Blatt 7

Lineare Algebra und Analytische
Geometrie 1
Anne Henke
Julian Külshammer
Sam Thelin
WS 2015/2016
Gruppenübung 7
Schriftliche Aufgaben
Aufgabe 44 (8 Punkte)
Gegeben ist das folgende Gleichungssystem über dem Körper R
ax1 + (a + b)x2 + bx3 = 3a + 5b
bx1 + abx2 + ax3 = a(2b + 3) + b
ax1 + bx2 + bx3 = a + 5b.
Geben Sie für alle a, b ∈ R die Lösungsmenge als Ausdruck in a und b an.
Aufgabe 45 (6 Punkte)
Sei V ein Vektorraum und seien S und T Teilmengen von V . Zeigen Sie die folgenden
Aussagen, falls möglich, oder geben Sie ein Gegenbeispiel an.
(a) Span(S ∩ T ) = Span(S) ∩ Span(T ),
(c) Span(S ∪ T ) = Span(S) + Span(T ).
(b) Span(S ∪ T ) = Span(S) ∪ Span(T ),
Aufgabe 46 (8 Punkte)
(a) Seien X = Span((1, 2)T ) and Y = Span((1, −1)T ) Unterräume von R2 . Zeigen Sie,
dass X ∪ Y kein Unterraum von R2 ist.
(b) Sei V ein Vektorraum und seien U und W Unterräume von V . Zeigen Sie, dass U ∪ W
genau dann ein Unterraum von V ist, wenn U ⊆ W oder W ⊆ U gilt.
(c) Sei L = (Z2 )2 . Bestimmen Sie Unterräume L1 , L2 und L3 von L, sodass
L = L1 ∪ L2 ∪ L3 , aber Li 6⊆ Lj für i 6= j.
Zusatzaufgabe (wird bei schriftlicher Abgabe korrigiert)
Aufgabe 47
Seien n eine natürliche Zahl, K ein Körper, V ein Vektorraum über K und Vi Unterräume
von V für 1 ≤ i ≤ n.
S
(a) S
Zeigen Sie: Falls |K| ≥ n, dann ist 1≤i≤n Vi genau dann ein Unterraum von V , wenn
1≤i≤n Vi = Vj für ein 1 ≤ j ≤ n.
(b) Betrachten Sie den Vektorraum K 2 . Zeigen Sie, dass die Aussage von (a) falsch ist,
falls |K| < n.
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Votieraufgaben
Aufgabe 48
Entscheiden Sie, ob folgende Mengen reelle Vektorräume mit der angegebenen Addition
und Skalarmultiplikation sind. Wenn nicht, geben Sie an, welche Axiome nicht erfüllt sind.
(a) V = R mit Addition und Skalarmultiplikation definiert durch
x y = max{x, y},
λ x = λx
für λ, x, y ∈ R.
(b) V = R mit Addition und Skalarmultiplikation definiert durch
x y = xy + 1,
λ x = λ2 x
für λ ∈ R und x, y ∈ V .
(c) V = R2 mit Addition und Skalarmultiplikation definiert durch
(u, v) (x, y) = (u + x + 1, v + y + 1),
λ (u, v) = (λu, λv)
für λ ∈ R und (u, v), (x, y) ∈ R2 .
Aufgabe 49
Seien m, n und p natürliche Zahlen und sei K ein Körper. Für A = (aij ) ∈ Mm×n (K) ist
die transponierte Matrix von A die (n × m)-Matrix (bkl ) mit bkl = alk für 1 ≤ k ≤ n and
1 ≤ l ≤ m. Wir schreiben diese als AT .
(a) Seien B, C ∈ Mm×n (K), D ∈ Mn×p (K) und λ ∈ K. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:
(B + C)T = B T + C T , (λB)T = λB T und (CD)T = DT C T .
(b) Eine Matrix X ∈ Mn (K) heißt symmetrisch, falls X T = X. Zeigen Sie, dass die Teilmenge der symmetrischen Matrizen, U = {X ∈ Mn (K) : X T = X}, ein Unterraum
von Mn (K) ist. Gilt Y T (Z + Z T )Y ∈ U für alle Y, Z ∈ Mn (K)?
Aufgabe 50
(a) Sei V = M2 (R) und seien
a b a 0 a, b ∈ R .
U=
a, b ∈ R und W =
b 0 0 0 Geben Sie endliche, möglichst kleine Erzeugendensysteme für U , W , U +W und U ∩W
an.
(b) Gibt es Vektoren a, a0 , b, b0 ∈ R3 , sodass für A = Span{a, a0 }, B = Span{b, b0 } gilt,
dass A + B = R3 und A ∩ B = Span{(1, 1, 1)T }? Begründen Sie Ihre Antwort.
(c) Gibt es Vektoren c, c0 , d, d0 ∈ R3 , sodass für C = Span{c, c0 }, D = Span{d, d0 } gilt,
dass C+D = {(x, y, z)T |x+2y+3z = 0} und C∩D = Span{(1, 1, −1)T , (5, −1, −1)T }?
Begründen Sie Ihre Antwort.
http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/LAAG-Henke-WS1516/
Abgabe: 1./2. Dezember 2015 in den Übungen
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