º º (c) Á (b) (d) x̄1 ∈ (x1 , x1 + ∆x1 ), x̄2 ∈ (x2 , x2 + ∆x2 ) ~ r) = − d~r · E(~ êëìíªîÞëì ï »#¢D ·²©©¡%¬°J¡%©§l©¯^#¡% B¾¡ x2 +∆x2 dx02 ∆x1 x2 µ ¡% µ #©§®³ ∂E2 (x̄1 , x02 , x3 ) . ∂x1 £¤# ¯1 ∈ (x1 , x1 + x̄ ∆x1 ), x̄¯2 ∈ (x2 , x2 + ∆x2 ) I ~ r ) = − ∂E1 (x¯1 , x̄2 , x3 )∆x2 ∆x1 + ∂E2 (x̄1 , x¯2 , x3 )∆x1 ∆x2 . d~r · E(~ ∂x2 ∂x1 êëìíîÞëì ï Ã1»'£ »#¢D µ â©¡%© µ ¥v¡%©e#¡%eà #¬®¡%©»#¢ µ ¡%¢ ¥ -¢#¢D¡%¢ '®¡B¾¡%¡%¢â© l¬®¡^l¬®§'©©¡3«¦ º −→ 0 #¡% ∆x1 , ∆x2 B¬®¡%®³â»#¢ °E^¢ '± ð º µ ¦-¢D¡%¢©¡6#¡%è¦-©l©®¦-¢²¨v¦-¢ °E¡%l¬©¡%¢ I ~ r) = d~r · E(~ êëìíîÞëì ï ±>±D¡ª§ µ ∂E1 ∂E2 − + ∂x2 ∂x1 ∆x1 ∆x2 = ( ¦-© é æ '± ð Ç B¡%¢#¯ª¤# ¡% µ £Z¤# µ ®#¡%¢©çD¯ª®¡%¡%¢¿»#¢D ~ E l¢ ~ 3 ∆x1 ∆x2 , E) ¬© H êëìíîÞëì ï lim +¡ª¦ ∆x1 ,∆x2 →0 ~ r) d~r · E(~ ∆x1 ∆x2 =( ¦-© ~ 3 E) l¬®§M´_¬ -³D¡ º ©´_¬ -³D¡%¢¨v¡%¥ ©¦- ¢â©¡% ¡%©®¡%¡%¢>± º ¡%©®§³²¥ -¢#¢D¡%¢@°E ∆x1 ∆x2 ∆x1 ∆x2 ~e3 ¡%D¡%¢]½¡%©¯ª©M¨v¦ º B º ¡%¢D§®¦-¢l¬®¡%¢¸¯ª» º B º ¡%¢D§®¦-¢l¬®¡%¢¸¤# ¡%± J¡%r¡%¢© µ é 2é 3é § ¡ª³D¡%¢D#¡%¯ ¥â¬®§³D¡% 4¡%©l»D§³»#¢ æ ð Å Å /ð Ç ¡%l¬©¡%¢}°E1l¢l¬®¦ ................................. ....... ...... ~ µ ⇒ ⇒ µ ..... ........v .... ...... '®¡¡%§©¡+»#¢D@¯ª°O¡%©¡3«1¦ º ¦-¢D¡%¢â©¡¨v¦-¢@¦-© ± ... . ... .. ... ~ . . E BÍÍà "!âÉâÐ$#%&! ')(*ÍÉ,+-EÊË.(vËÏÊ-É0/2143]d ¡%©-³â©¡%¢ '®¡ «+¡%®§§©5 ¥v¦-¢D§©l¢â©±6+ ¡%ûD§'»D³¥ ~v (~r) = ω ~ × ~r Á ω ~ A ¡% ¡%¢#¡ª³#¢â»#¢ µ ¶ 1 1~ ∇ × ~v (~r) 2 = ω 7.=8:9<;>=@? = 1~ ∇ × (~ω × ~r) 2 1 ~ ~ ~r) (~ω ∇ · ~r − ω ~ ·∇ 2 1 (~ω 3 − ω ~ 1) = ω ~ 2 B JKB®¡L4¡%¥â©¦-l¬ µ ∂ ∂ ∂ ∂x1 , ∂x2 , ∂x3 º »#¢ µ x1 x2 = 3 Á x3 ∂ 1 ∂x∂ 1 0 ∂x2 (x1 , x2 , x3 ) = ∂ 0 æ·¸∂x l©3¯¡%¢ º »#¬© ¬¥-l©®¦-¢/Ç ¡ª§³#¡% #©3'®¡è¦-©l©®¦-¢#¡ª§Â ¡%¬®§7± 4¦-§®³â©3 ¡%4#¡%ââ°O¡%¢D'»#¢ ω ~ ⊗ r .. .. ... .. ... .... . ... ... .. ... ... .... .. . ... . ... ... .... .... ... ... ... .... ..... ...... ...... ....... .................................. 0 0 1 0 0 1 &C #¡ª§ B-§§ º l¢#¢ §³D¡%¢ Õ֢⩠µ é ¡% #®§©4§¦+¯ª»]¨v¡%°J¡%¢D#¡%¢ Dl¹3#¡% 1¾¡%¡%¢ µ µ Á é © l¬®¦ ¡%l©¦- º:º ¡%¨v¦-3#¡ º ¯ » '¾¡%¡%¢#¯ª®¡%¡%¢D#¡%¢RûD§'»D³¥¸¯ª» §©¡%D¡%¢¥v¦ º:º ©Èæal¢D#¡%¡%¢'£al¬¬®§ ª ~ ∇ » ¹ º l¢²'®¡ B¾¡%¡%¢â© l©®¦-¢}'»#³ £a¡%¬®¡ #¡%»#©¬®³ º -³D¡%¢/DZ º # °E®³¥ ¬»#¢ >D@ ÃFE EJÃGIH §§l©¯¡ª§Bæ ) è¡ ¡%¬GÇ ON y ð Ä M !"#%$&' ( %)*+&# ,-$/.10324% ( %) *651%7, ã äWå H ¡%°O¡%®§ Èæ 4¦-¬¬®§© l¢D' æZGÇ H µ ¡% ~ r) = d~r · E(~ $& %') (!ë+"a*ë#Wë ë aì í D@ I L Z , .-ìílë!/0(1!# *2%034'65#87Wë î ¡%°O¡%®§M¢}#¡% 4¡%¥â©¦-l¢l¬ '§®§ ~ ~ r ) = dA ~ · ¦-© E d~r · E(~ B¡%®¡ª³¥v¡7Ç ¢©¡ µ ¡% ~· dA Á ¦-© ~ E J £a¦-#¡%©M¨ ®¡%¬ 4¦-l ¡%© DZ l©®¦-¢Ó¤# ¡%T ¡%¬®¡% # ¡ µ Á ¢'çD¢#©¡ª§ º l¬®¡ Á : ¡% ¡%¢D¡´_¬ -³D¡%¢ÒæZ¯v± +± ¡%©-³©¡%¢t°EEl¬®§¦^¡%¢À°E¢D#§³#®¡£¡ª§ B¡%®¡ª³¥À#¡%J´_¬ -³D¡ :9 D ∆A º è l» º ± ÂÓ§®³Ò ¡%4#¡% â» º:º l©®¦-¢ '®¡ Þ¢#¢D¡%¡%¢ >¢#®¡%¢ B é ¢â©¡ l¬®¡ eD¡%l»D§D¡% ¡%¢ ¥ -¢#¢D¡%¢¸°E+D-§ ¢#®¡%¢#¢©¡ l¬Ö¤# ¡% µ Á µ #¡%¢ B¡%®¡ª³¥'§l¢D Dl§©¡%¬¬®¡%¢il¬®§t'¡% ¢#®¡%¢#¢â©¡ l¬®¡ C µ Ci ¤# ¡%Ö½¡¡%¢D¡ B¡%®¡ª³¥ §§¡%©¡3#¡%´_¬ -³D¡ »#¢D²¯ª°O¡%r¯ª» ¡% - Ai µ é ¡Â«1¦â¦-'¢l©¡%¢-³D§¡%¢l D§³#¢#©©¡¶ H ;9 <9 6 µ I C ~ r) = d~r · E(~ 3 I X Ci i=1 ~ r) = d~r · E(~ æZGÇÀ¡%¢D#¡%¢t°E »#¢D§J¢»#¢t¡%¢D¡%E ¡%¬®¡% # Ã1¬¬ µ D-§§ ¡ º C 3 X i=1 ~ i (∆A)i = (rot E) ~ · ∆A ~ (rot E) >= ¡%¢ ¡ª§³#¬®¦§§¡%¢D¡%¢@«+»#¨v¡ ¯ª» ¡%¢D¡+§¦-¬®³D¡Â«+»#¨v¡B®§©J º µ µ C ¡%¢D¡%¢Ò¢#®³â©3¡% ¡%¢>±·¿l¢¸¥-l¢#¢Ò§®¡:l ¡%1¢À½¡ª#¡ º ´/l¬¬ º ©Â¡%¢D¡%´_¬ -³D¡]l»D§£Z¤#¬¬®¡%¢ §¦ Á '®¡1èBl¢D'¥â»#¨v¡B'®¡ª§¡% ´_¬ -³D¡B®§©± ¡%¬© º l¢È¢â»#¢t'®¡1´_¬ -³D¡1¢À¥â¬®¡%¢D¡B´_¬ -³D¡ª§©¤D³¥v¡ ?@ A æZ¢:#¡%Öè¡ D6@ l¢ H N »#¬®¡%»#¢ Ç4l»'£ §¦1°E6'®¡ è1l¢D'¥ »#¨v¡J'»#³]¡%¢D¡%¢ r¦-¬ ¦-¢ µ µ Á µ é ¯ª» ¦ º ®¡%©±·¸l¢Ò¥l¢#¢ÒDlD¡%°E®¡^ º ¦-# ¡%¢´/l¬¬4D-§ ¢â©¡ l¬Ö¤# ¡%Â'®¡:è1l¢D'¥ »#¨v¡ µ µ µ l¬®§ â» º:º ¡6¨v¦-¢ ¢©¡ l¬®¡%¢¤# ¡%Â'®¡ J¡%l¢D'»#¢ #¡%+¥ ¬®¡%¢D¡%¢´_¬ -³D¡%¢D§©¤D³¥v¡]§³#¡% ¡%¢ '®¡ µ µ â» : ¢©¡ l¬®¡ ®§©E°E®¡ª#¡%» º ¬®¡%®³ 1»#¬¬Þ¶ º º ¡^#¡% Þ¢#¢D¡%¡%¢ µ µ BA µ ¡%¬ B¡%®¡ª³¥v¡¶ C D O H I C OA ~ r) = d~r · E(~ XI Ck ~ r) d~r · E(~ >= CED 5 3GF îH75JILK'NMëO77ëQPë F ëEP0F ëQ$&%')(%ë>* F îO/13R%0"J75TS_ëPF ë îO/!F #477ë3U7F ë$&%')(%ëT.FÆë îO/%ëF #IV5ìí4W%)53G3Eë#Wí8-# ëE#87 a ëF # /8705ílëFYXîO/MëO77ë ëaìí0 "aë#lë+$&%')(ëZ3[%""FÆì í\WE%+ëF #lë3^]_%#lïªî>W%0)53G3Eë#0WEF ëílë#.5"aë#` ð k !"#%$&' ( %)*+&# ,-$/.10324% ( %) *651%7, ¡%© æZGÇ º ⩦-¥v¡ª§7¶ I C ~ r ) = lim d~r · E(~ n→∞ l¬®§¦:¥â»#¯ °J¦- ¡% ¦-© l¬r¥â¬®¡%¢D¡%¢@´_¬ -³D¡%¢D§©¤D³¥v¡%¢¸¤# ¡% n I X Ck k=1 n X ~ r ) = lim d~r · E(~ n→∞ I k=1 Z ~ r) = d~r · E(~ ¡ª#¡%»#©¡%© C = ∂A H C Á ~ = 0 '¡%¥ © ~ r) = 0 Á E d~ r · E(~ C - l¬®§¦ ~ · (rot E) ~ dA φ ⇐⇒ ¬©M¢²¡%¢'£Þ-³²¯ª»D§ º:º µ I C O'l©¯¨v¦-¢ §¦:¡% l¬© º Á ~ · (∆A) ~ k= (rot E) C=∂A A D-§§ '®¡3èBl¢D'¥â»#¨v¡^#¡%1´_¬ -³D¡ E = −µ o4pTpØ l¢@¢â»#¢@¯ª»t¢'çD¢#©¡ª§ º A Z l¢²#¡%¢ A ~ · (rot E) ~ , dA ¦-© ~ r ) = 0 ⇐⇒ d~r · E(~ ®§©±  º ©1¡% l¬© º l¢¸l»D§ ¡%¢D#¡%¢ ¡% #®¡%©¡%¢ µ ¡%¢# l¢ ~ =0 E xzÈrÚz-3DzWDÜ A+-³#¡%TÕ4¢'£Z¤##»#¢ µ ¢#¡%TÕZA ¡% º ¡%¢â©l¬ '§¥:°O¡%#¡%¢È°ET'®¡ª§¡ª§+@ D¡ º ^l»D§£¤##¬®³D¡%T ¡%l¢ é #¡%¬¢>± ûD§J#¡%JÕ&A ¡% º ¡%¢©l¬ K §¥ 4¦-¬®¡ª§»#¢ ®§©O ¡%¡%©§ '®¡ B¬®¡%®³â»#¢ ¡%¥l¢#¢© '®¡1'®¡G¢â©¡ é µ µ Á ©®¦-¢R#¡ª§^·¿ ¢D¡%©£¡%¬®#§^¤# ¡%e¡%¢D¡ ¡ª§³#¬®¦§§¡%¢D¡È«+»#¨v¡ ¢ ¡%¯ª®¡%»#¢ §¡%©¯ª© º ©^#¡ º ⩦ º µ »#¹ é µ µ µ C '»#³¸'®¡Â'»#³¸'®¡«+»#¨v¡Â ¡%l¢D#¡%©¡´_¬ ³D¡ A ¶ 'l©¯]¨v¦-¢ ⩦-¥v¡ª§3¡% µ ·}©#¡ º ´_¬ -³D¡%¢ ~ A B®¡ª§¡ª§EÕÖ µ '®¡Ã1»D§§ µ I )î C ~ = µ0 I î d~r · B H #©§®³ ¡ ¡% #¢#®§1¡% l¬© º l¢²l»D³ ( ¦-© °J¡%¢#¢ Á l¬©¶ C º ~ i = lim B) A ~ = d~r · B ¦-© Z = µ0 R ~ · ~j . dA ~ · (¦-© B) ~ Á »#¢DDlD¡% A dA µ ¬©£Z¤# ¡%¬®¡% # µ ¡ ~ = µ0~j . B l¢@§®³²'®¡ H +¡çD¢#©®¦-¢@¨v¦-¢ r Ci =∂(∆Ai ) d~ ~ ·B ~ = ∇×B ~ rot B ¨v¦-MÃ1» µ ¡%¢ ~ = µ0 (j)i ∆Ai →0 ∆Ai  º ©È§©¡%¬¬©À§®³¼¦-© ~ = µ0~j µ l¢#¯ l#¢#¬®³DlÈ°E®¡²'®¡ 1»D¡%¬¬®¡%¢ µ ¬®¡%®³»#¢ µ £Z¤#'®¡ B¨v¡% µ ¡%¢#¯ B #¡ª§Â¡%¬®¡%¥ ©®§³D¡%¢´D¡%¬®#§ ¢ º ¬®³ '¨ ~ = ρ(~r) ±>Ý/»D#¡ º µ ¬©+¢#¡%+Õ4¬®¡%¥â©¦§©l©¥¸¦-© E ~ = 0 ± +¡ º E Á ε0 ¡%¢©§ ®³©B¢@#¡%·¿ ¢D¡%©¦§©l©¥t'¨ ¢ 1»D¡%¬¬®¡%¢>± ~ = 0 Á ±>±D¡ª§ µ #©M¥v¡%¢D¡ º µ ¢D¡%©®§³D¡% µ B Ã1»D§ ¥v¦-¢#¢â©¡%¢]°EÖ¬®¡%®³â© ¡%¡ª³#¢D¡%¢ v'®¡ª§Ö®§©r£¤#Ö#¡%¢]´l¬¬ ¢#®³â©T§¦B¬®¡%®³â© º ¬® ³ >¶ ~ r) ~ ~j − B E(~ ρ(~r) µ Õ֢⩰O¡ª#¡% º l¢@° l#¬©#¡%¢@¡ #¡% 4¦-¬®¡ª§»#¢ ¤# ¡%M'®¡ ¦-¡%¢©¯ª©l¢D§£a¦- º l©®¦-¢RæZ° -§§®³D¡%M¢#®³â© µ µ #¡%e#®§©¦-®§³D¡% ¢ B¡%¬®¡%©»#¢ ¡%¢©§ ®³©Ç ¦ #¡% º l¢ £¤##©6l¬®§6Ã1¢D§l©¯ÀD-§ 4¡%¥ ©¦- ¦-©¡%¢â© l¬ ~ r) µ Á A(~ ¡%¢ £¤#MD-§ ¡%¬©¡%¢ º »#¹D¶ Á µ ± Ö /ÇE°O¡%#¡%¢¸°EM¬®¡%©¯ª©¡%¡%¢²¡ µ 9 § D-§ Á ¡% ¡%¢>¶D´_¤#¡%¢ EÏaÊË B( "(-à%Ë 9>¡%©¡%§©¤D³¥ ~ = dB Ѫáß'ÍÍÑÍ%Ë Á ¡ª§³#¡%©¡%¢>± 1®¡ µ °O¦-¬¬®¡%¢ Á '»#³¸D-§M#¡% µ0 d~l × ~r I 4π r3 ⩦ °EM½¡ª#¦ ³ º I ®¡%¹© 9& §»#¢ ÁDµ §³D¦-¢ µ ¬©¶ I dl r Å B ~ = rot A ~ B ¢²Ã D§³#¢#©© ð '®¡ª§¡ª§Ö N ¦- #¬®¡ º #®¡%1l¢ >= O Bl##,@vW®%)* %"v/ T5Mr( %) 9<F KUBKBHMfkFH *+&# , TW/W!D® S_CMU7ADKJNrFGNbEcMKBH¿?^?+U-Y6F HCEADK1Hm C !Â`NbEcMK1UR\eCMADf" PdKBS4AD?+UlCHMCÂX$#JNrFGN q&%TpÞqpØ ' >|Ü 1¨v¡% µ El ¡%¢²'®¡ ¡%¢#¯3¨v¦-¢ ~ E l¬®§ 1 »D¡%¬¬®§© l¥v¡#¡çD¢#®¡%©¶ '¨ ®¡Â¦- ¡%¢@ ¡ª#¡%»#©¡%© A = ∂V ~ = lim E Á D-§§M'®¡)(1 ¡% R ~·E ~ dA V A=∂V V →0 -³D¡ A D-§ 4¦-¬» º ¡%¢ V ¡%l¢D#¡%©±+* (x1 + ∆x1 , x2 + ∆x2 , x3 + ∆x3 ) x3 x2 (x1 + ∆x1 , x2 + ∆x2 , x3 ) x1 (x1 , x2 , x3 ) (x1 + ∆x1 , x2 , x3 ) 1¨v¡% µ ¡%¢#¯]'¨ E~ l#¢#¬®³Ò°E®¡e¦-© B~ = ∇ ~ ×B ~ '»#³Ã1 #¬®¡%©»#¢ µ ¡%¢ l»D§'¤D³¥v¡%¢ Á l ¥ © ® § ³ D % ¡ J ° % ¡ ® § Ó ¡ % ¡ D ¢ % ¡ ¢ 1 » # % ¡ t æ § ± ¦ # È ¡ à # #¬®'»#¢ Ç º ©3¢'çD¢#©¡ª§ º l¬®¡ º µ µ R 4¦-¬» º ¡%¢Ô»#¢D ¡%¡ª³#¢D¡%¢ ¤# ¡%È'®¡ 1»-#¡%¦- ¡% ³D¡±G+ ¡ ¡%¢â¤# ¡%¬®¡ ¡%¢D#¡ ¡%©¡%¢ ~ ~ µ µ dA · E(~r) æZ#®¡%T¯ª»D¡%§©O'®¡G ¡%©¡%¢À¢] #¯ªA °± ll¬¬®¡%¬/¯ª»# ð Å ÕÖ ¡%¢D¡7Ç4¬®¡£¡%¢Ól»'£ »#¢DÈ#¡ª§T·}©©¡%¬°O¡%©§l©¯¡ª§ #¡% é é µ B¾¡%¡%¢â© l¬¡ª³#¢â»#¢ µ ¦-¬¬®¡%¢¿°EÂ'®¡ ¡%©-³©¡%¢R°EeDl¯ª» Z x1 +∆x1 x1 °O¦- ¡% ¢»#¢ x̄3 ¡% µ µ Z x1 +∆x1 B®¡ ¡%©¡%¢ -³D¡%¢ , '¨ x2 x1 +∆x1 #©Dl¢#¢t£¤#MD-§M¦- # ±D·}© x2 +∆x2 x1 x1 µ Z NÖ»#¢#¥â©O¯ª°E®§³D¡%¢ ¡%¢D¡%¢ Z l¢l¬®¦ dx01 #¡ª§ dx01 Z dx01 µ dx02 (−E3 (x01 , x02 , x3 ) + E3 (x01 , x02 , x3 + ∆x3 ) = Z »#¢D )x+3¦ ¡ x2 +∆x2 x2 x2 +∆x2 x2 dx02 x3 + ∆x3 ¡%¬¢©¡ l¬ µ ∂ E3 (x01 , x02 , x̄3 )∆x3 , ∂x3 M ¢©¡ µ Dl§©¡%¬¬©± +¡%O·}©©¡%¬°O¡%©§l©¯+#¡% l¬¡ª³ dx02 (−E3 (x01 , x02 , x3 ) + E3 (x01 , x02 , x3 + ∆x3 ) = ∂ E3 (x̄1 , x̄2 , x̄3 )∆x1 ∆x2 ∆x3 . ∂x3 1»-#¡%§Â¢¸ #¯ª°± ¡% l¬© º ll¬¬®¡%¬Ö¯ª»#ÂÅ l¢}l¬®§¦#¶ é é Õ4 ¡%¢D¡:§¦7°E®¡ é ð é ÕÖ ¡%¢D¡6 ¡%¡ª³#¢D¡%¢§®³ ∆x1 ∆x2 ∆x3 = ∆V R 3 E1 ~·E ~ X d A ∂ ∂ ∂ ∂ ~ ·E ~ ~ = lim A=∂V Ei (x1 , x2 , x3 ) = ( , ) E2 = ∇ E = V →0 V ∂xi ∂x1 ∂x2 ∂x3 i=1 E3 î .- Æì íªî Wë ë0/ î î ~ 1 ë Æì íWë21 43 aìí îaî ë 53 6- ë Þë87 aìílë _ë aëî ë D ÆF ërëE# ) ')F 7 E' D 0#0F )F !#\(1# (') í85Pë# ` B)i / >FY' F.3 P0 0#0F K0P 'Z75 3 E' Å ð S )W IL%0#07Wë# é Bl##,@vW®%)* %"v/ T5Mr( %) q&%Tp ×4p >Úzl3ÙÖxÜ 3x_ G ¡%©-³â©¡%¢}°EM¢â»#¢²¡%¢@¡%¢D'¬®³D¡ª§ 4¦-¬» º *+&# , TW/W!D® ¡%¢>¶ B®¡ª§¡ª§4¦-¬» º ¡%¢²¥l¢#¢ º l¢} ¦ A' º l©¨²l»D§E¥ ¬®¡%¢D¡%¢ 1»-#¡%¢²¯ª»D§ º:º Â-§^´r¬- ³D¡%¢#¢©¡ µ l¬J¤# ¡%^'®¡]è1l¢D -³D¡ A #¡ª§e ¦ A' º ®¡%©¡%¢ 4¦-¬» º ¢â»#¢Ql¬®§Oâ » º:º ¡Ò¤# ¡%@'®¡´_¬-³D¡%¢#¢â©¡ l¬®¡ #¡%²¥â¬®¡%¢D¡%¢ 1»-#¡% 4¦-¬» º ¢©¡ µ l©®¦-¢}¤# ¡%1'®¡+¢#¢D¡%¡%¢}´_¬- ³D¡%¢}°Eµ ®¡ª#¡%MD¡%l»D§£.l¬¬© Á ¡%l¬© º é l¢>¶ æZGÇ æZGÇ ¡%¢D§¡%©¯¡%¢>± ¡%¢D§^§³#¡% #© ¡%© Z æZGÇ A l¢@¢â»#¢²¯ª» º º B¡%¢#¯ª°J¡%© Z A=∂V ·}©'¨ ~ = E ~ · E(~ ~ r) = dA n Z X i=1 n −→ ∞ ~ · E(~ ~ r ) = lim dA n→∞ ρ(~r) ¡% l¬© ε0 º A=∂V '~x_|x_y zvz²Z ~ ∇ µ ¡% #¬®#¡%©¶ µ - '¨ ~ φ = ∇φ, ÕÖ ¡%¢D§¦ µ ¬©E¢²#¡%1·¸ µ º ©#¡ º @ Á L µ µ '¨ ~ ∆Vi E) 'l©¯Â¨v¦-¢ Âl»#¹D¶ #©§®³²#¡% ~ ∆Vi = E) ∆Ai Z V Âl»#¹6C §³D¡+¡ª§¡%©¯ Z d3 r V 3 |{z} d r ¦-© º ©4#¡ º ¦-© ~ =∇ ~ × E, ~ E +¡ª§¡%©¯ º l ¹ µ ~ E ρ(~r) . ε0 ¦-© '¨ dV y>'{Ü/{ /zây>r ¡%¢D#¡ ~ = ρ, E ε0 '¨ ( L i=1 ¡%¢#¯M»#¢D6'®¡Eè¦-©l©®¦-¢ ~ =∇ ~ · E, ~ E ~ = 0, B ¡%¢D#¡ rl ¡%¬¬®¡M¡%¢â© l¬©T¡%¢D¡Ý/»D§ : º º +l #¬ -¦ ¡%l©¦-± A ( µ n X ∆Vi ¥v¡%©¡%¢}¡%l¬©¡%¢>¶ ~ = 0, E ~ =0 B ~ = µ0~j, B ~ =0 E B¾¡%¡%¢© l¬®¦ ¡%l©¦- ~ =∇ ~ ×B ~ B ¢D¡%©¦§©l©¥¶ '¨ A+-³'£a¦-¬ µ '®¡ B¨v¡% ´_¤#'®¡ÂÕÖ¬®¡%¥ ©¦§©l©¥Ól ¡%¢²°EE£¦-¬ '¨ n Z X i=1 ¡% Á ~ · E(~ ~ r) = dA Mx__Ò| B-'®¡%¢â©¡%¢ _l ¡%¢: #®§D¡%4#¡%¢ ¤# ¡% l¢²Dl¢#¢@°E®¡ª#¡%1D-§ Z q&%Tp4p ∆Ai ~ · E(~ ~ r) ≈ dA ¢ º l¢ ± ÂR'®¡ ¦-© ¡%¢D§©¡%¬¬»#¢ ÅÅ µ #¡%4°E®³â© µ §©¡%¢Èè1¡ª³D¡%¢#¡ µ 1º ¡%¬¢ º µ l¢ µ Bl##,@vW®%)* %"v/ T5Mr( %) *+&# , TW/W!D® "!#%$&('*)+-,'.- ~ )%)+-243 57698 ∇ /10 : ;2 +<.'*)('*>=+-4? ~ ; ~ @+<A--@% ψ U V = % φB '8 ~ ~ +A ' ~ 2 φ = ∆φ = ∂ φ + ∂ φ + ∂ φ φ=∇ · ∇φ = / ∇ ∂x ∂y ∂z *-'- 8 ~ ~ φ=0 / ∇ × ∇φ = 8 ~ ~ ~ ' +A ~ ∂ V ∂ V / ∇(∇ · V ) = V = ~ex ∂∂xV + ∂x ∂y + ∂x ∂z 2 2 2 2 2 +~ey ;8 78 / 8 /ED F8 / 8 / E8 / 8 /HG 8 / / JI1 #»#¢ ·}©M¡%©°J-§ ∂ 2 Vx ∂x ∂y + ∂ 2 Vy ∂y 2 + ∂ 2 Vz ∂y ∂z + ~ez ~ · (∇ ~ × V~ ) = %AC- V ~ =0 ∇ ∂ 2 Vx ∂x ∂z 2 2 y x 2 2 2 z ∂ 2 Vy ∂y ∂z + + ∂ 2 Vz ∂z 2 ~ × (∇ ~ ×V ~ ) = -- V ~ = ∇( ~ ∇ ~ ·V ~)−∇ ~ 2 V~ = ' %A V ~ − ∆V ~ ∇ ~ · (φ V~ ) = φ(∇ ~ ·V ~ ) + V~ · (∇φ) ~ ∇ ~ × (φ V~ ) = φ(∇ ~ ×V ~ ) + V~ × (∇φ) ~ ∇ ~ · (U ~ ×V ~)=V ~ · (∇ ~ × U) ~ −U ~ · (∇ ~ ×V ~) ∇ ~ × (U ~ × V~ ) = (V ~ · ∇) ~ U ~ − (U ~ · ∇) ~ V ~ −V ~ (∇ ~ ·U ~ ) + U( ~ ∇ ~ ·V ~) ∇ ~ U ~ · V~ ) = U ~ × (∇ ~ × V~ ) + (U ~ · ∇) ~ V ~ +V ~ × (∇ ~ ×U ~ ) + (V ~ · ∇) ~ U ~ ∇( ~ · (∇ ~ φ×∇ ~ ψ) = 0 ∇ @ ¡% #¢#®§§¡^l»D§M¦- # % ¡ _l ¡%¬¬®¡¬®¡%®³©1 ¡%¡ª³#¢D¡%¢>± µ µ É Íà ÉâÐ r¼Öl ¡%¢] #®§D¡%T'®¡ Ö¦â'»#¥ ©¡ % ¡ ¬l¢ ¡%° l¢D'© » º æ½Çr¯ª»] ¡%¡ª³#¢D¡%¢ §®¡%D¡ µ µ Á Á l»D³¸Ã D§³#¢#©©1Ä'±ÆÅ ¡7DZ K 6 ! µ ¬ -§§¡%¢@§®³²'®¡ÂÕÖ # ! #HL 1 13 FN ¢¿¦- # µ ¡%<@_l ¡%¬¬®¡:¡%l¬© ~ + (∇ ~V ~) · U ~ ~ U ~ ·V ~ ) = (∇ ~U ~) · V ∇( {z } {z } | | MN'*POFQ MN'.%OFQ R )%B l¢Ò'®¡ª§¡6´D¦- º º l¢°J¡%¢D#¡%©¶ Ã1¢l¬®¦ £Z¤# &9 ~ × (∇ ~ ×U ~ )± V ~ (r) = f 0 (r) ~r • ∇f r • ´_¤# l»'£ µ ~a = ³ª¦-¢D§©± ¡£Þl¹©M°E± µ æ«Â¡%©©¡%¢#¡ ¬© ¢D#¡ º º B-§§ º l¢Ò#¡%¢ &C §³D¡%¢Õ֢⩰E®³¥ ¬»#¢ l¢#¢ µ ©©¡%¬ Á '®¡ '»#³]¡%¢'£Þ-³D¡Eè1¡ª³#¢»#¢ §§l©¯ ¤'£©_°J¡%#¡%¢ ¡%¬GÇ ~ ~a · V ~ (~r) = ∇ ~V ~ (~r) ·~a Á ∇ °O¦- ¡% ~V ~ (~r) ∇ l¬®§ ·¿l©¯¡%¢ º 6@ º ¤# ¡% µ 1 0 0 ~ · ~r = ( ∇ ~ ) ~r = 3 Á ∇~ ~ r = 0 1 0 = ∇ ~ ( ~r ) ± ∇~ ~ r °E D r¡%¢D§¦- • ∇ 0 0 1 »#¢D}l¬®§M·¸l© »#¬© ¬¥l©®¦-¢¿¡%¢D¡%BÝ¡%¬®¡ ©¡%¢D¡% l¬©¡¨v¡%§©l¢D#¡%¢>± LA µ ~ × (∇ ~ ×V ~ ) = (∇ ~V ~)·U ~ −U ~ ·∇ ~V ~. U »#©¡% >¡%©¯ª© ¢D¦â³:¡%¢# ¡ °O¡%©¡%¡ 1 ¬£§ º µ µ ¥ -¢#¢D¡%¢>¶ Ý/» µ Á R )%B Å º »#¬© ¦ '»#¥â© H µ ¬¥l©®¦-¢ ¡%¢l¢#¢© Bl##,@vW®%)* %"v/ T5Mr( %) q&%TpOp ~|-{x_y >'~r ~|-{x_y ã#ä7å ´_¤# ¡%¢6°E ¡%¬£Z¡%®¡ª§Ö´¡%¬® µ ¡%¢l¢#¢©1»#¢D@¡ª§ ~ = −∇· ~ ∇φ ~ = −∆φ ± ∆ °E0( (váÍ E ©Ö'¨ P3 ∂2 ± i=1 ∂x2i ¡%©¡%#¢¿£a¦-¬ ©B£Z¤#¡%¢¿°E ¡%¬£¡%®¡ª§Â´D¡%¬®l»#©¦ º l©®§³ µ ©¦§©l©¥t¡%l¬©¡%¢@°ED º ©1'®¡§¦ ± EÊ-ÏGÑѪÊ-É ÍÏaáß ÉâÐ µ µ ¬© ~ = −∇φ ~ £¦-¬ µ E *+&# , TW/W!D® ∆= ∆ϕ = äWå ¢@#¡%M·¿ ¢D¡%©¦§©l©¥ µ ´_¤#'®¡ª§¡%¢@Ã1¢D§l©¯Â£a¦-¬ '¨ • ¦-© • ~ A -³D¡%¢}°E £¦-¬ © µ 85 ')B7%Wïî - î- ®§©¢#®³â©@¡%¢D#¡%»#© ~ + ∇f ~ (~r) A µ £a¦-#¡%¢°E4¯ª»D§ l©¯ª¬®³Ó'¨ I ¡% #¢#®§M»#¢D§¡%¡% ¡%¬®¡ µ »#¢ ~ r) A(~ ~ × ∇) ~ ·A ~=0 (∇ 90 ¡ª³D¡%¢D µ L ¬©E£¤#MD-§ 4¡%¥â©¦- ~=∇ ~ ·A ~ = 0Á A ¡%¢}¡%l¬©¡%¢²°EDl¢#¢t£a¦-¬ µ ¦-¢D¡%¢©¡Ó¨v¦-¢ B¬®¡%®³»#¢ º µ #¡%¡%¢ §»#¢ '»#³ â» ¡% µDÁ µ !#"%$'& :( ( ¡ª§© º:º © °EÈ£¤##¡%¢DlD¡%t¡%¢D¡¸§¦ ¡%¢l¢#¢©¡*JÏaáßâËà -É#Ñ%+%Ê-à ËÏaÊ-É µ Á µ Z£ ¤##©E¯ª»t®#¡%¢â©®§³D¡ º ·¸ ¢D¡%©£a¡%¬® ~ Á #¡%¢#¢ ∇ ~ × ∇f ~ = 0 æ,*JÏ á%ß-+àÍÏGß'ÍÏËÇ µ B µ *! Ê* °J-§Jl¬®§/.ÖÊ ¡%¢D#¡ ~ r ) = −∆A(~ ~ r ) = µ0~j(~r) B(~ æ ð ± ð Ç3 ¡ª§©¯ª©e'®¡ EJ¦-»#¬®¦ ¦§©®¦-¢²#¡% ϕ(~r) = Õ֢⩧ −ρ(x1 , x2 , x3 ) ε0 ©1#¡ º = ¦-© ³â»#¢ ϕ= ~ =∇ ~ ×B ~ =∇ ~ × (∇ ~ × A) ~ = ∇( ~ ∇ ~ · A) ~ −∇ ~ ·∇ ~ A ~=∇ ~ (∇ ~ · A) ~ −∆A ~ B | {z } ) °E± 3v¡ª#¡Ó«¦ ¢Ò#¡%ÂÕÖ¬®¡%¥ ¡%¢D#¡%¢¸Ã¢D§l©¯v¶ µ º ~ =∇ ~ × A(~ ~ r) B ( Ã1¬®§TÕ4®³»#¢ µ ∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x21 ∂x22 ∂x23 ~ =∇ ~ ·B ~ =∇ ~ · (∇ ~ × A) ~ B '»#³>¶ Ã1¬®§MÕÖ º ! ~ ×E ~ = −∇ ~ × ∇φ ~ = ~0 ± ∇ :(ËÞÊ-à #Íà Z 1 4πε0 ¦-©¡%¢© l¬ ~ r ) = µ0 A(~ 4π Z º º d3 r 0 d3 r 0 0 4¡%¥â©¦- µ ! ÉâÐ] ¡%¯¡%®³#¢D¡%© 21ÍÏaáß ¬®¡%®³»#¢ µ ¶ æ ð ± ð Ç N l©D¡ º l©®§³D¡t´D¦- º ¡%¢D¡% r¦-®§§¦-¢ ¦-©¡%¢© l¬®¡ ¡%¢©§©¡%©¶ Q 4πε0 |~r−~r0 | B¬®¡% é ρ(~r0 ) |~r − ~r0 | ~j(~r0 ) , |~r − ~r0 | !A ~j(~r0 ) º ¢D¡%¢D'¬®³D¡%¢¸¨v¡%§³°E¢D#¡%©+»#¢D}¥v¡%¢D¡3§¦-¢D§© µ ¡%¢}è1l¢D' ¡ª'¢ µ »#¢ µ ¡%¢Ò¡ ®§©®¡%¡%¢>±´_¤# ~ =∇ ~ r × A(~ ~ r ) ¡%l¬©¡%¢²°EMDl¢#¢ B ! Z Z 0) ~ µ 1 µ0 j(~ r 0 3 0~ 3 0 0 ~ ~ ~ B = d r ∇r × = d r (−1)j(~r ) × ∇r 4π |~r − ~r0 | 4π |~r − ~r0 | Z µ0 (~r − ~r0 ) = d3 r 0 ~j(~r0 ) × 4π |~r − ~r0 |3 £Þl¬¬®§ Å é Bl##,@vW®%)* %"v/ T5Mr( %) *+&# , TW/W!D® I ~dl A Ã1 # #¬®'»#¢ E£Z¤##¡%¢¸'®¡ ¡%¬®¡ º ¡%¢©¡ ¶ d~l R 4¦-¬» º ¡%¢#¢©¡ d3 r 0 −→ R µ Å'¶ ⩦ º '»#³ \9>¡%©¡%¡%¬®¡ º ¦§§¡%¢D¡ª§ ¡%¢© 90 l©®¦-¢Ò¤# ¡%¢}¡%¢D¡3¡%¢D' º ¡%¢D§®¦-¢l¬®¡ ¢â©¡ l©®¦-¢}¤# ¡%'®¡ l¢ ¡%¢ µ µ é §®¡%D¡Ã1 # #¬®'»#¢ Å'± B®¡ª§¡% #©D-§ EÏaÊË -à%Ë Ñªáß'Í ÍÑÍ%Ë dA d~lÁ µ µ µ ~ = µ0 B 4π Z (~r − ~r0 ) I d~l × |~r − ~r0 |3 Å B( "( W/W!#®M 39 3H ¿K1UWK bEcH FHSMX F$+K1H UWK bEcEA O*0ÈW!®0D0Ó +K1X ~ [ φ(~r) [ A ~ ∇ ?6H D¡ º ¡%¢â ¡%¡%®³d®§©§¡%#» º §¡%¢â©®¡%¡%¢²°O¦-¬¬®¡%¢>± ~ ∇ µ £Þl¢ µ ¡%®³ °O¡ª§l¬ Á ¡ º ¡%¢D¡%¢D¡e«¦ ¦-'¢l©¡%¢ )AB¦- º °O¦- ¡%'®¡ ui §¢D@'®¡Â«1¦â¦-'¢l©¡%¢â¨v¡%¥â©¦-¡%¢ ( ®¡%»#¢ 1 ∂~r | ∂u | i x = r sin ϑ cos ϕ, B®¡«¦ ¦-'¢l©¡%¢¨v¡%¥ ©¦-¡%¢¿§¢D º «¦ º:º ¡ µ µ â¥l¬®¡%¢'£Þl¥â©¦-¡%¢ ( ~ = ~eui · ∇ A1»#¢Ó£¦-¬ µ µ £¦- º »#¢ µ (∗) ¡% µ µ ¡ º µ ¡ µ ~ = P3 ~ei ∂ ± ∇ i=1 ∂xi ¡% ¡%¢²'»#³ æ ðð ± ð Ç ∂~r fui = | ∂u | i y = r sin ϑ sin ϕ, ¡%¡%®³â©°E± z = r cos ϑ cos ϑ cos ϕ ~eϑ = cos ϑ sin ϕ , sin ϑ fr = 1, fϑ = r, fϕ = r sin ϑ ¡%¢}°EM¯ª»#¤D³¥Ó¯ª»²#¡%¢²l¬¬ B®¡ 1º ¡%¥ ¤#¯ª©¡´-§§»#¢ ¡% ¡%¢²'»#³ sin ϑ cos ϕ ~er = sin ϑ sin ϕ , cos ϑ ©#¡%¢ µ ∂~r ∂ui '»#³²'®¡§¦ ± ®ÍÉ+ WËÞÊ-àÍÉ µ µ æZ ®¡ª#¡%D¦-¬»#¢ Ƕ BÍÏ Ñ /ÏÞÍ J«+» ¡%¬¥v¦ ¦-'¢l©¡%¢ r, ϑ, ϕ µ µ 3 °E#®¡%3¢â»#^¡%¢D¡ ¡%l©¦-1¢@¥l©¡ª§®§³D¡%¢}«¦ ¦-'¢l©¡%¢²®§©M#¡çD¢#®¡%©+l¬®§ ~eui = F H Z|ÛxryGy >>¿G||d~r~Ö|~rÒx_y|<1~ ~ÖZ|x| +¡%FB¾¡%¡%¢â© l¬®¦ ´_¤#l¬¬ KOf FZKX XFH j φ(~r) S_?^?+U-Y6F HMCMADK1H B®¡ª§¡% @ q>qpÞqp ¸?e?+UlY6FHMCEADKBH6[^N XZ?6SrCÂXZK1H HY − sin ϕ ~eϕ = cos ϕ 0 ± ¡%¢D¡%¢¿«¦ ¦-'¢l©¡%¢ ui ±'¡ ¡%¢ µ B¬®¡%®³â»#¢ µ æ ðð ± ð ÇJ®§© 1 X ∂xj ∂ (∗) 1 ∂ 1 ∂~r ~ ·∇= = . fui ∂ui f ui ∂ui ∂xj fui ∂ui j #©1§®³²l»D§#¡%M«Â¡%©©¡%¢#¡ µ ¡%¬ Á #¡%¢#¢²¡ª§ µ ¬© X ∂f ∂xj ∂ f (x1 (u1 , u2 , u3 ), x2 (u1 , u2 , u3 ), x3 (u1 , u2 , u3 )) = ∂ui ∂xj ∂ui j © ´_¤#M»#¢D§¡%M¦- # µ G ¡ª§ J¡%®§ ~ = ∇ ®¡%¬> ¡ª#¡%»#©¡%©1'®¡ª§ 3 X ~eu i=1 i f ui ∂ ∂ui ~ = ~er ∂ + 1 ~eϑ ∂ + 1 ~eϕ ∂ ∇ ∂r r ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ Å æ ðð ±ÆÅvÇ é W/W!#®M >s q>qp ×4p • • - µ svuw φ O*0ÈW!®0D0Ó ~ A ~ A ~ = P3 ~eui φ(u1 , u2 , u3 ) = ∇φ i=1 fu ¦-© © º ~ 1 , u2 , u3 ) = ∇ ~ ×A ~ A(u ðð ± ð ± ~ = P3 ~eu Au (u1 , u2 , u3 ) ±#¡ A i i i=1 X ~euj ∂ui ~eu ~ i= ∇u = i fuj ∂uj f ui j |{z} ¡%¢ µ =δij ¥ -¢#¢D¡%¢}°E ~eui ¦-© '»#³ ~ i )fu (∇u i ~ A = ]J')B7%Wïî"'Þë ë = X ~eu i,j '®¡3è¦-©l©®¦-¢@¨v¦-¢ i f ui ~ A × ¡%§¡%©¯¡%¢@»#¢Dt¡%l¬©¡%¢ ~ × ∇ £Z¤#Â#¡%¢ µ 3 X i=1 4¡%°J¡%¢D#¡%¢ °EB¬®¡%®³»#¢ ¥ ¢#¢D¡%¢}°EE°O¡ µ ¡%¢ 3 X i=1 ~ i )fu Au (∇u i i ! ~ ×∇ ~ u )f A − (∇u ~ i ) × ∇(f ~ u Au ) (∇ i i | {z } i ui ui =0 ! B-'®¡%¢â©¡%¢»#¢DÒ'®¡:è¡%¬ l©®¦-¢ OB¡%©¡% º l»D³@¢ ~= A é ³#¡% â°O¡%®§¡: #¢ 1 f u1 f u2 f u3 fu ~eu 1 1 ∂ ∂u1 f u1 A u1 fu2 ~eu2 ∂ ∂u2 f u2 A u2 µ '¨ ·¿l¢ '»#¢ fu3 ~eu3 ∂ ∂u3 f u3 A u3 º µ ¬©M£¤# ~ 1 ) × (∇u ~ 2 )fu fu ~eu3 = ~eu1 × ~eu2 = (∇u 2 1 ~ ×∇ ~ =0 ∇ n ~ 2 ) × (∇u ~ 3 )fu fu Au ~ = ∇ ~ · (∇u ~ 1 ) × (∇u ~ 2 )fu fu Au + (∇u A 1 3 2 3 2 1 o ~ 3 ) × (∇u ~ 1 )fu fu Au +(∇u 2 1 3 ~ 2 ) × (∇u ~ 3 )) · ∇(f ~ u fu Au ) ~ 1 ) × (∇u ~ 2 )) · ∇(f ~ u fu Au ) + ((∇u = ((∇u 1 3 2 3 2 1 ~ 3 ) × (∇u ~ 1 )) · ∇(f ~ u fu Au ) +((∇u 2 1 3 4¡%©l»D§³â»#¢ ¡-³â©¡È'®¡¯ ⥠¬®§³D¡ N #¡%^¡%¢#¯¡%¬¢D¡%¢ µ â» ~= A 1 f u1 f u2 f u3 &J B»#³ º:º l¢D#¡%¢ »#¢D #¡% Ö¦â'»#¥ ©¡ ¡%¬ ~ · (~a × ~b) = (∇ ~ ×~a) · ~b − (∇ ~ × ~b) ·~a ∇ µ µ §®³²#¡%Ã1»D§'»D³¥±DÕ4§¡%©¯¡%¢@°EM°E®¡ª#¡% §¦:¡%l¬©¡%¢²°E ∇ui Á '¨ §¦ ¡%¢>¶ ~ 1 , u2 , u3 ) = ∇ ~ ·A ~ º © A ~ = P3 ~eu Au (u1 , u2 , u3 ) ±´_¤#¡%¢²è1¡ª³â©§§:'§©¡ A(u i i ¡%¯ ¥ ¬®§³D¡%4¡%©l»D§³»#i=1 ¢ µ ~eu1 , ~eu2 , ~eu3 © Á i,j ¢l¢â©¡%¢ '¨ »#¢D²D º 槱¦#± Ç ~ i = ~eu fu−1 ∇u i i X ~euj ∂ εijk ∂ (fui Aui ) = ~euk fuk (fui Aui ) fuj ∂uj f u1 f u2 f u3 ∂uj ¦-© • ∂φ §®¡%D¡ÂÃ1 D§³#¢#©© ∂ui Á i ~ × ∇) ~ =0 (∇ '®¡Ã1¢°J¡%¢ ¨v¡%¡%¢'£a-³©¡ ∂ ∂ ∂ (fu1 fu2 Au3 ) + (fu2 fu3 Au1 ) + (fu fu Au ) ∂u3 ∂u1 ∂u2 3 1 2 Å ñ é W/W!#®M >s q>qp4p '¨ O*0ÈW!®0D0Ó φ &( ( & - :( ~ ∇φ ~ = ∆φ °E:l¬®§ váÍ -#Íà ËÞÊ-à+ ¡%¯¡%®³#¢D¡%© Á ∆ = ∂ 22 + ∂ 22 + ∂ 22 ± φ(u1 , u2 , u3 ) = ∇· µ ∂x1 ∂x2 ∂x3 ¢ Ã1 D§³#¢#©© ðð ±ÆÅEl ¡%¢3°Er'®¡ 1¨v¡% ¡%¢#¯ #¡ª§ 4¡%¥ ©¦- ¦-©¡%¢© l¬®§ 3 ¢^l¬¬ ¡ º ¡%¢D¡%¢e«1¦â¦-'¢l©¡%¢ ~ A µ µ P ~eui ∂φ ¡ª§© º:º ©±/´r¤#1#¡%¢²´l¬¬ 1 ∂φ #¡%¢ ~ = µ - φ ¡%l¬©¡%¢}°E º © µ - φ = A i fui ∂ui =⇒ Ai = fui ∂ui ¬ -³ª¡ ( ¡%l©¦-1¢²l¬¬ ¡ º ¡%¢D¡%¢¿«¦ ¦-'¢l©¡%¢>¶ é µ I 9 ∆φ = '¨ µ - φ(u1 , u2 , u3 ) = $ $ B®¡ â¥-l¬®¡%¢'£Þl¥â©¦-¡%¢}§¢D µ - ¦-© '¨ φ(r, ϑ, ϕ) = ~ ϑ, ϕ) = A(r, ~ ϑ, ϕ) = A(r, ∆φ(r, ϑ, ϕ) = = BÍÍà "!âÉâÐK3e«+» ∂ fu1 fu2 ∂φ fu2 fu3 ∂φ 1 ∂ + fu1 fu2 fu3 ∂u3 fu ∂u3 ∂u1 fu1 ∂u1 3 ∂ fu3 fu1 ∂φ + ∂u2 fu2 ∂u2 &% " $ 0 fr = 1, fϑ = r, fϕ = r sin ϑ ± 1 ∂φ ∂φ 1 ∂φ + ~eϑ + ~eϕ ~er ∂r r ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ ~er (r sin ϑ Aϕ ) − (r Aϑ ) + r ~eϑ Ar − (r sin ϑ Aϕ ) ∂ϑ ∂ϕ ∂ϕ ∂r ∂ ∂ +r sin ϑ ~eϕ (r Aϑ ) − Ar ∂r ∂ϑ 1 ∂ ∂ ∂ 2 (r sin ϑ Ar ) + (r sin ϑ Aϑ ) + (r Aϕ ) r 2 sin ϑ ∂r ∂ϑ ∂ϕ 2 ∂ 1 1 ∂ ∂ 1 ∂ 1 ∂ + + ∂r 2 r ∂ϑ r ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ r sin ϑ ∂ϕ 2 ∂ cotϑ 1 ∂ + φ(r, ϑ, ϕ) + r ∂r r r ∂ϑ 2 2 ∂ 2 ∂ ∂ ∂ ∂2 1 1 + + cot ϑ φ(r, ϑ, ϕ) + + ∂r 2 r ∂r r 2 ∂ϑ2 ∂ϑ sin2 ϑ ∂ϕ2 ON ¡%¬¥v¦â¦-'¢l©¡%¢ §¢D£¤#@'®¡ ¡%l¢D'¬»#¢ £»#¢DD º ¡%¢©l¬®¡% 4¦- #¬®¡ º ¡ ¡ª§¦-¢D#¡%§ µ µ °E®³â© ±WÕ4¢D¡4¡% ¡%¢D§¦ °E®³© ¡Jè¦-¬¬®¡Ö§ ®¡%¬®¡%¢eÝ â¬¢D#¡%¥v¦ ¦-'¢l©¡%¢ £Z¤#'®¡ l#¢#¬®³D¡T´D¦- º ¡%¬¢ ¡%¬©¡%¢>± µ µ Á µ À¡ º £a¡%#¬®¡%¢ £¤#Ó¡%¢D¡%¢§®³D¡%¡%¢ º l¢ À © # % ¡ ¢ D ¢ % ¡ D » % ¡ ¢ J ¡ ¾ % ¡ ¢ ¦ # ¡ % ¡ ª ¯ ® % ¡ â # » ¢ % ¡ ¢Ô£Z¤# º µ µ µ Á µ µ Ý ¬¢D#¡%¥v¦â¦-'¢l©¡%¢¿§¡%¬ D§©E¯ª»t ¡%¡ª³#¢D¡%¢>± ÅÄ O
© Copyright 2024 ExpyDoc