4 Leitungen - Hochschule Landshut

Prof. Dr. T. Wolf
Hochschule Landshut
Elektrotechnik III
Elektro- und Informationstechnik
4 Leitungen
4.1 Signalausbreitung auf unendlich ausgedehnten, homogenen Leitungen
Homogene Leitungen sind in Längsrichtung (z-Richtung) homogene Gebilde, bei
denen der Hin- und Rückleiter eine in der Querrichtung (x-y-Ebene) konstante und
definierte Geometrie besitzen (z.B. Koaxialkabel, Verdrillte Zweidrahtleitung,
Parallelplattenleitung, Koplanarleitung, Microstripline, Stripline).
Modell der homogenen Leitung:
z
L’z
i(z, t)
...
R’z
i(z, t)
u(z, t)
u(z, t)
i(z+z, t)
...
C’z
G’z
u(z+z, t)
z
L' 
L
:
z
C' 
C
: Kapazitätsbelag
z
R' 
R
: Widerstandsbelag
z
G' 
G
: Leitwertbelag
z
Induktivitätsbelag
Die Leitungsbeläge müssen durch Berechnung der Feldverteilung über den
geometrischen Querschnitt in der x-y-Ebene ermittelt werden. In einfachen Fällen
(z.B. Parallelplattenleitung, Koaxialleitung) ist dies analytisch möglich, im
allgemeinen aber nur numerisch mit FEM-Programmen.
Leitungsgleichungen:
uz, t   R'z  iz, t   L'z 
diz, t 
dt
iz, t   G'z  uz, t   C'z 
duz, t 
dt


I)
duz, t 
diz, t 
 R'iz, t   L'
dz
dt


II)
diz, t 
duz, t 
 G'uz, t   C'
dz
dt
z0
z0
1
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Dieses lineare, partielle DGL-System mit konstanten Koeffizienten besitzt für die
ideale, verlustlose (R’  0, G’  0 ) Leitung eine einfache Lösung:
I) nach z differenziert:
d2uz, t 
d2iz, t 


L
'

dz 2
dz  dt
II) nach t differenziert:
d2iz, t 
d2uz, t 
 C'
dt  dz
dt 2
II) in I):
d2uz, t 
d2uz, t 

L
'

C
'

dz 2
dt 2
Dies ist die sog. Wellengleichung für die örtliche und zeitliche Spannungsverteilung
entlang der Leitung.
Analog kann durch Differenzieren von I) nach t und II) nach z und Einsetzen von I) in
II) eine entsprechende Wellengleichung für die Stromverteilung abgeleitet werden:
d2iz, t 
d2iz, t 

L
'

C
'

dz 2
dt 2
Die allgemeinen Lösungen dieser Wellengleichungen sind beliebige örtliche
Spannungs- und Stromverteilungen, die sich unter Beibehaltung ihrer Form mit der
Geschwindigkeit v in die positive oder negative z-Richtung bewegen:
iz, t   f 
zv
 t   f 
zv
 t


w
w
uz, t   Z W  f 
zv
 t   Z W  f 
zv
 t


w
w
Die Verteilungen f+ bewegen sich in die positive z-Richtung.
Der Zusammenhang der Geschwindigkeit v und des sog. Wellenwiderstandes ZW mit
den Leitungsbelägen ergibt sich durch Einsetzen dieser Spannungs- und
Stromverteilungen in die Wellengleichung und in die Ausgangsgleichungen:
diz, t  df w  
df w 

1   1
dz
dw 
dw 

d2iz, t  d2 f w   d2 f w  


2
2
dz 2
dw 
dw 
duz, t 
df w 
df w 
 ZW     ZW   
dz
dw 
dw 
diz, t  df w  
df w 
d2iz, t  d2 f w   2 d2 f w   2

  v      v 

v 
v
2
2
dt
dw 
dw 
dt 2
dw 
dw 
2
2
2
 2

In WG für Strom: d f w2    d f w2    L'C' d f w2    d f w2    v 2
dw 
dw 
 dw 
dw 

v

Der Kehrwert der Geschwindigkeit ist die sog. spezifische Laufzeit: t d ' 
1
 L' C'
v
In I): Z W   df w    df w    L' df w    df w     v   Z W  L'v  Z W 
 dw 
dw  
 dw 
dw  
2
1
L'C'
L'
C'
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Umgekehrt können natürlich auch die Leitungsbeläge durch die spezifische Laufzeit
und durch den Wellenwiderstand ausgedrückt werden:
L'  Z W  t d '
C' 
td'
ZW
Wenn nur eine Welle in einer Ausbreitungsrichtung vorhanden ist, ist das Verhältnis
zwischen Spannungs- und Stromamplitude unabhängig von z und entspricht
betragsmäßig dem Wellenwiderstand der Leitung:
u z, t 
 ZW
i z, t 
u z, t 
 Z W
i z, t 
Bei verlustbehafteten Leitungen sind die Lösungen der Leitungsgleichungen
gedämpfte harmonische (sinusförmige) Wellen, die sich mit der Geschwindigkeit

v
ausbreiten, z.B. uz, t   û  e  z  sin  t    z 

Spannungsverlauf am Ort z  0:
Spannungsverlauf entlang der Leitung
zum Zeitpunkt t  0:
û
û
u(0,t)
u(z,0)
t
z
 ist der Dämpfungskoeffizient und  ist der Phasenkoeffizient der harmonischen
Welle.
Der Phasenkoeffizient  ist bis auf einen Faktor 2 der Kehrwert der Wellenlänge 
2
. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit kann damit
der harmonischen Welle:  

auch durch die Wellenlänge  und die Frequenz f ausgedrückt werden:
v
 2  f

 2 / 

v  f
Bei einer verlustbehafteten Leitung ist sowohl der Wellenwiderstand als auch die
Ausbreitungsgeschwindigkeit frequenzabhängig. Zusätzlich reduzieren die Verluste
auch die Amplituden der harmonischen Wellen entlang der Ausbreitungsrichtung.
Dadurch verändert sich die Form einer aus harmonischen Wellen zusammengesetzten Spannungs- und Stromverteilung während der Ausbreitung.
Der Effekt der unterschiedlichen Ausbreitungsgeschwindigkeiten bei verschiedenen
Frequenzen heißt Dispersion. Dispersion führt zu einer Verbreiterung von Pulsen
während der Ausbreitung und begrenzt dadurch in der Übertragungstechnik die
Bandbreite.
Die Abnahme der Amplitude durch die Verluste heißt Dämpfung und begrenzt in der
Übertragungstechnik die Reichweite.
3
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Durch Einsetzen der gedämpften harmonischen Wellen in die Leitungsgleichungen
erhält man den Zusammenhang von ZW,  und  mit den Leitungsbelägen:
ZW 
R' j  L'
G' j  C'
  j 
R' j  L'G' j  C'
Praktisch genutzt werden vor allem verlustarme Leitungen, für die gilt:
R'  L' und G'  C'
In diesem Fall gilt näherungsweise:
ZW 
L'
,
C'
    L' C' ,

L' C'
2
 R' G' 
  
 L' C' 
Im Rahmen dieser Näherung wird Dispersion vernachlässigt, d.h. der Wellenwider1

stand und die Ausbreitungsgeschwindigkeit v  
sind frequenzunabhängig

L'C'
und haben die gleichen Werte wie bei der verlustlosen Leitung.
Der Dämpfungskoeffizient  beschreibt entsprechend dem Ansatz eine Abnahme der
Amplitude bei einer Leitungslänge z um einen Faktor e  z . Hieraus ergibt sich die
Dämpfung a in dB pro Leitungslänge z:
a dB
z




 R'

C'
L' 
 20 lg e  z


4
.
34
dB
G
'
Z
   20 lge   4.34dB   R'
 G'




W

L
'
C
'
Z
z
 W



Die Dämpfung ist frequenzabhängig, weil der Widerstandsbelag R’ und der
Leitwertbelag G’ frequenzabhängig sind.
Die Frequenzabhängigkeit des Widerstandsbelages R’ wird durch den sog. Skineffekt
verursacht, der die Ladungsträger durch das eigene Magnetfeld auf die Oberfläche
des Leiters konzentriert. Dadurch verringert sich der effektive Querschnitt und der
Widerstand nimmt zu. Solange die sog. Skintiefe größer ist als die Dicke des Leiters,
ist die Zunahme schwach. Wenn die Skintiefe dagegen kleiner als die Dicke
geworden ist, erfolgt die Zunahme proportional zur Wurzel aus der Frequenz.
Ein RG58-Koaxialkabel hat z.B. bei 200MHz eine Dämpfung von 0.24dB/m, während
die Dämpfung bei 800MHz bereits 0.51dB/m beträgt.
Der Leitwertbelag, der die Verluste im Dielektrikum beschreibt, nimmt näherungsweise proportional zur Frequenz zu. Die Verluste im Dielektrikum werden wegen der
Proportionalität zur Frequenz vor allem bei sehr hohen Frequenzen wichtig, da die
bei niedrigeren Frequenzen dominierenden ohmschen Verluste nur proportional zur
Wurzel aus der Frequenz ansteigen.
Durch diese frequenzabhängige Dämpfung kommt es auch bei Vernachlässigung der
Dispersion zu einer Formänderung bei der Ausbreitung, da die hohen Frequenzen
stärker gedämpft werden. Die verlustbehaftete Leitung hat damit Tiefpasscharakter
und bewirkt eine Abflachung der Pulsflanken.
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4.2 Signalausbreitung auf verlustlosen Leitungen mit endlicher Länge
e
a

0
z
Zwischen Spannungs- und Stromverteilung einer nach rechts laufenden Welle
besteht nach dem letzten Abschnitt der Zusammenhang u  z, t   Z W  i z, t  .
Wenn die Welle am Leitungsende ankommt, erzwingt der Abschlusswiderstand nach
dem ohmschen Gesetz aber u, t   RL  i, t  , was die nach rechts laufende Welle
nur bei R L  Z W erfüllen kann.
Bei jedem anderen Abschlusswiderstand lässt sich der Widerspruch nur auflösen,
indem ein Teil der Welle reflektiert wird, der nach links läuft.
Spannung am Leitungsende: u(, t )  u (, t )  u  (, t )
Strom am Leitungsende:
Aus RL 
i(, t )  i (, t )  i (, t )
u (, t )  u (, t ) u (, t )  u (, t )
u (, t )  u (, t )
u, t 
 ZW  
folgt: RL  

u
(

,
t
)
u
(

,
t
)
i, t 
i (, t )  i (, t )
u (, t )  u (, t )

 
ZW
ZW
Hieraus kann die Amplitude der reflektierten Welle berechnet werden:
u (, t ) 
RL  Z W
 u (, t )
RL  Z W
Das Verhältnis rL 
u  (, t )
heisst Reflexionsfaktor :
u  (, t )
rL 
RL  Z W
RL  Z W
Spezialfälle: R L  Z W (Abschluss mit Wellenwiderstand)  rL  0
Energie der Welle wird im Abschlusswiderstand vollständig in Wärme
umgewandelt.
R L   (offene Leitung, Leerlauf)  rL  1
Energie der Welle wird vollständig reflektiert, da in einem Leerlauf keine
Energie in Wärme umgesetzt werden kann.
RL  0 (kurzgeschlossene Leitung)  rL  -1
Energie der Welle wird vollständig reflektiert, da in einem Kurzschluss
keine Energie in Wärme umgesetzt werden kann.
Wenn die reflektierte Welle wieder am Leitungsanfang ankommt, trifft sie auf den
R  ZW
Quellenwiderstand RQ und wird mit dem Reflexionsfaktor rQ  Q
erneut
RQ  Z W
reflektiert.
Reflexionen treten auch beim Übergang zwischen Leitungen mit unterschiedlichem
Wellenwiderstand oder mit unterschiedlicher Querschnittsgeometrie auf.
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Auswirkungen der Reflexionen
Der Verlauf der Spannung am Leitungsende ergibt sich aus der Überlagerung aller
am Leitungsende eintreffenden Spannungswellen und kann sehr übersichtlich mit
einem sog. „Impulsfahrplan“ konstruiert werden ( t d  t d ' ):
u, t  
ZW

RQ  Z W

(1+rL)
0
uQ(t-td)
(1+rL)
(1+rL)
2
+ rLrQ
+ (rLrQ) 
uQ(t-3td)
uQ(t-5td)
(1+rL)
(1+rL)
3
4
+ (rLrQ)  + (rLrQ) 
uQ(t-7td)
uQ(t-9td)
+ …
t

z
0
0
td
2td
3td
4td
5td
6td
7td
8td
9td
10td 11td t
Um die gravierenden Auswirkungen der Reflexionen zu demonstrieren, nehmen wir
eine ideale Spannungsquelle am Leitungsanfang an, die zum Zeitpunkt t  0 einen
Spannungssprung U0  t  erzeugt. Der Widerstand RL am Leitungsende sei .
Diese Situation entspricht recht gut den Verhältnissen in digitalen Schaltungen.
R  ZW
Reflexionsfaktor am Leitungsende: rL  L
1
RL  Z W
R  ZW
Reflexionsfaktor am Leitungsanfang:
rQ  Q
 1
RQ  Z W
2U0
u, t 
U0
0
t

z
0
0
td
2td
3td
4td
5td
6td
7td
8td
9td
10td 11td t
U0
uQ(t)
0
6
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Simulation mit ZW  50, td=5ns, trf  0, Rq  0, RL  :
Dieses Verhalten ist in einer digitalen Schaltung natürlich nicht akzeptabel. Es kann
vermieden werden durch einen Leitungsabschluss mit RL  ZW:
2U0
u, t 
U0
0
t

z
0
0
td
2td
3td
4td
5td
6td
7td
8td
9td
10td 11td t
U0
uQ(t)
0
Eine mit ihrem Wellenwiderstand abgeschlossene Leitung wirkt an ihrem Eingang
wie ein Widerstand ZW.
Simulation mit ZW  50, td=5ns, trf  0, Rq  0, RL  50:
7
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Alternativ kann auch ein angepasster Quelleninnenwiderstand RQ  ZW verwendet
werden:
2U0
u, t 
U0
0
t

z
0
0
td
2td
3td
4td
5td
6td
7td
8td
9td
10td 11td t
U0
uQ(t)
0
Simulation mit ZW  50, td=5ns, trf  0, Rq  50, RL  :
Achtung: Die Verwendung von RQ  ZW und RL  ZW führt zu einer Halbierung der
Spannungsamplitude wegen des Spannungsteilers zwischen RQ und ZW!
Simulation mit ZW  50, td=5ns, trf  0, Rq  50, RL  50:
8
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Auswirkung der Reflektionen bei einer Fehlanpassung (RQ  0 und RL  3ZW):
2U0
u, t 
U0
0
t

z
0
0
td
2td
3td
4td
5td
6td
7td
8td
9td
10td 11td t
U0
uQ(t)
0
Simulation mit ZW  50, td=5ns, trf  0, Rq  0, RL  150:
9
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Auswirkung der Reflektionen bei einer Anstiegszeit trf  5td und RQ  0, RL  :
2U0
u, t 
U0
0
t

z
0
0
td
2td
3td
4td
5td
6td
7td
8td
9td
10td 11td t
U0
uQ(t)
0
Simulation mit ZW  50, td=5ns, trf  25ns, Rq  0, RL  oo:
Simulation mit ZW  50, td=5ns, trf  105ns, Rq  0, RL  oo:
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Bei einem sinusförmigen Eingangssignal bleibt das Ausgangssignal wegen der
Linearität zwar sinusförmig. Die Reflexionen bewirken bei höheren Frequenzen
jedoch eine sehr große Amplitudenänderung am Ausgang wie sie auch an einem
Parallel- oder Serienschwingkreis auftreten. In den folgenden Simulationen ist die
Amplitude eines sinusförmigen Signals am Ausgang einer Leitung mit ZW  50
und td  5ns als Funktion der Frequenz dargestellt. Die Leitung ist mit einem
Widerstand RL abgeschlossen und wird von einer Sinusquelle mit Quellenwiderstand Rq und einer Amplitude von 1V gespeist. Darunter ist jeweils die
Impedanz des Leitungseingangs als Funktion der Frequenz dargestellt.
Simulation mit ZW  50, td=5ns, Rq  0, RL  :
Simulation mit ZW  50, td=5ns, Rq  0, RL  50:
Simulation mit ZW  50, td=5ns, Rq  50, RL  oo:
11
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Schlussfolgerungen
1) Bei digitalen Signalen mit Anstiegs-/Abfallzeit trf müssen Reflexionen durch
Leitungsabschluss vermieden (RL  ZW oder RQ  ZW) bzw. auf ein vertretbares
Maß (RL  ZW oder RQ  ZW) reduziert werden, wenn
t rf  2  t d
bzw.
t rf
 2  td'

bzw.
t rf
ns
 10

m
Voraussetzung für den Leitungsabschluss ist die Verwendung einer Leitung mit
definiertem Wellenwiderstand.
Reflexionen können vernachlässigt werden, wenn
t rf  2  t d
bzw.
t rf
 2  t d '

bzw.
t rf
ns
 10

m
In diesem Fall ist kein Leitungsabschluss erforderlich und es können Leitungen
ohne definierten Wellenwiderstand verwendet werden.
2) Sinusförmigen Signalen mit Frequenz f 
1
kann man eine Anstiegs-/Abfallzeit
T
T
zuordnen. Bei sinusförmigen Signalen mit Frequenz f müssen Reflexionen
2
durch Leitungsabschluss vermieden (RL  ZW oder RQ  ZW) bzw. auf ein
vertretbares Maß (RL  ZW oder RQ  ZW) reduziert werden, wenn
t rf 
f
1
4  td
bzw.
f  
1
4  td'
bzw.
f    50MHz  m
bzw.


4
Voraussetzung für den Leitungsabschluss ist die Verwendung einer Leitung mit
definiertem Wellenwiderstand.
In der Messtechnik werden deshalb Koaxialkabel mit einem Wellenwiderstand von
50 verwendet, Funktions- und Pulsgeneratoren besitzen einen definierten
Quellenwiderstand von 50. Bei Oszilloskopen werden sowohl hochohmige
Eingänge verwendet (typ. 1M//10…50pF) als auch 50-Eingänge.
Reflexionen können vernachlässigt werden, wenn
f 
1
4  td
bzw.
f   
1
4  td'
bzw.
f    25MHz  m
bzw.
 

4
In diesem Fall ist kein Leitungsabschluss erforderlich und es können Leitungen
ohne definierten Wellenwiderstand verwendet werden.
In diesem Frequenzbereich wirkt eine am Ausgang offene Leitung an ihrem
Eingang wie eine Kapazität C' und eine am Ausgang kurzgeschlossene Leitung
wirkt an ihrem Eingang wie eine Induktivität L' .
Bei höheren Frequenzen wirkt eine an ihrem Ausgang offene oder
kurzgeschlossene Leitung wie ein Schwingkreis mit unendlich vielen Serien- und
Parallelresonanzen.
12
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3) Eine mit dem Wellenwiderstand abgeschlossene, verlustfreie Leitung wirkt an
ihrem Eingang wie ein ohmscher Widerstand ZW und bewirkt an ihrem Ausgang
nur eine Zeitverzögerung um td:
u a t   u e t  t d 


Laplacetransformation: Ua s   Ue s   e  st d

Ua s 
Übertragungsfunktion: G(s)  
Ue s 

G(s)  e  st d
Frequenzgang: G( j)  e  jt d
40
+0°
G
|G|dB
-90°
20
-180°
0
-270°
-360°
-20
-450°
-540°
-40
-1
10
2
4
6 8 100
2
4
6 8 101 td
4
10
-1
2
4
6 8 100
2
4
6 8 101 td
4
In der Regelungstechnik besitzt ein sog. Totzeitglied das gleiche Zeitverhalten, die
gleiche Übertragungsfunktion und den gleichen Frequenzgang mit der sog. Totzeit
Tt anstelle der Verzögerungszeit td. Beispiele für Totzeitglieder sind Rohrleitungen,
Förderbänder, Messverzögerung des Istwertes durch A/D-Wandlung und/oder
Datenübertragung, Verzögerung der Stellgröße durch Taktung.
13
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4.3 Häufig verwendete Leitungsgeometrien
a) Parallelplattenleitung (Spannungsversorgung
Versorgungs- und Masselage)
C'   0   r 
w
h
ZW 
auf
Platinen
mit
separater
0
1 h 377 h

 

0
w
w


r
r

ZF 0 377 

L'   0 

ns
t d '   0   0   r  r   r  3 .3



c
m
h
w
1c
Beispiel: Europaplatine mit w  100mm, h  1mm und r  4.7
 C’  4.2nF/m L’  12.6nH/m ZW  1.7 td’  7.3ns/m
b) Koaxialleitung (Messtechnik, Videotechnik)
C' 
2   0   r
D
ln 
d
ZW 
0
1
 D  60  D 
 ln 

 ln  
 0   r 2  d 
r
d

L' 
0  D 
 ln 
2  d 
t d '   0  r   0 
r
ns
  r  3. 3
c
m
Beispiel: RG 58 C/U mit d  0.9mm D  3mm
r  2.2
 C’  100pF/m
L’  250nH/m ZW  50
dB
f

Dämpfung ca. 0.54
m
GHz
td’  5ns/m
c) Symmetrische Doppelleitung (twisted-pair) (Ethernet, CAN-Bus)
C' 
  0  r
  0  r

 2s 
s
cosh 1   ln 
 d
 d
ZW 
0
1
 s  120  2s 
  cosh 1   
 ln 
0  r 
r
 d
 d

L' 
0
 2s 
s 
 cosh 1    0  ln 

 d
d 
t d '   0  r   0 
r
ns
  r  3 .3
m
c
Beispiel: d  0.5mm
s  1mm
r  2.3
 C’  50pF/m
L’  525nH/m
ZW  100
td’  5ns/m
dB
f

Dämpfung ca. 0.63
m
GHz
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tw 09.01.2016 Et3_Kap4.doc
Prof. Dr. T. Wolf
Hochschule Landshut
Elektrotechnik III
Elektro- und Informationstechnik
d) Symmetrische Stripline (Signalübertragung auf Platinen)
Näherungsformeln für w/h  0.35 und d/h  0.25
ZW 
60
r
 ln
t d '   r  3 .3
1. 9  h
0 .8  w  d
ns
m
Für genaue Berechnungen muss ein
Wellenleiterprogramm (transmission line
calculator, microstrip calculator) verwendet
werden.
e) Microstripline (Signalübertragung auf Platinen)
Näherungsformeln für 0.1  w/h  2
ZW 
87
 r  1 .4
 ln
6 h
0. 8  w  d
t d '  0.475 r  0.67  3.3
ns
m
Für genaue Berechnungen muss ein
Wellenleiterprogramm verwendet werden.
f) Doppelstreifenleitung bzw. Koplanarleitung
(Signalübertragung auf Platinen)
Die Koplanarleitung kann ohne
Massefläche, mit einer Massefläche als
Microstrip-Geometrie und mit zwei
Masseflächen als Stripline-Geometrie
ausgeführt werden.
Für Berechnungen des Wellenwiderstandes
und der Laufzeit muss ein Wellenleiterprogramm verwendet werden.
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tw 09.01.2016 Et3_Kap4.doc

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